厦门大学至学年第二学期高等代数期末考试试题A.docx
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厦门大学至学年第二学期高等代数期末考试试题A
厦门大学2007至2008学年第二学期高等代数期末考试试题A
注意:
所有答案请写在答题纸上
一 选择题(8题×4分)
1.设是n阶对称正定阵,则是___ _。
A. 正定阵 B. 半正定阵 C. 负定阵 D. 半负定阵
2. 设是n阶非零实对称阵,则是半正定阵的充要条件是___ _。
A. 的所有k阶子式非负() B. 存在n阶非零矩阵,使得
C. 对元素全不为零的向量,总有 D. 存在非零向量,使得
3.设是二维行空间中的任意两个向量,则对以___ _为规定的内积构成欧氏空间。
A. B.
C. D.
4.设是欧氏空间的子空间,分别是的正交补空间,则下列叙述中错误的是____。
A. B.
C. 若,则 D. 若,则
5.设是n阶矩阵,则下列叙述中错误的是___ _。
A. 若是正交阵,则也是正交阵 B. 若是正定阵,则也是正定阵
C. 若是正交阵,则也是正交阵 D. 若是正定阵,则也是正定阵
6.设是n阶实对称阵,则下列说法正确的有___ _个。
①的特征值相同的充要条件是相似 ②的特征值相同的充要条件是正交相似
③的特征值相同的充要条件是合同 ④的特征值相同的充要条件是相抵
A.1 B. 2 C.3 D.4
7.设是n阶实对称阵,则满足___ _时,必相似。
A. ,其中分别为的极小多项式
B. ,其中分别为的特征多项式
C. ,且的正惯性指数等于的正惯性指数
D. ,且的正惯性指数等于的正惯性指数
8.设是n维欧氏空间上的自伴随算子,则下列说法正确的有___ _个。
①在的任意一组基下的表示矩阵是实对称阵
②在的任意一组标准正交基下的表示矩阵是实对称阵
③在的某组基下的表示矩阵是对角阵
④在的某组标准正交基下的表示矩阵是对角阵
A.1 B.2 C.3 D.4
二 填空题(8题×4分)
1.设是实对称阵,且,则_____。
2.写出实对称阵是正定的三个充要条件_____。
3. 设是欧氏空间上的两个向量,则_____,且等号成立的充要条件是_____。
4. 用Gram-Schmit正交化方法求由所张成的子空间的一组标准正交基(取标准内积)_____。
5.设是三维欧氏空间的一组基,其度量矩阵为,向量,则_____。
6.设是n维欧氏空间的子空间,且,则_____n(选择)。
7.设是n阶正交阵,若,则_____。
8.设是2阶正交阵,则必形如_____或_____。
三 (8分)
设三阶实对称阵的特征值为1(二重)和,且是对应于1的两个特征向量。
1)求对应的所有特征向量;
2)求矩阵。
四 (8分)
设是n阶实对称阵,其特征值为证明:
对任意的n维列向量,均成立
。
五 (10分)
设为n维欧氏空间V的一组基。
证明:
这组基础是V的标准正交基的充要条件是对V中任一向量,都有
。
六 (10分)
设是n阶实矩阵。
证明:
的特征值全为实数的充要条件是存在正交阵,使得为上三角阵。
附加题:
(不计入总分)
设是n阶实对称阵,正定,半正定。
证明:
1) 若,则;
2) 。
参考答案
一 选择题(8题×4分)
1.设是n阶对称正定阵,则是___ _。
B
A. 正定阵 B. 半正定阵 C. 负定阵 D. 半负定阵
2. 设是n阶非零实对称阵,则是半正定阵的充要条件是___ _。
B
A. 的所有k阶子式非负() B. 存在n阶非零矩阵,使得
C. 对元素全不为零的向量,总有 D. 存在非零向量,使得
3.设是二维行空间中的任意两个向量,则对以___ _为规定的内积构成欧氏空间。
C
A. B.
C. D.
4.设是欧氏空间的子空间,分别是的正交补空间,则下列叙述中错误的是___ _C
A. B.
C. 若,则 D. 若,则
5.设是n阶矩阵,则下列叙述中错误的是___ _。
D
A. 若是正交阵,则也是正交阵 B. 若是正定阵,则也是正定阵
C. 若是正交阵,则也是正交阵 D. 若是正定阵,则也是正定阵
6.设是n阶实对称阵,则下列说法正确的有___ _个。
B
①的特征值相同的充要条件是相似 ②的特征值相同的充要条件是正交相似
③的特征值相同的充要条件是合同 ④的特征值相同的充要条件是相抵
A.1 B. 2 C.3 D.4
7.设是n阶实对称阵,则满足___ _时,必相似。
B
A. ,其中分别为的极小多项式
B. ,其中分别为的特征多项式
C. ,且的正惯性指数等于的正惯性指数
D. ,且的正惯性指数等于的正惯性指数
8.设是n维欧氏空间上的自伴随算子,则下列说法正确的有___ _个。
C
①在的任意一组基下的表示矩阵是实对称阵
②在的任意一组标准正交基下的表示矩阵是实对称阵
③在的某组基下的表示矩阵是对角阵
④在的某组标准正交基下的表示矩阵是对角阵
A.1 B.2 C.3 D.4
二 填空题(8题×4分)
1.设是实对称阵,且,则_____。
0
2.写出实对称阵是正定的三个充要条件_____。
①;②;③;④可逆矩阵,使得;⑤ A的特征值全大于0;⑥ A的顺序主子式全大于0
3. 设是欧氏空间上的两个向量,则_____,且等号成立的充要条件是_____。
;线性相关即使得或
4. 用Gram-Schmit正交化方法求由所张成的子空间的一组标准正交基(取标准内积)_____。
5.设是三维欧氏空间的一组基,其度量矩阵为,向量,则_____。
6.设是n维欧氏空间的子空间,且,则_____n(选择)。
7.设是n阶正交阵,若,则_____。
0
8.设是2阶正交阵,则必形如_____或_____。
三 (8分)
设三阶实对称阵的特征值为1(二重)和,且是对应于1的两个特征向量。
1)求对应的所有特征向量;
2)求矩阵。
解:
设=是所对应的特征向量,则由实对称矩阵属于不同特征值的特征向量相互正交,
可得
上方程的基础解系为,所以的所有特征向量为,其中且。
(法一)将单位化后得:
记,则,故
(法二)由法一有,即
四 (8分)
设是n阶实对称阵,其特征值为证明:
对任意的n维列向量,均成立
。
证明:
(法一) 因为是实对称矩阵,所以存在正交阵,使得:
对任意,令,则且
同理可证。
故命题成立。
(法二) (07数学 桑雨聪 王依晨) 因为是实对称矩阵,是的特征值,所以也是实对称矩阵,且是其所有特征值。
由可知。
故是半负定矩阵,从而,即。
同理可证, 。
命题得证。
五 (10分)
设为n维欧氏空间V的一组基。
证明:
这组基础是V的标准正交基的充要条件是对V中任一向量,都有
。
证明:
(必要性)记。
因为是V的一组标准正交基,所以。
故。
从而由为V的一组基可知=。
命题得证。
(充分性)(法一)对任意取,则有。
简单整理得
。
注意到是V的一组基,必线性无关,故上式中的系数必为0,即。
这就证明了是V的一组标准正交基。
(法二)(07数学 严撼 赵筱倩)依题意,得
记。
则,即
(*) 由的任意性以及是V的一组基可知,(*)式对任意的都成立。
故,即。
所以是V的一组标准正交基。
六 (10分)
设是n阶实矩阵。
证明:
的特征值全为实数的充要条件是存在正交阵,使得为上三角阵。
证明:
(充分性)存在正交阵,使得为上三角阵,对角元全是实数。
而上三角阵的特征值恰为其对角元,所以的特征值全为实数。
又因为与相似,相似矩阵有相同的特征值,所以的特征值全为实数。
(必要性)对的阶数作归纳。
当时,取,结论成立。
设结论对阶矩阵成立。
当的阶数为时,设是的一个实特征值,是其对应的特征向量。
令,则且是单位向量,故可将扩为n维列向量标准内积空间的一组标准正交基。
将A看做这个标准内积空间上的线性变换,则
。
令,则是正交阵,且,其中是阶实矩阵。
设是的特征值,则是的特征值,故也为的特征值。
从而全为实数。
由归纳假设,存在阶正交阵使得。
令,则是n阶正交阵,且。
命题得证。
附加题:
(不计入总分)
设是n阶实对称阵,正定,半正定。
证明:
1) 若,则;
2) 。
证明:
1)(法一)(07数学 魏卓锦)因为正定,所以存在可逆阵,使得。
故若,则,即是的特征值。
又因为半正定,所以也是半正定,从而,即。
(法二) (07数学 蔡悦韵)(反证法)若,则。
若不然,设。
由知存在,使得
。
注意到正定,所以,又,故上式成立只能。
这与半正定矛盾,故。
(法三)(07数学 李雅敏)因为正定,所以存在可逆阵,使得。
由为对称阵,知存在正交阵,使得。
令,则可逆, 且,故。
又因为半正定,所以。
由设,从而,因此必有,使得,故。
2)(法一)(07数学 李雅敏)从1)的法三证明知存在可逆阵,使得 ,且,由1)得,所以。
(法二)(07数学 魏卓锦)由设是正定阵,则必可逆,又,故,,它说明是的特征值。
现设是的全部特征值,由1)知,所以,从而。
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- 厦门大学 学年 第二 学期 高等 代数 期末考试 试题