2023-2024学年辽宁省五联考高一年级上册期末考试数学试题(含答案).pdf
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2023-2024学年辽宁省五联考高一上册期末考试数学试题一、单选题1.已知集合厶=卜卜341,则Ac仅3)=()A.xx-3)B.C.x|lx3jD.|x|-3x1【正确答案】D【分析】根据集合交集,补集运算解决即可.【详解】由题知,集合A=X|-34X1,所以48=卜,1,所以Ac低8)=3361,故选:
D2.命题Fx0,Fx?
-x0”的否定是()X1919A.3x0,xx0B.Vx0xx1919C.Vx0,x-x0D.Vx20,Fx%之0xx【正确答案】C【分析】利用存在量词命题的否定的结构形式可得正确的选项.【详解】命题“去0,丄+/一X0”的否定为:
“Vx3B.尤3C.x3D.x0【正确答案】B【分析】根据充分条件,必要条件的定义,结合集合的包含关系解决即可.【详解】由题知,一二20,x-3所以卜解得xVO,或x3,X-3H0Y对于A,能成为一20的充分必要条件;x-3X对于B,能成为一20的充分不必要条件;x-3对于C,能成为工720的既不充分也不必要条件;x-3对于D,能成为二20的既不充分也不必要条件;x-3故选:
B5.设/(x)是定义域为R上的偶函数,且在(0,+8)单调递增,则()【正确答案】B【分析】根据指数函数单调性可知232整,再根据对数函数单调性可得23/、log,312一32万,结合函数“X)的奇偶性和单调性即可得出结论(_2(_3【详解】由指数函数=2为单调递增函数可知2。
=232卷,所以2f又是定义域为R上的偶函数,所以/log21=/(-log23)=/(log23),由对数函数y=log2可知,log23log?
2=l,故选:
B6.如图,在ABC中,BM=;BC,NC=C,直线AM交BN于点、Q,若BQ*BN,则2=()【正确答案】ALUKIUUL1UU【分析】由AM,。
三点共线可得存在实数使得BQ=8M+(1-)84,再由A,N,C三点4uunT.uun3共线可解得=,利用向量的线性运算化简可得NC=1AC,即2【详解】根据图示可知,AM,Q三点共线,由共线定理可知,L1L1UUUUUU存在实数使得=)84,uuir1uunmu5a皿5uuo1uunuir又BM=-BC,BQ=BN,所以8N=58c+(1-)8A,514又A,MC三点共线,所以1=+l,解得=;,uun2皿113111Tzuirnum、7zuiruum、3uir即可得BNuyBC+BA,所以(8A+AN)=w(8A+AC)+gBA,7uuniiuin7uinnuuni3uun所以AN=yAC,gpAC-NC=-AC,可得NC=,AC,又NC=C,即可得人;故选:
A7.已知奇函数X)是定义在R上的单调函数,若正实数。
,厶满足f(a)+/(26-1)=0,则丄+的最小值是()abA.1+20B.2A/2C.2D.4【正确答案】A【分析】根据题意得。
+功=1,得丄+:
=1+殳+,再根据基本不等式解决即可.abab【详解】由题知,奇函数/(X)是定义在R上的单调函数,正实数a,6满足“。
)+/(2。
-1)=0,所以/(a)=-力-1)=1一効),所以a=l26,即a+2Z?
=l,g、i1aa+2。
at2b。
一八12bat八r-所以一+=-+-=1+-1+2-=1+2V2,abababab当且仅当之=,即=夜-1力=1-也时取等号,ab2故选:
A8.高斯是德国著名的数学家,近代数学莫基者之一,享有“数学王子的称号,他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家.用其名字命名的“高斯函数为:
y=x(xwR),可表示不超过x的最大整数,如卜1.6=-2,1.6=1,2=2,已知力=马二1+丄,则函数户/(切e+12的值域为()A.0B.-1,0C.-1,0,1D.-2,-1,0【正确答案】C【分析】先进行分离,然后结合指数函数与反比例函数性质求出/(x)的值域,结合已知定义即可求解.【详解】因为力記+9|-高又e,+11,所以0宀2,1+e2所以一2-17b,则2从B.若丄人abC.右ba0,m0,贝ij一人=一1时,a2=b2,故A错误;对于B选项,当。
=-1,6=1,丄时,aa0,?
(),-=)、o,所以故C正确;bb+mbb+m)bb+m对于D选项,若一1。
5,2b3,贝1一36,11,12,13,2a,2Z,21,22,23,3a,3/7,31,32,33),共25种;记事件C为“取出1个红球和1个白球”,贝ijC=al,a2,di,bl,b2,b3,la,b,2a,2b,3a,3b,共12种,12所以P(C)崎,故C错误;记事件。
为“取出2个白球“,则=11,12,13,21,22,23,31,32,33,共9种;9所以P(O)=不,916所以至少取岀1个红球的概率为1-石=石,故D正确.故选:
BD12.已知函数/(x)=e+x2,g(x)=lnx+x2,且a)=g0)=O,则下列结论正确的是()A.a+b=2B.g(tz)O/(Z?
)C.efl+InZ?
2【正确答案】AB【分析】对于A:
利用片e,与y=lnx互为反函数的性质即可求解;对于B:
利用x),g(x)的单调性即可求解;对于CD:
由题得a)=e“+a2=0,g(3=lnb+b2=0,贝ije+lnb=4-(a+/?
)=2.【详解】对于A:
由/(x)=e*+x-2=0,g(x)=lnx+x-2=0得:
ev=-x+2nx=-x+2,则y=e*和y=Inx与y=-x+2都相交,又丫=小与y=lnx互为反函数,图象关于y=x对称,(y=x.,x=1由,,解得1,y=-x+2y=l即尸e*和y=lnx与y=-x+2的交点关于(1,1)对称,所以审=1,即。
+6=2.故A正确;对于B:
函数/(x),g(x)都是增函数,因为/(0)=,+0-2=-10,所以在区间(0,1)内存在零点,即因为g=lnl+l2=10,所以在区间(1,2)内存在零点,即1匕2;所以。
匕,所以g(a)g(b)=O,/(a)=0/(/?
),所以g(a)0/.故B正确;,对于CD:
由A知,a+b=2因为a)=e+a2=0,g(b)=nb+b-2=0,所以e+lnb=4(a+/j)=2,故CD错误.故选:
AB.方法点睛:
(1)两个函数互为反函数,则它们的图象关于y=x对称,若两个函数与其他直线都相交,设为A3,则其他直线与N=x的交点即为的中心对称点;
(2)根据零点存在性定理可以确定零点所在的区间,根据区间的范围可以间接求出函数的范围.三、填空题13.已知暴函数f(x)=(*+3/+l)x在第一象限单调递减,则,(附=【正确答案】【分析】根据题意得m2+3m+l=_“一,加,即可解决【详解】由题知,黑函数,3=(加+3加+1卜在第一象限单调递减,所以m2+3m+1=1,人,,解得加=0(舍去),或相=一3,m/.AB-AC=O,即AB-ZAC,二旳=,网2+=A/42+22=2后,.当4W丄BC时,由面积法得26KM=2x4,,卜竽,所以|AM|的最小值为竽.故任515.己知函数x)=ln(a?
_2x+2),若“力在区间(一双;)内单调递减,则。
的取值范围是.【正确答案】0Wa42【分析】设g(x)=or2-2x+2,由题得g(x)=ay2-2x+2在区间(-8,;)上为减函数,且g(x)0在区间(-8,;)上恒成立,分。
=0,a0三种情况讨论即可解决.【详解】因为函数x)=ln(加-2x+2)在区间,00,;)内单调递减,设g(x)=2-2x+2,所以g(x)=x2_2A+2在区间,8,;)上为减函数,且g(x)0在区间18,)上恒成立,当。
=0时,g(x)=-2x+2,满足题意;当a0时,g(x)=ax-2x+2,0所以+120,4-21-2a2解得0a2;所以综上可得0KK2.故0工。
42四、双空题16.已知函数/(%)=(1,若函数g(x)=/(x)-7;有4个零点为,巧,七,-x-x+l,x0【详解】由题意,函数12,xx+1,x40L4根函数的图象变换,函数/(x)=T的图象关于x=l对称,根据二次函数的性质,可得函数f(x)=-;/-x+1的图象关于x=-2对称,在坐标系中作岀函数f(x)的图象,如图所示,3函数g(x)=/(x)-5有4个零点为,巧,七,Z,可得笑上=-2,上产=1,所以占+9+*3+匕=-2:
令x)=l,则方程r(x)-“(x)+4=O可化为/一+a=0,因为尸(x)/(x)+a=O有8个不等的实数根,则方程/(x)=r必有4个实数根,所以1f2,所以一一之+4=0在te(l,2)有2个不同的实数根,令)=/一|,+。
,可得其对称轴的方程为1/5、2525nh=-+Q0,解得
(2)=4-5+a0所以实数。
的取值范围是弓3,言25).216五、解答题17.平面内给定三个向量。
=(3,2),6=(-1,2),c=(4,l).若(a+砌,-2a),求实数出;
(2)若d满足(d-c)(a+6),且口-。
卜石,求d的坐标.【正确答案】
(1)=8
(2)d=(3,l)或d=(5,3)【分析】
(1)根据题意得。
+氏匸0+北2+左),6-24=(-7,-2),由平行向量的坐标表示即可解决;
(2)设d=(x,y),得d-c=(x-4,yl),”+。
=(2,4),根据题意列方程组即可解决.【详解】
(1)因为。
=(3,2),=(-1,2),c=(4,l),所以a+A;c=(3+4A:
2+4),=(-7,-2),因为(a+Zc)/(/?
-2a),所以
(2)x(3+4&)(7)x(2+&)=0,解得k=8;
(2)设d=(x,y),则d-c=(x-4j-l),a+=(2,4),因为(d_C)/(“+8),卜_。
卜石,所以4(x-4)-2(y-l)=0(x-4)2+(y-l)2=5解得=:
或y=-ix=5y=3所以d=(3,1)或d=(5,3).18.期末考试结束后,某校从高一1000名学生中随机抽取50名学生,统计他们数学成绩,成绩全部介于65分到145分之间,将统计结果按如下方式分成八组:
第一组65,75),第二组75,85),L,第八组135,145.如图是按上述分组方法得到的频率分数分布直方图的一部分.
(2)用样本数据估计该校的1000名学生这次考试成绩的平均分;(3)若从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取2名,求他们的分差的绝对值大于10分的概率.【正确答案】
(1)0.080102(分)【分析】
(1)根据频率之和为1求解即可;
(2)根据还也求解即可;/=1(3)由频率分布直方图知样本成绩属于第六组的有0.006x10x50=3(人),设为A,8,C,样本成绩属于第八组的有。
.004x10x50=2(人),设为“,b,再用列举法求解即可.【详解】
(1)由频率分布直方图得第七组的频率为:
1-(0.004+0.012+0.016+0.030+0.020+0.006+0.004)*10=0.080;
(2)用样本数据估计该校的1000名学生这次考试成绩的平均分为:
70x0.004x10+80x0.012x10+90x0.016x10+100x0.030x10+110x0.020x10+120x0.006x10+130x0.008x10+140x0.004x10=102(分):
(3)由频率分布直方图知,样本成绩属于第六组的有0006x10x50=3(人),设为样本成绩属于第八组的有0.004*10x50=2(人),设为。
,h,从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取2名,有A,B,A,C,C,B,A,a,A,b,B,a,B,b,C,a,C,b,a,印共10种,其中他们的分差得绝对值大于10分包含的基本事件有A,a,A,b,B,a,B,b,C,a,C力共6种,所以他们的分差的绝对值大于10分的概率P=K=|19.已知函数f(x)=log2(x+l),g(x)=log2(l-x).求函数力(力=/0)-8(%)的定义域;若不等式力(力log?
干%在H上恒成立,求实数加取值范围(l-x)x162J【正确答案】,1)7
(2)0m0【分析】
(1)由(X)=10g2(X+l)-bg2(l-X),得八,即可解决;I1X()/、x+1m1/
(2)由函数),二唾2%在(0,+巧上单调递增,得匸不在不小上恒成立,即Ocwvd+x在上恒成立,即可解决.O2【详解】
(1)因为%)=log2为+1),g(x)=log2(l-x),V-I-1所以/?
(%)=log2(x+l)-log2(l-x)=log2-,Xx+0所以函数定义域满足八,解得-1VXV1,l-x0所以函数M6=x)-g(x)的定义域为(一口).v-_LI
(2)因为Mx)=log2,-所以g)1呜产正即bg2H咋2G因为函数y=iog2”在(o,+8)上单调递增,x+1m11-所以匚在上恒成立又因为(1-x)x0,所以07X2+X,又函数y=d+x=(x+gj-;在,;上单调递增,所以(f+x)=(,/m,n367则0相表示“乙赢得比赛”由
(1)知咽吟,哂)=由表示“两人中至少有一个赢得比赛”,且P(CO)=l-P(而)求解即可.【详解】
(1)记事件A表示“甲在第一轮比赛中胜出“,事件4表示“甲在第二轮比赛中胜出”,事件与表示“乙在第一轮比赛中胜出“,事件与表示“乙在第二轮比赛中胜出”,所以A4表示“甲赢得比赛”,P(A4)=尸(A)P(4)=gx,=卷,314瓦生表示“乙赢得比赛”,P(B1B2)=P(B,)P(B2)=-X-=,42893因为觉)=lP(而)=1一户母)P(万)=1一x|=3所以两人至少一人赢得比赛的概率为不21.已知函数/(6=*-2*+4,g(x)=ov+5-a.若函数y=/(x)在区间-3,0上存在零点,求实数。
的取值范围;若对任意的看武-3,3,总存在94-3,3,使得/(xj=g值)成立,求实数的取值范围.【正确答案】卜15,0
(2)(-,-6U10,+)【分析】
(1)根据函数“X)在-3,0上单调递减,由函数y=/(x)在区间-3,0上存在零点,得J;(O)=a0即可解决;
(2)记函数同=/-2+*x-3,3的值域为集合A,g(x)=ax+5-a,xe-3,3的值域为集合8,则对任意的芯e-3,3,总存在毛e-3,3,使得/($)=g(占)成立oAuB,XA=y|a-ly(),。
0求解,即可解决.【详解】
(1)由题知,/(x)=x2-2x+a,因为y=x)的图象开口向上,对称轴为x=l,所以函数/(力在-3,0上单调递减因为函数y=/(x)在区间-3,0上存在零点,所以/(-3)=15+0。
)=公。
解得,所以实数”的取值范围为-15,0.
(2)记函数”x)=x2-2x+a,xe-3,3的值域为集合A,g(x)=av+5-a,xe-3,3的值域为集合8,则对任意的3W3,3,总存在3,3,使得%)=g(%)成立oAuB,因为的图象开口向上,对称轴为x=i,所以当3,3,=l)=aT,“Lx=/(-3)=+15,得A=y|a-14y4a+15,当a=0时,g(x)的值域为5,显然不满足题意;当a0时,g(x)的值域为3=y|5-4aVy45+24,因为8,所以5-4a+15,解得。
210;当a0时,g(x)的值域为8=)“5+勿丫45-4,因为AgB,所以5+2aa+5解得综上,实数”的取值范围为(-8,-6310,+8).22.已知函数x)=2+b2k若X)为偶函数,且函数g(x)=4、+:
2时(x)在区间1,同上的最小值为11,求实数机的值;
(2)若/(x)为奇函数,不等式/(3x)Z可,(2x)在xeR,2上有解,求实数,的取值范围.【正确答案】
(1)加=3-2110【分析】令“X)为偶函数,得4=1,得g(x)=4+92M2*+2-),令-3tw令夕(/)=产一2/加一2,分,加解决即可;
(2)由x)为奇函数,得f(x)=Tx-2x,由3x)2时(2力在xel,2上有解,得:
加上+24令$=2、+2,2X+2Xse,得加2三a=s-丄,令(s)=s丄,根据单调性解决即可.24JssS2*h7-v【详解】
(1)由于/(力=土土匕为偶函数,k所以f(一尤)=x),代入得:
-=-,kk所以2*+h2T=2-*+小2*,所以(k_1)-(2*_2-*)=0,所以Z=1,所以/(x)=2+2T,因为函数g(x)=4+;2时(x)在区间l,+o)上的最小值为Tl,令t=2*+2-*,贝!
Re|,+s)此时=/_2M-2,当?
w|时,奴。
在re|,+8)单调递增,所以S(!
不满足题意;所以无解;当机时,9。
)1nh,=9(。
=-11,解得:
=3;因为机|所以/%=3,综上所述.m=3
(2)因为x)为奇函数,所以0)=0,所以=-1,经检验/)=2T-2、是奇函数满足题意.又因为不等式/(3力2吋(2力在xl,2上有解,所以2-23(m(T2x-22X),所以2筋-2小”222),由平方差和立方差公式得:
加22+2-2+1=(2+2)-2*+2“2X+2-X令s=2+2T,因为x4l,2,,517所以sw2,T所以W-=5-,ssi517-在而/?
(s)=s-在S上单调递增,s_24_所以%(七=咽*,因为不等式”3x)2对(2x)在x4l,2上有解,所以相喘21.
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