1、2023-2024学年辽宁省五联考高一上册期末考试数学试题一、单选题1.已知集合厶=卜卜3 4 1 ,则A c 仅 3)=()A.xx-3)B.C.x|l x3j D.|x|-3 x 1【正确答案】D【分析】根据集合交集，补集运算解决即可.【详解】由题知，集合A=X|-3 4X1,所以4 8 =卜,1,所以A c 低 8)=3 3 6 1 ,故选：D2.命题F x 0,F x?-x 0”的否定是()X1 9 1 9A.3x 0,x x 0 B.Vx 0 xx1 9 1 9C.Vx 0,x-x0 D.Vx2 0,Fx%之0 x x【正确答案】C【分析】利用存在量词命题的否定的结构形式可得正确的选
2、项.【详解】命题“去 0,丄+/一 X0”的否定为：“Vx3 B.尤 3 C.x 3 D.x 0【正确答案】B【分析】根据充分条件，必要条件的定义，结合集合的包含关系解决即可.【详解】由题知，一二2 0,x-3所以卜解得x V O,或x 3,X-3H0Y对于A,能成为一 2 0 的充分必要条件；x-3X对于B,能成为一 2 0 的充分不必要条件；x-3对于C,能 成 为 工 7 2 0 的既不充分也不必要条件；x-3对于D,能 成 为 二 2 0 的既不充分也不必要条件；x-3故选：B5.设/(x)是定义域为R 上的偶函数，且在(0,+8)单调递增，则()【正确答案】B【分析】根据指数函数单调
3、性可知2 3 2 整，再根据对数函数单调性可得2 3/、log,3 1 2一 3 2万，结合函数“X)的奇偶性和单调性即可得出结论(_ 2 (_3【详解】由指数函数=2 为单调递增函数可知2。=2 3 2 卷，所以 2 f又 是 定 义 域 为 R 上的偶函数，所以/lo g2 1=/(-lo g2 3)=/(lo g2 3),由对数函数 y=log2 可知，log23log?2=l,故选：B6.如图，在 ABC 中，B M =；BC,N C =C，直线 A M 交 B N 于点、Q,若 B Q*B N ,则 2=()【正确答案】ALUKI UUL1 U U【分析】由A M,。三点共线可得存在
4、实数使得BQ=8M+(1-)8 4,再由A,N,C三点4 uun T.uun 3共线可解得=,利用向量的线性运算化简可得NC=1 A C,即2【详解】根据图示可知，A M,Q三点共线，由共线定理可知，L1L1U U U U U U存 在 实 数 使 得=)8 4,uuir 1 uun mu 5 a皿 5 uuo 1 uun uir又 B M =-B C,B Q =B N ,所以8 N =5 8 c+(1-)8A,5 1 4又A,M C三点共线，所以1 =+l，解得=；,uun 2 皿113111T zuir num、7 zuir uum、3 uir即可得B N uyB C +B A,所以(8A
5、+AN)=w(8A+AC)+gBA,7 uun iiuin 7uinn uuni 3 uun所以 AN=yA C,gp A C-N C =-A C ,可得 NC=，AC,又N C =C，即 可 得 人;故选：A7.已知奇函数X)是定义在R上的单调函数，若正实数。，厶满足f(a)+/(26-1)=0,则丄+的最小值是()a bA.1 +2 0 B.2A/2 C.2 D.4【正确答案】A【分析】根据题意得。+功=1,得丄+:=1+殳+,再根据基本不等式解决即可.a b a b【详解】由题知，奇函数/(X)是定义在R 上的单调函数，正实数a,6 满足“。）+/（2。-1）=0,所以/（a）=-力-1
6、）=1 一 効）,所以a=l 2 6,即a+2Z?=l,g、i 1 a a+2。a t 2b。一 八 12b a t 八 r-所以一+=-+-=1 +-1 +2-=1 +2V2，a b a b a b a b当且仅当之=,即 =夜-1力=1 -也 时 取 等 号，a b 2故选：A8.高斯是德国著名的数学家，近代数学莫基者之一，享有“数学王子的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家.用其名字命名的“高斯函数为：y=x(xwR),可表示不超过x 的最大整数，如卜1.6=-2,1.6=1,2=2,已知力=马二1+丄，则 函 数 户/(切e+1 2的值域为()A.0 B.-1,0 C.-1,0
7、,1 D.-2,-1,0【正确答案】C【分析】先进行分离，然后结合指数函数与反比例函数性质求出/(x)的值域，结合已知定义即可求解.【详解】因 为 力 記+9|-高又 e，+1 1,所以0宀 2,1+e2所以一 2-17b,则2 从B.若丄人a bC.右b a 0,m 0 ,贝 ij 一 人=一1时，a2=b2,故 A 错误；对 于 B 选项，当。=-1,6=1,丄 时，a a 0,?(),-=)、o,所以故C 正确；b b+m b b+m)b b+m对于 D 选项，若一1。5,2 b 3,贝 1 一 3 6 ,11,12,13,2a,2Z,21,22,23,3a,3/7,31,32,33),
8、共 25种；记事件C 为“取 出 1个红球和1 个白球”，贝 ijC=al,a2,di,bl,b2,b3,la,b,2a,2b,3a,3b,共 12 种，12所以P(C)崎,故C错误;记事件。为“取出 2 个白球“，则 =11,12,13,21,22,23,31,32,33,共 9 种；9所以P(O)=不，9 16所以至少取岀1个红球的概率为1-石=石，故D正确.故选：BD1 2.已知函数/(x)=e+x 2,g(x)=lnx+x 2,且 a)=g 0)=O,则下列结论正确的是()A.a+b=2 B.g(tz)O/(Z?)C.efl+InZ?2【正确答案】AB【分析】对于A：利 用 片e,与y
9、=lnx互为反函数的性质即可求解；对于B：利用x),g(x)的单调性即可求解；对于CD：由题得a)=e“+a 2=0,g(3 =lnb+b 2=0,贝ije+lnb=4-(a+/?)=2.【详解】对于 A：由/(x)=e*+x-2=0,g(x)=lnx+x-2=0得：ev=-x+2 nx=-x+2,则y=e*和y=Inx与y=-x+2都相交，又丫=小与y=lnx互为反函数，图象关于y=x对称，(y=x.,x=1由,，解得 1，y=-x+2 y=l即 尸e*和y=lnx与y=-x+2的交点关于(1,1)对称，所 以 审=1,即。+6=2.故A正确；对于B：函数/(x),g(x)都是增函数，因为/
10、(0)=，+0-2=-1 0,所以在区间(0,1)内存在零点，即因为g=lnl+l 2=10,所以在区间(1,2)内存在零点，即1匕2；所以。匕,所 以g(a)g(b)=O,/(a)=0/(/?),所以g(a)0 /.故B正确；,对于CD：由A知，a+b=2因为 a)=e+a 2=0,g(b)=nb+b-2=0,所以 e+lnb=4(a+/j)=2,故CD错误.故选：AB.方法点睛：(1)两个函数互为反函数，则它们的图象关于y=x对称，若两个函数与其他直线都相交，设为A 3,则其他直线与N=x的 交 点 即 为 的 中 心 对 称 点；(2)根据零点存在性定理可以确定零点所在的区间，根据区间的
11、范围可以间接求出函数的范围.三、填空题1 3.已知暴函数f(x)=(*+3/+l)x在第一象限单调递减，则，(附=【正确答案】【分析】根据题意得m2+3m+l=_“一 ,加 ,即可解决【详解】由题知，黑函数,3=(加+3加+1卜在第一象限单调递减,所以m2+3m+1 =1,人，,解得加=0(舍去)，或相=一3,m/.AB-AC=O，即 AB-ZAC,二 旳=,网2 +=A/42+22=2后，.当4W丄BC时，由面积法得26K M =2 x 4，,卜 竽，所以|AM|的最小值为 竽.故 任51 5.己知函数x)=ln(a?_2x+2),若“力在区间(一双；)内单调递减，则。的取值范围是.【正确答
12、案】0Wa42【分析】设g(x)=or2-2x+2,由题得g(x)=ay2-2x+2在区间(-8,；)上为减函数，且g(x)0在区间(-8,；)上恒成立，分。=0,a0三种情况讨论即可解决.【详解】因为函数x)=ln(加-2x+2)在区间,00,；)内单调递减，设 g(x)=2-2x+2,所以g(x)=x2_2A+2在 区 间,8,；)上为减函数，且g(x)0在区间1 8，)上恒成立，当。=0时，g(x)=-2 x+2,满足题意;当a 0 时，g(x)=ax-2x+2,0所 以 +120,4-2 1-2a 2解得0 a 2 ；所以综上可得0KK2.故0 工。42四、双空题1 6.已知函数/(%
13、)=(1 ,若函数g(x)=/(x)-7；有 4 个零点为，巧，七，-x-x +l,x0【详解】由题意，函数1 2 ，x x+1,x 4 0L 4根函数的图象变换，函数/(x)=T 的图象关于x=l 对称，根据二次函数的性质，可得函数f (x)=-；/-x+1的图象关于x=-2 对称，在坐标系中作岀函数f(x)的图象，如图所示,3函数g(x)=/(x)-5 有 4 个零点为，巧，七，Z，可 得 笑 上=-2,上 产=1,所以占+9+*3+匕=-2：令 x)=l,则方程r(x)-“(x)+4=O可化为/一+a=0,因为尸(x)/(x)+a=O有 8 个不等的实数根，则方程/(x)=r 必有4 个
14、实数根，所以1 f 2,所以一一之+4=0 在 t e(l,2)有 2 个不同的实数根，令)=/一|，+。，可得其对称轴的方程为1/5、25 25 nh =-+Q0，解得(2)=4-5 +a 0所以实数。的取值范围是弓3,言25).2 16五、解答题1 7.平面内给定三个向量。=(3,2),6=(-1,2),c=(4,l).若(a+砌 ,-2 a),求实数出;(2)若d 满足(d-c)(a+6),且口-。卜 石，求d 的坐标.【正确答案】(1)=8(2)d=(3,l)或 d=(5,3)【分析】(1)根据题意得。+氏匸0+北2 +左)，6-24=(-7,-2),由平行向量的坐标表示即可解决；(2
15、)设d=(x,y),得d-c =(x-4,y l),”+。=(2,4),根据题意列方程组即可解决.【详解】(1)因为。=(3,2),=(-1,2),c=(4,l),所以a+A;c=(3+4A:,2+4),=(-7,-2),因为(a+Z c)/(/?-2a),所以(2)x(3+4&)(7)x(2+&)=0,解得k=8；(2)设 d=(x,y),则 d-c =(x-4 j-l),a+=(2,4),因为(d_C)/(“+8),卜_。卜石,所以4(x-4)-2(y-l)=0(x-4)2+(y-l)2=5解得=：或y=-ix=5y=3所以 d=(3,1)或 d=(5,3).1 8.期末考试结束后，某校从
16、高一 1000名学生中随机抽取50名学生，统计他们数学成绩，成绩全部介于65分 到 145分之间，将统计结果按如下方式分成八组：第一组 65,75),第二组 75,85),L,第八组 135,145.如图是按上述分组方法得到的频率分数分布直方图的一部分.（2）用样本数据估计该校的1000名学生这次考试成绩的平均分；（3）若从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取2 名，求他们的分差的绝对值大 于 10分的概率.【正确答案】（1）0.080 102（分）【分析】（1）根据频率之和为1求解即可；（2）根 据 还 也 求解即可；/=1（3）由频率分布直方图知样本成绩属于第六组的有0.006x
17、10 x50=3（人），设为A,8,C,样本成绩属于第八组的有。.004x10 x 50=2（人），设为“，b,再用列举法求解即可.【详解】（1）由频率分布直方图得第七组的频率为：1-（0.004+0.012+0.016+0.030+0.020+0.006+0.004）*10=0.080；（2）用样本数据估计该校的1000名学生这次考试成绩的平均分为：70 x0.004x10+80 x0.012x10+90 x 0.016x10+100 x0.030 x10+110 x0.020 x10+120 x0.006x10+130 x0.008x10+140 x 0.004x10=102（分）：（3）
18、由频率分布直方图知，样本成绩属于第六组的有0006x10 x50=3（人），设为样本成绩属于第八组的有0.004*10 x 50=2（人），设为。，h,从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取2 名，有A,B,A,C,C,B,A,a,A,b,B,a,B,b,C,a,C,b,a,印共 10 种,其中他们的分差得绝对值大于10分包含的基本事件有A,a,A,b,B,a,B,b,C,a,C力共 6 种,所以他们的分差的绝对值大于10分的概率P=K=|1 9.已知函数f(x)=log2(x+l),g(x)=log2(l-x).求函数力(力=/0)-8(%)的定义域；若不等式力(力 log?干%在
19、H上恒成立，求实数加取值范围(l-x)x 16 2J【正确答案】,1)7(2)0m 0【分析】(1)由(X)=10g2(X+l)-b g 2(l-X),得 八，即可解决；I 1 X ()/、x+1 m 1 /(2)由函数)，二唾2%在(0,+巧上单调递增，得 匸 不 在 不 小 上 恒 成 立，即O c w v d+x 在 上 恒 成 立，即可解决.O 2【详解】(1)因为%)=log2为+1)，g(x)=log2(l-x),V-I-1所以/?(%)=log2(x+l)-log2(l-x)=log2-，Xx+0所以函数定义域满足 八，解得-1 V XV 1,l-x 0所以函数M 6=x)-g(
20、x)的定义域为(一口).v-_ L I(2)因为Mx)=log2,-所以g)1 呜产正即b g 2 H 咋 2G 因为函数y=iog2”在(o,+8)上单调递增,x+1 m 1 1 -所以匚在上恒成立又因为(1-x)x0,所以 07X2+X,又函数y=d+x =(x+g j-；在，；上单调递增，所以(f+x)=(,/m,n 367则0 相 表示“乙赢得比赛”由(1)知 咽吟，哂)=由表示“两人中至少有一个赢得比赛”，且P(C O)=l-P(而)求解即可.【详解】(1)记事件A表示“甲在第一轮比赛中胜出“，事件4表示“甲在第二轮比赛中胜出”,事件与表示“乙在第一轮比赛中胜出“，事件与表示“乙在第
21、二轮比赛中胜出”，所以A 4表示“甲赢得比赛”，P(A4)=尸(A)P(4)=g x,=卷，3 1 4瓦生表示“乙赢得比赛”，P(B1B2)=P(B,)P(B2)=-X-=,4 2 89 3因 为 觉)=l P(而)=1一户母)P(万)=1 一 x|=3所以两人至少一人赢得比赛的概率为不21.已知函数/(6 =*-2*+4,g(x)=ov+5-a.若函数y=/(x)在区间-3,0上存在零点，求实数。的取值范围;若对任意的看武-3,3,总存在9 4-3,3,使得/(x j=g 值)成立，求实数的取值范围.【正确答案】卜 15,0(2)(-,-6U 10,+)【分析】(1)根据函数“X)在-3,0
22、上单调递减，由函数y=/(x)在区间-3,0上存在零点，得J；(O)=a0 即可解决；(2)记 函 数 同=/-2+*x-3,3的值域为集合A,g(x)=a x+5-a,x e-3,3的值域为集合8,则对任意的芯e-3,3,总存在毛e-3,3,使得/($)=g(占)成立o A u B,X A =y|a-l y(),。0求解，即可解决.【详解】(1)由题知，/(x)=x2-2x+a,因为y=x)的图象开口向上，对称轴为x=l,所以函数/(力在-3,0上单调递减因为函数y=/(x)在区间-3,0上存在零点，所以/(-3)=15+0。)=公。解得，所以实数”的取值范围为-15,0.(2)记函数”x)
23、=x2-2x+a,x e-3,3的值域为集合A,g(x)=av+5-a,x e-3,3的值域为集合 8,则对任意的3 W 3,3,总存在 3,3,使得%)=g(%)成立o A u B,因 为 的 图 象 开 口 向 上，对称轴为x=i,所以当3,3,=l)=a T，“Lx=/(-3)=+15,得 A=y|a-1 4 y 4 a+15,当a=0 时，g(x)的值域为 5 ,显然不满足题意;当a 0 时，g(x)的值域为3=y|5-4 aV y 4 5 +2 4,因为8,所以5-4a +15,解得。2 10；当a0时，g(x)的值域为8=)“5+勿 丫 4 5-4 ,因为A g B,所以5+2aa
24、+5解得综上，实数”的取值范围为(-8,-6 3 1 0,+8).2 2.已知函数 x)=2+b 2 k 若 X)为偶函数，且函数g(x)=4、+:2时(x)在区间1,同上的最小值为 1 1,求实数机的值；(2)若/(x)为奇函数，不等式/(3x)Z可，(2x)在xeR,2上有解，求实数，的取值范围.【正确答案】(1)加=3-2110【分析】令“X)为偶函数，得4=1,得g(x)=4+92M2*+2-),令-3tw 令夕(/)=产一2/加一2,分，加 解 决 即 可；(2)由x)为奇函数，得f(x)=Tx-2x,由 3 x)2时(2力在x e l,2上有解，得：加上+2 4令$=2、+2,2X
25、+2 Xse,得加2三 a=s-丄，令(s)=s丄，根据单调性解决即可.2 4 J s s S2*h 7-v【详解】(1)由于/(力=土土匕为偶函数，k所以f(一 尤)=x),代入得：-=-,k k所以 2*+h2T =2-*+小2*,所以(k_1)-(2*_2-*)=0,所以Z=1,所以/(x)=2+2T,因为函数g(x)=4+;2时(x)在区间 l,+o)上的最小值为T l,令t=2*+2-*,贝！Re|，+s)此时=/_ 2M-2,当?w|时，奴。在re|,+8)单调递增，所以S(!不满足题意；所以无解；当 机 时，9。)1nh,=9(。=-11，解得：=3；因为机|所以/%=3,综上所述.m=3(2)因为x)为奇函数,所以 0）=0,所以=-1,经检验/）=2T-2、是奇函数满足题意.又因为不等式/（3力2吋（2力在xl,2上有解，所以 2-23（m（T2x-22X）,所以2筋-2小 ”2 22）,由平方差和立方差公式得：加2 2+2-2+1 =（2+2）-2*+2“2X+2-X令 s=2+2T,因为x4l,2,，5 17所以sw 2,T 所以 W -=5-,s si 5 17-在而/?（s）=s-在S 上单调递增，s _2 4 _所以%（七=咽*,因为不等式”3x）2对（2x）在x 4 l,2上有解，所 以 相 喘21.
