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12+4“80分”标准练4
1.(2017届山东师大附中模拟)已知集合A={x|y=lg(x+1)},B={x||x|<2},则A∩B等于( )
A.(-2,0) B.(0,2)
C.(-1,2) D.(-2,-1)
答案 C
解析 由x+1>0,得x>-1,
∴A=(-1,+∞),B={x||x|<2}=(-2,2),
∴A∩B=(-1,2).故选C.
2.(2017·山东)已知a∈R,i是虚数单位.若z=a+i,z·=4,则a等于( )
A.1或-1 B.或-
C.- D.
答案 A
解析 ∵z·=4,∴|z|2=4,即|z|=2.
∵z=a+i,∴|z|==2,∴a=±1.
故选A.
3.(2017届山东省青岛市二模)已知命题p,q,“綈p为假”是“p∨q为真”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案 A
解析 若綈p为假,则p为真,则p∨q为真,即充分性成立,当p假q真时,满足p∨q为真,但綈p为真,则必要性不成立,
所以“綈p为假”是“p∨q为真”的充分不必要条件,
故选A.
4.已知x=lnπ,则( )
A.x<y<z B.z<x<y
C.z<y<x D.y<z<x
答案 D
解析 x=lnπ>1,
z=π=∈.
∴x>z>y.故选D.
5.(2017届山东省济宁市二模)过圆锥顶点的平面截去圆锥一部分,所得几何体的三视图如图所示,则原圆锥的体积为( )
A.1 B.
C. D.
答案 D
解析 由三视图可得底面圆的半径为=2,圆锥的高为=2,
∴原圆锥的体积为π·22·2=,故选D.
6.有七名同学站成一排照毕业纪念照,其中甲必须站在正中间,并且乙、丙两位同学要站在一起,则不同的站法有( )
A.240种 B.192种
C.96种 D.48种
答案 B
解析 分三步:
先排甲,有1种方法;再排乙、丙,排在甲的左边或右边,各有4种方法;再排其余4人,有A种方法,故共有2×4×A=192(种).
故选B.
7.今有女善织,日益功疾,且从第2天起,每天比前一天多织相同量的布,若第1天织5尺布,现在一月(按30天计)共织390尺布,则每天比前一天多织的布的尺数为(不作近似计算)( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 由题意可知,该女每天的织布量成等差数列,首项是5,公差为d,前30项和为390.根据等差数列前n项和公式,有390=30×5+d,解得d=.
8.(2017届江西省重点中学联考)元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗:
“我有一壶酒,携着游春走,遇店添一倍,逢友饮一斗,店友经三处,没了壶中酒,借问此壶中,当原多少酒?
”用程序框图表达如图所示,即最终输出的x=0,则一开始输入的x的值为( )
A. B.
C. D.4
答案 B
解析 i=1时,x=2x-1,
i=2时,x=2(2x-1)-1=4x-3,
i=3时,x=2(4x-3)-1=8x-7,
i=4时,退出循环,此时8x-7=0,
解得x=,故选B.
9.已知函数f(x)=sinωx-cosωx(ω>0),将函数y=|f(x)|的图象向左平移个单位长度后关于y轴对称,则当ω取最小值时,g(x)=cos的单调递减区间为( )
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
答案 D
解析 函数f(x)=sinωx-cosωx=sin(ω>0),将函数y=|f(x)|的图象向左平移个单位长度后得到函数解析式为,又图象关于y轴对称,所以-=+,k∈Z,
则当ω取最小值时,
g(x)=cos,由2kπ≤x+≤2kπ+π,
解得-+≤x≤+,k∈Z,
所以当ω取最小值时,g(x)=cos的单调递减区间为(k∈Z),故选D.
10.(2017届山东省、湖北省部分重点中学模拟)已知实数x,y满足不等式组若目标函数z=y-mx取得最大值时有唯一的最优解(1,3),则实数m的取值范围是( )
A.m<-1 B.0<m<1
C.m>1 D.m≥1
答案 C
解析 作出不等式组对应的平面区域如图,
由z=y-mx,得y=mx+z,即直线的截距最大,z也最大,
若m=0,此时y=z,不满足条件;
若m>0,目标函数y=mx+z的斜率k=m>0,要使目标函数z=y-mx取得最大值时有唯一的最优解(1,3),
则直线y=mx+z的斜率m>1,
若m<0,目标函数y=mx+z的斜率k=m<0,不满足题意.
综上,m>1.
故选C.
11.已知双曲线C:
-=1(a>0,b>0),过点P(3,6)的直线l与C相交于A,B两点,且AB的中点为N(12,15),则双曲线C的离心率为( )
A.2 B.
C. D.
答案 B
解析 方法一 设A(x1,y1),B(x2,y2),
由AB的中点为N(12,15),
得x1+x2=24,y1+y2=30,
由
两式相减得
=,
则==,
由直线AB的斜率k==1,
∴=1,则=,
双曲线的离心率e===,
∴双曲线C的离心率为,故选B.
方法二 设A(12+m,15+n),B(12-m,15-n),
则
两式相减得=,
由直线l的斜率k==,
直线AB的斜率k==1,
∴=1,则=,
双曲线的离心率e===,
∴双曲线C的离心率为,故选B.
12.(2017届安徽省合肥市三模)已知实数a,b满足2<a<b<3,下列不等关系中一定成立的是( )
A.a3+15b>b3+15a
B.a3+15b<b3+15a
C.b·2a>a·2b
D.b·2a<a·2b
答案 D
解析 设f(x)=x3-15x,
则f′(x)=3x2-15=3(x+)(x-).
当x∈(2,)时,f′(x)<0,f(x)单调递减,
当x∈(,3)时,f′(x)>0,f(x)单调递增.
若2<a<b<,则f(a)>f(b),
即a3+15b>b3+15a;
若<a<b<3,则f(a)<f(b),
即a3+15b<b3+15a.
∴A,B均不一定成立.
设g(x)=,
则g′(x)==.
令g′(x)=0,得x=log2e∈(1,2).
∴当x∈(2,3)时,g′(x)>0,g(x)为增函数,
∵2<a<b<3,>,即b·2a<a·2b.
故选D.
13.已知向量a=(3,1),b=(1,3),c=(k,7),若(a-c)∥b,则k=________.
答案 5
解析 ∵a=(3,1),b=(1,3),c=(k,7),
∴a-c=(3-k,-6).
∵(a-c)∥b,∴1×(-6)=3×(3-k),解得k=5.
14.(2017届江苏省苏、锡、常、镇四市二模)已知直线l:
mx+y-2m-1=0,圆C:
x2+y2-2x-4y=0,当直线l被圆C所截得的弦长最短时,实数m=________.
答案 -1
解析 由圆C:
x2+y2-2x-4y=0,
得(x-1)2+(y-2)2=5,
∴圆心坐标是C(1,2),半径是,
∵直线l:
mx+y-2m-1=0过定点P(2,1),且在圆内,
∴当l⊥PC时,直线l被圆x2+y2-2x-4y=0截得的弦长最短,
∴-m·=-1,∴m=-1.
15.(2017届山东省聊城市三模)若函数f(x)=(x2-ax+a+1)ex(a∈N)在区间(1,3)上只有1个极值点,则曲线f(x)在点(0,f(0))处切线的方程为____________.
答案 x-y+6=0
解析 f′(x)=ex[x2+(2-a)x+1],
若f(x)在(1,3)上只有1个极值点,
则f′
(1)·f′(3)<0,
即(a-4)(3a-16)<0,
解得4<a<,a∈N,
故a=5,
故f(x)=ex(x2-5x+6),f′(x)=ex(x2-3x+1),
故f(0)=6,f′(0)=1,
故切线方程是y-6=x,即x-y+6=0.
16.(2017·全国Ⅰ)如图,圆形纸片的圆心为O,半径为5cm,该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D,E,F为圆O上的点,△DBC,△ECA,△FAB分别是以BC,CA,AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后,分别以BC,CA,AB为折痕折起△DBC,△ECA,△FAB,使得D,E,F重合,得到三棱锥.当△ABC的边长变化时,所得三棱锥体积(单位:
cm3)的最大值为________.
答案 4
解析 如图,连接OD,交BC于点G,由题意知,OD⊥BC,
OG=BC.
设OG=x,x∈,
则BC=2x,DG=5-x,
三棱锥的高h=
=
=,S△ABC=×2x×3x=3x2,
则三棱锥的体积
V=S△ABC·h=x2·
=·.
令f(x)=25x4-10x5,x∈,
则f′(x)=100x3-50x4.
令f′(x)=0,得x=2.
当x∈(0,2)时,f′(x)>0,f(x)单调递增,
当x∈时,f′(x)<0,f(x)单调递减,
故当x=2时,f(x)取得最大值80,
则V≤×=4.
所以三棱锥体积的最大值为4cm3.
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