信号与系统 第二章 连续时间系统的时域分析..ppt
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第2章连续时间系统的时域分析v2.1引言v2.2微分方程的建立与求解v2.3起始点的跳变从0到0状态的改变v2.4零输入响应和零状态响应式v2.5冲激响应与阶跃响应v2.6卷积v2.7卷积的性质2024/2/111本章学习重点通过本章学习,应达到以下要求:
通过本章学习,应达到以下要求:
(1)掌握连续时间系统微分方程的建立与求)掌握连续时间系统微分方程的建立与求解解
(2)掌握零输入响应与零状态响应、冲激响)掌握零输入响应与零状态响应、冲激响应与阶跃响应的求解。
应与阶跃响应的求解。
(3)掌握卷积及卷积的性质掌握卷积及卷积的性质2024/2/1122.1引言时域分析的两种方法方法:
时域分析的两种方法方法:
1)微分方程的求解)微分方程的求解2)已知系统单位冲激响应,将冲激响应与输入激励已知系统单位冲激响应,将冲激响应与输入激励信号进行卷积,求出系统输出响应。
信号进行卷积,求出系统输出响应。
返回首页2024/2/1132.2微分方程式的建立与求解微分方程式的建立与求解一:
微分方程式的建立一:
微分方程式的建立方法:
对于给定的具体系统物理模型,按照元方法:
对于给定的具体系统物理模型,按照元件的约束特性及系统结构的约束特性来建立对件的约束特性及系统结构的约束特性来建立对应的微分方程应的微分方程。
例例2-1按如图所示按如图所示RLC并联电路,求并并联电路,求并联电路的端电压联电路的端电压与与激励源激励源间的关系。
间的关系。
2024/2/114解:
解:
根据元件关系列方程:
根据元件关系列方程:
据基尔霍夫电流定律:
据基尔霍夫电流定律:
整理后得整理后得:
2024/2/115对于复杂系统,设激励信号为对于复杂系统,设激励信号为,系统响应,系统响应为为,则可以用一高阶的微分方程表示:
,则可以用一高阶的微分方程表示:
由时域经典法,上式的完全解由两部分组由时域经典法,上式的完全解由两部分组成:
齐次解与特解成:
齐次解与特解。
2024/2/116其中,齐次解满足齐次方程:
其中,齐次解满足齐次方程:
而而齐齐次次解解的的形形式式是是形形如如函函数数的的线线性性组组合合,将将带带入入上上式式并并整整理理得得到到原原方方程程的的特征方程如下:
特征方程如下:
对对应应的的n个个称称为为微微分分方方程程的特征根。
的特征根。
齐次解齐次解2024/2/117根据特征根的不同,齐次解有如下形式:
根据特征根的不同,齐次解有如下形式:
u无重根时无重根时:
u有重根时,则对应有重根时,则对应k阶重根部分将有阶重根部分将有k项,形如:
项,形如:
2024/2/118例例2-3求微分方程的齐次解。
求微分方程的齐次解。
解:
系统的特征方程为:
解:
系统的特征方程为:
因而齐次解为:
因而齐次解为:
2024/2/119l自由项:
将激励代入原微分方程右端,化简后右端自由项:
将激励代入原微分方程右端,化简后右端函数式称为函数式称为“自由项自由项”。
l特解:
通过观察自由项来试选特解形式,然后代入特解:
通过观察自由项来试选特解形式,然后代入方程后求得特解的待定系数。
方程后求得特解的待定系数。
特解特解2024/2/1110例例2-4给定微分方程式,给定微分方程式,如果已知:
如果已知:
(1)
(2)分别求两种情况下此方程的特解。
分别求两种情况下此方程的特解。
解:
解:
(1)将)将代入方程右端,得到代入方程右端,得到为使等式两端平衡,试选特解函数式为使等式两端平衡,试选特解函数式代入原方程得:
代入原方程得:
2024/2/1111等式两端各对应幂次系数相等,有:
等式两端各对应幂次系数相等,有:
联解得到:
联解得到:
所以,特解为:
所以,特解为:
2024/2/1112以上简单回顾了线性常系数微分方程的以上简单回顾了线性常系数微分方程的经典解法经典解法。
齐次解称为系统的齐次解称为系统的自由响应自由响应。
特解称为系统的。
特解称为系统的强迫强迫响应响应,强迫响应只与系统的激励的形式有关。
整个系统,强迫响应只与系统的激励的形式有关。
整个系统的的完全响应完全响应即为即为自由响应与强迫响应之和自由响应与强迫响应之和。
完全响应=自由响应+强迫响应2024/2/11132.3起始点的跳变从起始点的跳变从0到到0状态的转换状态的转换在系统分析中,把响应区间确定为激励信在系统分析中,把响应区间确定为激励信号加入后系统状态变化区间。
一般激励都是号加入后系统状态变化区间。
一般激励都是从从t0时刻加入,因此系统的响应区间定义时刻加入,因此系统的响应区间定义为为2024/2/11142.3起始点的跳变从起始点的跳变从0到到0状态的转换状态的转换初始条件:
初始条件:
t=0+时刻的一组状态,用来确定全响应时刻的一组状态,用来确定全响应表示式中常数表示式中常数Ai。
起始状态:
系统在激励信号加入之前瞬间的一组状起始状态:
系统在激励信号加入之前瞬间的一组状态态,t=0-2024/2/1115例例2-5给定如图所示电路,给定如图所示电路,t=0+时的变化。
时的变化。
解:
解:
1)列写微分方程:
)列写微分方程:
2024/2/1116整理后得:
整理后得:
把参数代入得:
把参数代入得:
2024/2/11172)求系统的完全响应求系统的完全响应齐次解:
齐次解:
所以齐次解为:
所以齐次解为:
2024/2/1118特解:
特解:
由于由于,所以方程右端的自由项为所以方程右端的自由项为44,因此另特解为:
,因此另特解为:
代入方程:
代入方程:
所以系统的完全响应为:
所以系统的完全响应为:
2024/2/1119(3)确定换路后的确定换路后的和和换路前:
换路前:
换路后:
换路后:
2024/2/1120(4)求求在在时的完全响应时的完全响应由由的表达式的表达式2024/2/1121所以要求的完全响应为:
所以要求的完全响应为:
上面分析方法是在系统的电容电压和电感电流从上面分析方法是在系统的电容电压和电感电流从0状态到状态到0状态没有发生跳变的情况。
状态没有发生跳变的情况。
当系统已经用微分方程表示时,判断系统是否发生当系统已经用微分方程表示时,判断系统是否发生跳变的方法是看微分方程右端的自由项是否包含跳变的方法是看微分方程右端的自由项是否包含及其导数。
如果包含及其导数。
如果包含及其各阶导数,说明系统及其各阶导数,说明系统从从0到到0状态发生了跳变。
状态发生了跳变。
2024/2/1122v状态有跳变时求初始条件(冲激函数匹配法)状态有跳变时求初始条件(冲激函数匹配法)原理:
根据原理:
根据时刻微分方程左右两端的时刻微分方程左右两端的及其各阶导数应该平衡相等。
及其各阶导数应该平衡相等。
例如:
例如:
对于给定的对于给定的0时刻的初始时刻的初始值,如何确定值,如何确定0时刻状态时刻状态。
分析:
由于方程右端有分析:
由于方程右端有,所以方程左端的最高次项必,所以方程左端的最高次项必然含有然含有。
不妨假设不妨假设,则方程左端为:
则方程左端为:
2024/2/1123上面得到的方程的左端与方程的右端并不相等,而是相差一上面得到的方程的左端与方程的右端并不相等,而是相差一个个项。
因此重新假设项。
因此重新假设则原方程左端变为:
则原方程左端变为:
这里,这里,表示从表示从0到到0相对单位跳变函数。
即相对单位跳变函数。
即现在方程的左端又多了一个现在方程的左端又多了一个项,因此还需重新项,因此还需重新假设假设则左端为:
则左端为:
2024/2/1124可见,当可见,当时,能够满足方程时,能够满足方程左右两端已经平衡。
因此左右两端已经平衡。
因此是是满足要求的。
满足要求的。
所以:
所以:
在这个式子中,有一项跳变项在这个式子中,有一项跳变项,它是产生跳变的,它是产生跳变的原因。
原因。
所以:
所以:
即初始条件与原始状态之间的关系只由即初始条件与原始状态之间的关系只由系数决定。
系数决定。
这个积分这个积分为为02024/2/1125数学方法描述冲激函数匹配法:
数学方法描述冲激函数匹配法:
按照上面的原理分析,我们总结冲激函数匹配法如下:
按照上面的原理分析,我们总结冲激函数匹配法如下:
已知方程右端含有已知方程右端含有,因此它一定属于,因此它一定属于因此,设:
因此,设:
上面两式代入原来的微分方程:
上面两式代入原来的微分方程:
注意只定义到就够了。
2024/2/1126整理并比较方程两端系数得到:
整理并比较方程两端系数得到:
所以:
所以:
所以:
所以:
2024/2/1127例题:
例题:
2-6用冲激函数匹配法求解例用冲激函数匹配法求解例2-5中的完全响应。
中的完全响应。
解解
(1)根据给定的根据给定的,考虑到,考虑到在换路过程在换路过程中的变化如下图所示:
则求得中的变化如下图所示:
则求得时刻由时刻由2v跳变到跳变到4v,即,即,所以微分方程为:
所以微分方程为:
(2)已知)已知和和,用冲激函数,用冲激函数匹配法,求匹配法,求和和。
2024/2/1128由于得到的微分方程的最高阶次为由于得到的微分方程的最高阶次为,因而,因而假设:
假设:
代入原来的微分方程得:
代入原来的微分方程得:
2024/2/1129求得:
求得:
其余求解步骤与例其余求解步骤与例2-5相同。
相同。
所以要求的所以要求的0状态为:
状态为:
因而:
因而:
2024/2/11302.4零输入响应与零状态响应v1零输入响应v2零状态响应2024/2/1131例题例题2-7:
设有:
设有RC电路如图,电容两端有起始电路如图,电容两端有起始电压电压,激励源为,激励源为,求求时时系统响应电容两端电压系统响应电容两端电压解:
由电路图可以得到系统解:
由电路图可以得到系统的微分方程:
的微分方程:
解该微分方程得:
解该微分方程得:
2024/2/1132分析上面的结果可以看到,完全响应由两部分组成,分析上面的结果可以看到,完全响应由两部分组成,其中第一部分只和电容两端的电容的起始储能有关,其中第一部分只和电容两端的电容的起始储能有关,与输入的激励无关,被称为与输入的激励无关,被称为零输入响应零输入响应。
第二部分。
第二部分与起始储能无关,只与输入激励有关,被称为与起始储能无关,只与输入激励有关,被称为零状零状态响应态响应。
2024/2/11331零输入响应v所谓零输入,是指系统无外加激励,即激励信号所谓零输入,是指系统无外加激励,即激励信号,这时仅由系统的初始储能产生的响应称为零输入,这时仅由系统的初始储能产生的响应称为零输入响应。
响应。
并记为并记为。
它是满足方程。
它是满足方程及起始状态及起始状态的解,可见的解,可见它是齐次解中的一部分,即:
它是齐次解中的一部分,即:
特征特征根根2024/2/11342零状态响应v所谓零状态,是指系统没有初始储能(系统的起始所谓零状态,是指系统没有初始储能(系统的起始状态为零),仅由系统的外加激励所产生的响应。
状态为零),仅由系统的外加激励所产生的响应。
记为记为。
它满足方程:
。
它满足方程:
及起始状态及起始状态,其形式为,其形式为特解特解2024/2/1135自由响应强迫响应零输入响应零状态响应2024/2/1136例题例题2-8对例对例2-5中的电路,把中的电路,把电路看作起始状电路看作起始状态,分别求态,分别求时时的零输入响应和零状态响的零输入响应和零状态响应。
应。
解:
解:
原电路原电路零输入电路零输入电路2024/2/1137零状态电路零状态电路初始值等效电路初始值等效电路2024/2/11381、零输入响应:
是系统满足、零输入响应:
是系统满足和和0状态的状态的和和的解。
的解。
2024/2/1139由于前面已经求过,系统的特征根为由于前面已经求过,系统的特征根为-2和和5,所以零输入响应的形式为,所以零输入响应的形式为:
将将和和代入齐次微分方程得:
代入齐次微分方程得:
所以零输入响应为:
所以零输入响应为:
2024/2/1140v2零状态响应:
是满足微分方程零状态响应:
是满足微分方程及起始状态及起始状态和和的解。
的解。
由例由例2-5求得:
求得:
其中,其中,和和由由和和确定。
确定。
2024/2/1141把把代入方程右端的自由项得:
代入方程右端的自由项得:
利用冲激函数匹配法,设:
利用冲激函数匹配法,设:
代入原方程得:
代入原方程得:
2024/2/1142解得:
解得:
所以:
所以:
代入零状态响应形式得:
代入零状态响应形式得:
2024/2/1143所以,系统的零状态响应为:
所以,系统的零状态响应为:
系统的全响应为:
系统的全响应为:
零状态响应零状态响应零输入响应零输入响应自由响应自由响应强迫响应强迫响应2024/2/11443瞬态响应与稳态响应瞬态响应与稳态响应v全响应还可以分解为瞬态响应与稳态响应之全响应还可以分解为瞬态响应与稳态响应之和。
当和。
当时,响应趋于零的那部分响应时,响应趋于零的那部分响应分量称为瞬态响应;分量称为瞬态响应;时,保留下来的时,保留下来的那部分分量称为稳态响应。
那部分分量称为稳态响应。
2024/2/1145(a)(b)图2-42系统响应的过渡过程示意图返回本节2024/2/11462.4冲激响应与阶跃响应冲激响应阶跃响应返回首页2024/2/11471.冲激响应v以单位冲激信号作为激励,LTI连续系统产生的零状态响应称为单位冲激响应,简称冲激响应,记为。
冲激响应示意图如图2-44所示。
2024/2/1148图2-44冲激响应示意图2024/2/1149v2阶跃响应以单位阶跃信号作为激励,LTI连续系统产生的零状态响应称为单位阶跃响应,简称阶跃响应,记为。
阶跃激励与阶跃响应的关系表示为:
或2024/2/1150冲激响应与阶跃响应之间的关系:
冲激响应与阶跃响应之间的关系:
由于冲激信号与单位阶跃信号存在微分与积分关由于冲激信号与单位阶跃信号存在微分与积分关系,因而,对于响应也存在如下微分与积分关系:
系,因而,对于响应也存在如下微分与积分关系:
2024/2/1151l冲激响应冲激响应满足微分方程:
满足微分方程:
及起始状态及起始状态。
当当nm时,时,可以表示成:
可以表示成:
注意:
特解为注意:
特解为0当当n=m时,则表达式还将有时,则表达式还将有及其各阶导数项。
及其各阶导数项。
2024/2/1152例题例题2-9对图所示电路,求电流对图所示电路,求电流对激励对激励的冲激响应的冲激响应。
解:
解:
2024/2/1153系统冲激响应满足方程:
系统冲激响应满足方程:
它的齐次解形式:
它的齐次解形式:
利用冲激函数匹配法求利用冲激函数匹配法求和和设:
设:
2024/2/1154解得:
所以:
代入得:
2024/2/1155因为m=n,所以h(t)中有一项,而又因为,所以要求的冲激响应为:
2024/2/1156l阶跃响应阶跃响应系统的阶跃响应满足方程系统的阶跃响应满足方程及起始状态及起始状态。
可以看出方程。
可以看出方程右端的自由项右端的自由项含有含有及其各阶导数,同时还包含及其各阶导数,同时还包含阶跃函数阶跃函数,因此阶跃响应包含齐次解和特解。
,因此阶跃响应包含齐次解和特解。
具体解法见具体解法见p602024/2/11572.6卷积卷积v卷积的定义:
对于任意两个信号卷积的定义:
对于任意两个信号和和,两者做卷积运算定义为:
,两者做卷积运算定义为:
v注意:
注意:
v是卷积的简写符号,也可以写成是卷积的简写符号,也可以写成2024/2/1158分析该式发现,卷积积分的计算过程中有反褶和位移的分析该式发现,卷积积分的计算过程中有反褶和位移的过程,所以得出卷积计算的过程,所以得出卷积计算的5个步骤:
个步骤:
2024/2/1159v卷积的原理:
卷积方法的原理就是将信号分解为冲卷积的原理:
卷积方法的原理就是将信号分解为冲激信号之和,借助系统的冲激响应激信号之和,借助系统的冲激响应,求解系统,求解系统对任意激励信号的零状态响应。
对任意激励信号的零状态响应。
v假设系统的冲激信号为假设系统的冲激信号为,冲激响应为,冲激响应为,则系统的零状态响应为:
则系统的零状态响应为:
2024/2/1160l卷积的图解法:
卷积的图解法:
卷积图解法是借助于图形计算卷积积分的一卷积图解法是借助于图形计算卷积积分的一种基本计算方法。
与解析法相比,图解法使种基本计算方法。
与解析法相比,图解法使人更容易理解系统零状态响应的物理意义和人更容易理解系统零状态响应的物理意义和积分上下限的确定。
从几何意义来说,卷积积分上下限的确定。
从几何意义来说,卷积积分是相乘曲线下的面积。
积分是相乘曲线下的面积。
采用图解法可以采用图解法可以使枯燥的数学符号生动活泼起来,图形的加使枯燥的数学符号生动活泼起来,图形的加入起到画龙点睛的奇妙效果。
入起到画龙点睛的奇妙效果。
2024/2/11612024/2/11622024/2/11632024/2/116412024/2/1165卷积积分结果卷积积分结果2024/2/11662.7卷积的性质v1交换律v2分配律2024/2/1167图2-53两个子系统并联2024/2/1168v3结合律v4卷积的微分与积分2024/2/1169一般化,卷积的高阶导数或多重积分得运算规律一般化,卷积的高阶导数或多重积分得运算规律为:
为:
设:
设:
则:
则:
例如:
例如:
2024/2/1170v5与任意信号的卷积2024/2/1171表2-6卷积性质一览表2024/2/1172
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