小学数学竞赛二十九 观察与猜想.docx
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小学数学竞赛二十九观察与猜想
二十九观察与猜想
在很久很久以前,交通不便,信息闭塞,人们所能观察到的范围比较小,就以为地球是平的.后来,进一步观察到了一些自然现象,比如太阳每天早上从东边升起,晚上又从西边落下等,人们不再认为地球是平的,猜想地球是圆形的,科学的发展证明了这个猜想是正确的.
细心地观察、大胆地猜想、严格地求证,是人类认识自然、发展科学的重要手段.
问题29.1观察下面的几个算式,你发现了什么规律?
1+2+1=4,
1+2+3+2+1=9,
1+2+3+4+3+2+1=16,
1+2+3+4+5+4+3+2+1=25.
利用上面的规律,你能不能迅速计算出:
1+2+3+…+99+100+99+…+3+2+1=?
分析粗略地看,上述每个等式左边各数的排列都是关于中间一个数对称的,中间这个数处在特殊的位置.再看看等式右边,发现等式左边中间的数与右边的数关系为:
第一行左边中间的数是2,2×2=4;
第二行左边中间的数是3,3×3=9;
第三行左边中间的数是4,4×4=16;
第四行左边中间的数是5,5×5=25.
这说明,每个等式右边的数恰为等式左边中间项的数字的平方.由于
1+2+…+99+100+99+…+2+1
的中间数字为100,所以它的值等于100×100=10000.
本书已介绍过高斯的故事,用高斯求和的方法可以证明等式
1+2+…+99+100+99+…+2+1=100×100的正确性.
问题29.2下面一列数是按一定的规律排列的:
3,12,21,30,39,48,57,66,…
(1)第12个数是();
(2)912是第()个数.
分析我们来观察一下,看前面几个数有什么共同点.
3=3×1=3×(3×0+1),
12=3×4=3×(3×1+1),
21=3×7=3×(3×2+1),
30=3×10=3×(3×3+1),
39=3×13=3×(3×4+1),
……
这些依次排列的数的构成是很有规律的,归纳一下就有下面的结论:
第几个数=3×[3×(这个数-1)+1].
有了这个结论再来回答所提出的问题就不难了.
(1)第12个数=3×[3×(12—1)+1]=102;
(2)设912是第x个数,依题意列方程
3[3(x-1)+1]=912,
解方程得x=102.所以,912是第102个数.
上面两例的解答告诉我们:
(1)观察要按一定的顺序有条理地进行;
(2)观察的目的就是要找出一组物体的组成规律或差异.
问题29.3观察分析下面这串分数的变化规律:
(2)第400个分数是几分之几?
问题29.4一张圆形大饼在它的外面切了10刀,得一个十边形(图29-1),问这个十边形的内角和为多少?
分析
(1)为了知道十边形的内角和是多少,我们先来看看一些简单的多边形的内角和是多少:
图29-1
①三角形的内角和是180°(图29-2(a));
②四边形内角和是两个三角形的内角和的总和,等于
360°(图29-2(b));
③五边形内角和是三个三角形的内角和的总和,等于540°(图29-2(C)).
(2)猜想:
十边形的内角和是8个三角形内角和的总和,等于180°×8=1440°.
(3)验证:
如图29-3,我们把十边形的一个顶点A与不和这个顶点相邻的每个顶点连起来,就得到8个拼在一起的三角形,这八个三角形的内角和加在一起就是十边形的内角和.
还有另一种方法可以达到验证的目的,如图29-4,在十边形内任取一点P,将P点与十边形的每个顶点相连得到10个三角形,这10个三角形的内角和的总和减去一个周角就是十边形的内角和.
在这里,我们用三角形的内角和解决了计算十边形内角和的问题,可见简单的东西多么重要.
问题29.5今天是小泉的生日,张老师买来一个大蛋糕,对全班56个同学说:
“我们来庆祝小泉的生日,每人吃一块蛋糕.现在要将蛋糕分成56块,你们说至少要切几刀?
”
分析
(1)我们先来观察一下切最初几刀的情形.由于要求切的刀数最少,所以每一刀所切出的块数要最多.如图29-5:
①切1刀,最多切成2块;②切2刀,最多切成4块;
③切3刀,最多切成7块;④切4刀,最多切成11块.
(2)列表如下:
(3)寻找规律:
1+1=2,2+2=4,4+3=7,7+4=11.
这似乎告诉我们,切第几刀得到的块数等于切这刀前已切出的块数加上这一刀的刀数.果真是这样吗?
(4)猜想:
这个猜想和歌德巴赫猜想一样,是需要证明的,但我们还做不到.现仅验证切5刀时猜想成立.
由图29-6可以看出,切5刀可切出16块.
后,剩下的铁丝是原来的几分之几?
练习29
1.观察图29-7的图形变化规律,在右边再补上二幅,使它们成为一个完整的系列.
图29-7
2.图29-8是一串完整的珠子,珠子有白有黑,是按照一定的规律穿成的.现在有部分珠子被压在盒子里,请你先找找珠子的排列规律,然后回答下面的三个问题:
图29-8
(1)盒内有几颗珠子?
(2)这串珠子一共有多少颗?
(3)黑珠子有多少颗?
3.把一张等腰直角三角形的纸片沿底边上的高对折,然后再将所得到的新的等腰直角三角形沿底边上的高对折,这样折10次最多能折出多少个大小相等的等腰直角三角形?
4.从1到1001的所有自然数按下表格式排列,用1个正方形框子框出九个数,要使这九个数的和等于
(1)1986;
(2)2529;(3)1989.
问能否办到?
若能办到,请你写出正方形框里的最大数和最小数.
5.如图29-9:
方纸内画一个圆,可以把纸面分成内外两个区域[图
(1)];画两个圆,最多可以把纸面分成4个区域[图
(2)];画三个圆,最多可以把纸画分成8个区域[图(3)].如果画20个圆,最多可把纸面分成多少个区域?
练习29答案
问题29.6设这根铁丝的长度为1,那么:
剪二次剩下的铁丝长占原来铁丝长的
剪三次剩下的铁丝长占原来铁丝长的
剪四次剩下的铁丝长占原来铁丝长的
2.
(1)盒内珠子共有2+1+5+1+6+1+5=21(颗).
(2)这串珠子共有
(1+2+3+4+5+6+7+8)+9=45(颗).
(3)黑珠子共有1+2+3+4+5+6+7+8=36(颗).
3.1024个.
4.无论正方形框在什么地方,被框住的九个数的和一定是正方形内正中间数的9倍.
(1)不能办到.因为1986不是9的倍数.
(2)不能办到.2529÷9=281,但281÷7=40…1,这说明正方形正中间的数281在表中第1列,这不可能.
(3)能办到.1989÷221=9,又221÷7=31……4,这说明221不在第1、7列.以221居中写出九个数为
213214215
220221222
227228229
其中最小数是213,最大数是229.
5.从所画的图中可以看出,每次新画的圆都要与已画的任何圆相交,而且新旧交点都不能重合.
画一个圆:
(第5题图)
2(个)=2+0=2+1×(1-1),
画二个圆:
4(个)=2+2=2+2×(2-1),
画三个圆:
8(个)=2+6=2+3×(3-1),
画四个圆:
14(个)=2+12=2+4×(4-1),
……
最多区域数=圆的个数×(圆的个数-1)+2.由此知,画20个圆最多把纸面分成382个区域.
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