等差数列优秀课件.ppt
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等差数列优秀课件.ppt
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2.2等差数列,第二章数列,第一课时,一、数列的定义,通项公式:
按一定次序排成的一列数叫做数列。
一般写成a1,a2,a3,an,如果数列an的第n项an与n的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。
二、数列的简单表示:
三、给出数列的方法:
复习,某此系统抽样所抽取的样本号分别是:
7,19,31,43,55,67,79,91,103,115.,某长跑运动员7天里每天的训练量(单位:
m)是:
7500,8000,8500,9000,10000,10500.,(观察以下数列),引入,这三个数列有何共同特征,从第2项起,每一项与其前一项之差等于同一个常数。
请尝试着给具有上述特征的特殊数列用数学的语言下定义,交流,1、等差数列的定义如果一个数列从第2项起,每一项与其前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示。
(1)指出定义中的关键词:
从第2项起,等于同一个常数,由定义得等差数列的递推公式:
说明:
此公式是判断、证明一个数列是否为等差数列的主要依据.,每一项与其前一项的差,探究,练习:
判断下列数列中哪些是等差数列,哪些不是?
如果是,写出首项a1和公差d,如果不是,说明理由。
2、等差数列的通项公式,根据等差数列的定义得到,方法一:
不完全归纳法,2、等差数列的通项公式,将所有等式相加得,方法二累加法,例1求等差数列8,5,2,的第20项.-401是不是等差数列-5,-9,-13,的项?
如果是,是第几项?
解:
由a1=8,d=5-8=-3,n=20,得a20=8+(20-1)(-3)=-49.,由a1=-5,d=-9-(-5)=-4,得到这个数列的通项公式为an=-5-4(n-1).由题意得-401=-5-4(n-1),解这个关于n的方程,得n=100,即-401是这个数列的第100项.,例2在等差数列an中,已知a5=10,a12=31,求首项a1与公差d.,这是一个以a1和d为未知数的二元一次方程组,解之得:
小结:
已知数列中任意两项,可求出首项和公差,主要是联立二元一次方程组。
这种题型有简便方法吗?
1、已知等差数列的首项与公差,可求得其任何一项;,2、在等差数列的通项公式中,a1,d,n,an四个量中知三求一.,结论,3等差中项,如果a,A,b成等差数列,那么A叫做a与b的等差中项.,由等差中项的定义可知,a,A,b满足关系:
意义:
任意两个数都有等差中项,并且这个等差中项是唯一的.当a=b时,A=a=b.,例3
(1)在等差数列an中,是否有
(2)在数列an中,如果对于任意的正整数n(n2),都有那么数列an一定是等差数列吗?
4、等差数列通项公式的推广,解析:
由等差数列的通项公式得,思考:
已知等差数列an中,a3=9,a9=3,求a12,a3n.,解法一:
依题意得:
a1+2d=9a1+8d=3解之得a1=11d=-1这个数列的通项公式是:
an=11-(n-1)=12-n故a12=0,a3n=123n.,解法二:
1.等差数列an中,a1a510,a47,求数列an的公差,2.在数列an中a1=1,an=an+1+4,则a10=.,3.等差数列an的前三项依次为a-6,-3a-5,-10a-1,则a等于()A.1B.-1C.-D.,课本P40(A)1、3、(B)2,作业,2.2等差数列,第二章数列,第二课时,2、等差数列的通项公式,1、等差数列的定义,3、等差数列的中项,复习,通项公式的证明及推广,100与180,用一下,例2.某出租车的计价标准为1.2元/km,起步价为10元,即最初的4km(不含4千米)计费10元。
如果某人乘坐该市的出租车去往14km处的目的地,且一路畅通,等候时间为0,需要支付多少车费?
5、等差数列的通项及图象特征,解析:
思考,结论:
首项是1,公差是2的无穷等差数列的通项公式为,an2n-1,相应的图象是直线y=2x-1上均匀排开的无穷多个孤立的点,如右图,例如:
性质:
设若则,等差数列的性质,数列an是等差数列,m、n、p、qN+,且m+n=p+q,则am+an=ap+aq。
判断:
可推广到三项,四项等注意:
等式两边作和的项数必须一样多,
(2)已知等差数列an中,a3和a15是方程x26x1=0的两个根,则a7a8a9a10a11=,(3)已知等差数列an中,a3a5=14,2a2a6=15,则a8=,跟踪训练,
(1)已知等差数列an中,,3.更一般的情形,an=,d=,小结:
1.an为等差数列,2.a、b、c成等差数列,an+1-an=d,an+1=an+d,an=a1+(n-1)d,an=kn+b,(k、b为常数),am+(n-m)d,b为a、c的等差中项AA,2b=a+c,4.在等差数列an中,由m+n=p+q,am+an=ap+aq,注意:
上面的命题的逆命题是不一定成立的;,5.在等差数列an中a1+ana2+an-1a3+an-2,=,=,=,跟踪训练,30083+5(n-1)500,巩固练习,1.等差数列an的前三项依次为a-6,-3a-5,-10a-1,则a等于()A.1B.-1C.-D.,2.在数列an中a1=1,an=an+1+4,则a10=.,(-3a-5)-(a-6)=(-10a-1)-(-3a-5),提示:
提示:
d=an+1-an=-4,3.在等差数列an中a1=83,a4=98,则这个数列有多少项在300到500之间?
-35,提示:
n=45,46,84,40,例4,例5已知三个数成等差数列,它们的和是12,积是48,求这三个数.,解:
设三个数为a-d,a,a+d,则,解之得,故所求三数依次为2,4,6或6,4,2,例6如图,三个正方形的边AB,BC,CD的长组成等差数列,且AD21cm,这三个正方形的面积之和是179cm2.
(1)求AB,BC,CD的长;
(2)以AB,BC,CD的长为等差数列的前三项,以第9项为边长的正方形的面积是多少?
3,7,11,a9=35,S9=1225,5、等差数列的性质,已知数列为等差数列,那么有,性质1:
若成等差数列,则成等差数列.,证明:
根据等差数列的定义,,即成等差数列.,如成等差数列,成等差数列.,推广:
在等差数列有规律地取出若干项,所得新数列仍然为等差数列。
(如奇数项,项数是7的倍数的项),性质2:
设若则,性质3:
设c,b为常数,若数列为等差数列,则数列及为等差数列.,性质4:
设p,q为常数,若数列、均为等差数列,则数列为等差数列.,例8,
(1)已知等差数列an中,a3a15=30,求a9,a7a11,解:
(1)a9是a3和a15的等差中项,
(2)已知等差数列an中,a3a4a5a6a7=150,求a2a8的值,7+11=3+15,
(2)3+7=4+6=5+5,a3a4a5a6a7=5a5=150,即a5=30,故a2a8=2a5=60,a7a11=a3a15=30,a3a7=a4a6=2a5,
(1)等差数列an中,a3a9a15a21=8,则a12=,
(2)已知等差数列an中,a3和a15是方程x26x1=0的两个根,则a7a8a9a10a11=,2,(3)已知等差数列an中,a3a5=14,2a2a6=15,则a8=,19,跟踪训练,例8,解:
(1)a9是a3和a15的等差中项,
(2)已知等差数列an中,a3a4a5a6a7=150,求a2a8的值,7+11=3+15,
(2)3+7=4+6=5+5,a3a4a5a6a7=5a5=150,即a5=30,故a2a8=2a5=60,a7a11=a3a15=30,a3a7=a4a6=2a5,
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