Euler法与改进Euler法.ppt
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Euler法与改进Euler法.ppt
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常微分方程数值解法-欧拉法、改进欧拉法和四阶龙格库塔法,常微分方程数值解法,常微分方程主要有:
(1)变量可分离的方程
(2)一阶线性微分方程(贝努利方程)(3)可降阶的一类高阶方程(4)二阶常系数齐次微分方程(5)二阶常系数非齐次微分方程(6)全微分方程,常微分方程数值解法,主要内容:
一、引言二、建立数值解法的常用方法三、Euler方法四、几何意义五、Euler方法的误差估计六、改进欧拉法七、四阶龙格库塔法七、程序设计要求,主要内容,许多实际问题的数学模型是微分方程或微分方程的定解问题,如物体运动,电路震荡,化学反映及生物群体的变化等.能用解析方法求出精确解的微分方程为数不多,而且有的方程即使有解析解,也可能由于解的表达式非常复杂而不易计算,因此有必要研究微分方程的数值解法,重点,研究一阶常微分方程的初值问题的数值解,假定,常微分方程数值解法,初值问题数值解的提法,常微分方程数值解法,建立微分方程数值解法,首先要将微分方程离散化.,一般采用以下几种方法:
(1)用差商近似导数,
(2)用数值积分近似积分,实际上是矩形法,宽,高,常用方法,(3)用Taylor多项式近似并可估计误差,常用方法,用差商近似导数,问题转化为,Euler方法的迭代公式,令,Euler方法,几何意义,五、Euler方法的误差估计,为简化分析,先考虑计算一步所产生的误差,即假设,是精确的,,估计误差,这种误差称为局部截断误差。
估计截断误差的主要方法是Taylor展开法,即将函数,取一次Taylor多项式近似函数,得,得Euler方法的局部截断误差公式为,结论:
上式说明Euler公式的局部截断误差为,它的精度很差。
一般很少用它来求近似值,但是Euler法却体现了数值方法的基本思想。
注:
Euler方法具有一阶精度,因此它的精度不高。
六,改进的Euler方法,改进的Euler方法,利用数值积分将微分方程离散化得梯形公式:
解决方法:
有的可化为显格式,但有的不行,梯形方法为隐式算法,改进的Euler方法,梯形公式比欧拉法精度高一些,但计算量较大,实际计算中只迭代一次,这样建立的预测校正系统称作改进的欧拉公式。
改进的Euler方法,改进的Euler方法,二、改进的Euler法,梯形方法虽然提高了精度,但算法复杂,计算量大。
如果实际计算时精度要求不太高,用梯形公式求解时,每步可以迭代一次,由此导出一种新的方法改进Euler法。
这种方法实际上就是将Euler公式与梯形公式结合使用:
先用Euler公式求,的一个初步近似值,,称为预测值,预测值,的精度可能很差,再用梯形公式校正求得近似值,即,改进Euler法,亦称为由Euler公式和梯形公式得到的预测校正(Predictor-Corrector)系统。
为便于上机编程,常改写成,改进Euler方法计算框图,开始,Y,N,例,解,
(1)用Euler方法得算式为,
(2)用改进的Euler方法得算式为,七、龙格-库塔法/*Runge-KuttaMethod*/,建立高精度的单步递推格式。
单步递推法的基本思想是从(xi,yi)点出发,以某一斜率沿直线达到(xi+1,yi+1)点。
欧拉法及其各种变形所能达到的最高精度为2阶。
斜率一定取K1K2的平均值吗?
步长一定是一个h吗?
首先希望能确定系数1、2、p,使得到的算法格式有2阶精度,即在的前提假设下,使得,Step1:
将K2在(xi,yi)点作Taylor展开,Step2:
将K2代入第1式,得到,Step3:
将yi+1与y(xi+1)在xi点的泰勒展开作比较,要求,则必须有:
这里有个未知数,个方程。
3,2,存在无穷多个解。
所有满足上式的格式统称为2阶龙格-库塔格式。
注意到,就是改进的欧拉法。
Q:
为获得更高的精度,应该如何进一步推广?
其中i(i=1,m),i(i=2,m)和ij(i=2,m;j=1,i1)均为待定系数,确定这些系数的步骤与前面相似。
最常用为四级4阶经典龙格-库塔法/*ClassicalRunge-KuttaMethod*/:
2Runge-KuttaMethod,由于龙格-库塔法的导出基于泰勒展开,故精度主要受解函数的光滑性影响。
对于光滑性不太好的解,最好采用低阶算法而将步长h取小。
Runge-Kutta方法的设计思想,设法在xn,xn+1区间内多预报几个点的斜率值,利用这些斜率值,将他们加权平均作为平均斜率的近似,有可能构造出更高精度的计算格式,分别用欧拉法、改进欧拉法、四阶龙格库塔法及Dsolve方法求解并对比.,1,2,解常微分方程的初值问题,用欧拉法求解分别取步长h=0.1和h=0.05。
3,要求取步长h=0.2,计算y(1.2)和y(1.4)的近似值,小数点后至少保留5位。
4,5,考察初值问题在区间0,0.5上的解。
分别用欧拉改进的欧拉格式、四阶龙格库塔法计算数值解。
的数值解,并与精确解,比较。
比较。
以h=0.1为步长求,6,
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