数学命题及其教学.ppt
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数学命题及其教学,一、判断与命题概述,1判断的意义及其结构,判断是对思维对象有所断定的一种思维形式。
即,判断是对思维对象的某种属性进行肯定或否定的一种思维形式。
例如,“是无理数”、“0是自然数”、“我是学生”等都是表示判断的语句。
什么是判断?
按判断的组成形式,可分为简单判断和复合判断。
(2)判断有真假之分。
判断的两个基本特征,
(1)“要有所断定”,否则不称其为判断。
如,“0是自然数吗?
”,“x10”都不是判断。
判断可按不同的标准进行分类,对于简单判断,又可按其内容分为性质判断和关系判断;对于复合判断,还可按其复合形式分为负判断、联言判断、选言判断和假言判断。
按判断的质来分,判断可分为肯定判断和否定判断。
按判断的量来分,则可分为全称判断和特称判断。
数学中常用的四种判断形式,全称肯定判断(A),其逻辑形式是:
“所有的S都是P”,简记为SAP;,全称否定判断(E),其逻辑形式是:
“所有的S都不是P”,简记为SEP;,特称肯定判断(I),其逻辑形式是:
“有些S是P”,简记为SIP;,特称否定判断(O),其逻辑形式是:
“有些S不是P”,简记为SOP;,判断的结构,2命题及其基本运算,表述数学判断的语句则称为数学命题,(判断)=(量项)+(主项)+(联项)+(谓项),什么是命题?
表述判断的语句称为命题。
由于判断有真假之分,故命题应具有可判性、有真假之分。
真命题与假命题,如“,”和“,”,由于含有变量,x,故无法判断其真假,这样的语句称为开句,不是命题,但若当x赋值后,则它都可成为数学命题。
就是将命题符号化、形式化,将若干命题用逻辑联系词联结起来构建新的命题,由于关键是逻辑联系词,因此,命题运算实际上是命题的逻辑联结。
命题的运算(复合),命题的基本运算,否定(非)、合取(与、且、联言命题)、析取(或、选言命题)、蕴涵、等价。
(1)否定(非“”),给一个命题p,它与“”构成复合命题“p”,称为命题p的否定,也称为负命题。
(2)合取(与、且“”),给定两个命题p,q,用连接词“”联结起来,构成复合命题“pq”,称为命题p,q的合取式,也称为联言命题。
(3)析取(或“”),给定两个命题p,q,用连接词“”联结起来,构成复合命题“pq”,称为命题p,q的析取式,也称为选言命题。
(4)蕴涵(若则、如果那么“”),给定两个命题p,q,用连接词“”联结起来,构成复合命题“pq”,称为命题p,q的蕴含式,也称为假言命题。
其中p叫做前件(或条件),q叫做后件(或结论)。
(5)等价(当且仅当),给定两个命题p,q,用连接词“”联结起来,构成复合命题“pq”,称为命题p,q的等值式,也称为充要条件假言命题。
例1求复合命题(pq)p的真值。
例2求复合命题pq的真值。
复合命题的真值,常用的逻辑等价式:
若两个命题的真值完全相同,则这两个命题称为等假命题(或逻辑等价).记着“”.,逻辑等价的两个命题,在推理证明时可以互相替换.,常用的逻辑等价式有:
幂等律:
ppp,ppp.,交换律:
ppqp,ppqp.,结合律:
(pq)rp(qr),(pq)rp(qr),分配律:
p(qr)(pq)(pr),p(qr)(pq)(pr).,吸收律:
p(pq)p,p(pq)p.,DeMorgun律:
(pq)pq,(pq)pq.,双否律:
(p)p.,幺元律:
p0p,p1p.,极元律:
p11,p00.,互补律:
pp1,pp0.,利用逻辑等价可以将复杂的命题简单化,也可推证两个命题的等价关系.,3命题运算应用举例,
(1)反映逻辑思维的基本规律,同一律。
在同一思维过程中,每一思想都必须是严格确定的和同一的。
它的公式是AA,表示成命题形式AA。
由真值表知它是恒真命题.,同一律要求:
思维对象应保持同一;表示同一事物的概念应保持同一.,矛盾律。
在同一思维过程中,同一对象的两个互相矛盾的思想不能同真。
它的公式是(AA)(A与非A不能同真)。
由真值表可知它是一个恒真命题。
矛盾律是同一律的引申,它是用否定形式来表达同一律的内容.同一律说:
p是p;矛盾律说:
p不是p.,排中律。
在同一思维过程中,同一对象的两个互相矛盾的思想必有一真。
它的公式是AA(A或非A),易证它是一恒真命题。
排中律要求思维要有明确性,避免模棱两可.它是同一律和矛盾律的补充和发挥,进一步指明正确的思维不仅要求确定、互不矛盾,而且应该明确地表示肯定或否定,不能模棱两可,不可含糊不清.,矛盾律和排中律是反证法的逻辑基础.当要证明某一命题的真实性有困难时,根据排中律,只要证明这一命题的负命题是假的即可.,
(2)命题的四种形式及关系,原命题:
pq逆命题:
qp(换位)否命题:
pq(换质)逆否命题:
qp,从真值表容易证明,原命题与其逆否命题等价,逆命题与否命题等价。
即:
pqqp.,以上结论也可以用命题运算律加以证明,如:
pqpqqp(q)pqp,命题的四种形式,原命题:
若P,则Q.,逆命题:
若P,则Q.,逆否命题:
若P,则Q.,否命题:
若P,则Q.,(互逆),(互逆),互否,互否,互逆否,(3)命题的制作,逆命题的制作,直接换位得逆命题,将一个复合命题中相同个数的条件、结论(不是全部)交换位置得逆命题“偏逆命题”,例如:
命题“若a0,b0,则ab0”有两个条件和一个结论,因此,它有一个逆命题“若ab0,则a0,b0”和两个偏逆命题“若ab0,b0,则a0”及“若ab0,a0,则b0”。
当命题的条件、结论中含有选言判断,在制作逆命题时,选言判断只能当作一个整体,不能再加分解。
例如,命题“若a0或a0或a0”而没有偏逆命题。
逆否命题的制作,简单命题的逆否命题的制作,只需将条件、结论先否定,再换位即可。
(4)命题的条件,充分条件、必要条件、充要条件、既不充分也不必要条件。
复合命题的逆否命题制作,则需通过命题运算才能得到。
例如,求命题“若a=0或b=0,则ab=0”的逆否命题。
应首先将命题表述为(a=0)(b=0)(ab=0);然后进行命题运算:
(ab=0)(a=0)(b=0)(ab0)(a0)(b0),最后,得逆否命题“若ab0,则a=0且b=0”。
若命题pq真,则称p是q成立的充分条件;,若命题qp真,则称p是q成立的必要条件;,若命题pq与pq同真,则称p是q成立的充要条件(既充分又必要条件);,若命题pq与pq同假,则称p是q成立的既不充分又不必要条件。
分析上表:
当pq真时,p真足可保证q也真(不排除p假时q还可真),因而p是q的充分条件;,当qp真时,没有p真就不会有q真(不排除有了p真还可q假),因而p是q的必要条件;,当pq与qp同真时,p与q同真假,因而p与q互为充要条件;,由此,命题条件与结论间的逻辑关系可分为四种情形:
p是q的充分而非必要条件(表中的);p是q的必要而非充分条件(表中的);p是q的充要条件(表中的);p是q成立的既不充分又不必要条件。
(5)命题的合并,同一数学对象诸性质定理的合并,同一数学对象诸判定定理的合并,例如,设p:
两直线平行,:
同位角相等,:
内错角相等。
则命题p,p可合并为:
(p)(p)(p)(p),p(),p(),即:
两直线平行,则同位角且内错角相等。
应用命题运算,将几个简单命题合并成一个形式简单的复合命题,称为命题的合并.,在上例中,两判定定理“若同位角相等,则两直线平行”、“若内错角相等,则两直线平行”,可合并为:
这就是:
两直线被第三直线所截,若同位角或内错角相等,则这两直线平行。
(6)对含有量词的命题否定,命题中的量词常用两个:
表示全体的全称量词,表示部分的特称量词,含有量词命题的否定,有下述关系成立:
(p(x),x(p(x)x(p(x).,二、数学命题的教学,数学中的定义、法则、定律、公式、性质、公理、定理等,都是数学命题.数学命题是数学知识的主体,它与概念、推理、证明有着密切的联系:
命题由概念组成,概念由命题揭示;命题是组成推理的要素,而很多数学命题是经过推理获得的;命题是证明的的重要依据,而命题的真实性一般都需要经过证明才能确认.,数学命题教学的基本任务,是使学生认识命题的条件和结论,掌握证明命题的推理过程和证明方法,运用所学的命题进行计算、推理或论证,提高数学基本能力,解答实际问题.并在此基础上,使学生弄清数学命题间的关系,把学过的命题系统化,形成结构紧密的知识体系.,1重视数学命题引入的教学,
(1)发现式引入,即通过实践去发现,
(2)过渡性引入,2重视数学命题证明与推导的教学,3重视数学命题应用的教学,4重视建立数学命题系统知识的教学,(五)数学命题教学基本要求,思考题:
什么是判断?
什么是命题?
常用的逻辑联结词有哪些?
什么是逻辑等价?
指出命题四种形式的相互关系.写出命题“等腰三角形顶角的平分线也是底边的中垂线”的逆命题和逆否命题.6.何谓充分条件?
何谓必要条件?
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