新人教版九年级数学上册21章一元二次方程导学案.docx
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新人教版九年级数学上册21章一元二次方程导学案.docx
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新人教版九年级数学上册21章一元二次方程导学案
新人教版九年级数学上册:
21.1一元二次方程
(1)导学案
学习内容:
学习目标:
了解一元二次方程的概念;一般式ax2+bx+c=0(a≠0)及其相关的概念;应用一元二次方程概念解决一些简单题目.
学习重点:
一元二次方程的概念及其一般形式,并用这些概念解决问题.
学习难点:
通过提出问题,建立一元二次方程的数学模型,再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念.
学习过程:
(阅读教材第2至3页,并完成预习内容。
)
问题1要设计一座2m高的人体雕像,使雕像的上部(腰以上)与下部(腰以下)的高度比,等于下部与全部(
全身)的高度比,雕像的下部应设计为多高?
分析:
设雕像下部高xm,则上部高________,得方程
_____________________________
整理得
_____________________________①
问题2如图,有一块长方形铁皮,长100cm,宽50cm,在它的四角各切去一个同样的正方形,然后将四周突出部分折起,就能制作一个无盖方盒。
如果要制作的无盖方盒的底面积为3600c㎡,那么铁皮各角应切去多大的正方形?
分析:
设切去的正方形的边长为xcm,则盒底的长为________________,宽为_____________.得方程
_____________________________
整理得
_____________________________②
问题3要组织一次排球邀请赛,参赛的每两个队之间都要比赛一场。
根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请多少个队参赛?
分析:
全部比赛的场数为___________
设应邀请x个队参赛,每个队要与其他_________个队各赛1场,所以全部比赛共_________________场。
列方程
____________________________
化简整理得____________________________③
请口答下面问题:
(1)方程①②③中未知数的个数各是多少?
___________
(2)它们最高次数分别是几次?
___________
方程①②③的共同特点是:
这些方程的两边都是_________,只含有_______未知数(一元),并且未知数的最高次数是_____的方程.这样的方程叫做一元二次方程
小结:
一元二次方程的一般形式:
____________________________
一般地,任何一个关于x的一元二次方程,经过整理,都能化成如下形式ax2+bx+c=0(a≠0).这种形式叫做一元二次方程的一般形式.其中ax2是____________,_____是二次项系数;bx是__________,_____是一次项系数;_____是常数项。
(注意:
二次项系数、一次项系数、常数项都要包含它前面的符号。
二次项系数
是一个重要条件,不能漏掉。
)
3.例将方程(8-2x)(5-2x)=18化成一元二次方程的一般形式,并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项.
随堂练习:
1.判断下列方程是否为一元二次方程,为什么?
2.将下列方程化成一元二次方程的一般形式,并写出其中的二次项系数、及常数项:
⑴5x2-1=4x
⑵4x2=81
⑶4x(x+2)=25
⑷(3x-2)(x+1)=8x-3
一般形式
二次项系数
常数项
3.根据下列问题,列出关于x的方程,并将其化成一元二次方程的一般形式:
⑴4个完全相同的正方形的面积之和是25,求正方形的边长x;
⑵一个长方形的长比宽多2,面积是100,求长方形的长x;
4.px2-3x+p2-q=0是关于x的一元二次方程,则().
A.p=1B.p>0C.p≠0D.p为任意实数
5.方程3x2-3=2x+1的二次项系数为_______,一次项系数为______,常数项为_________.
6.关于x的方程(m2-m)xm+1+3x=6可能是一元二次方程吗?
为什么?
课后作业:
P4习题21.1
小结与教学反思:
2014年月日第周星期第节
学习内容:
22.1一元二次方程
(2)(补充内容)
学习目标:
1.了解一元二次方程根的概念,会判定一个数是否是一个一元二次方程的根及利用它们解决一些具体问题.
2.提出问题,根据问题列出方程,化为一元二次方程的一般形式,列式求解;由解给出根的概念;再由根的概念判定一个数是否是根.
学习重点:
判定一个数是否是方程的根;
学习难点:
由列出的一元二次方程解出根后还要考虑这些根是否确定是实际问题的根.
学习过程:
一、知识准备
一元二次方程的一般形式:
_____________
_______________
二、探究
问题:
一个面积为120m2的矩形苗圃,它的长比宽多2m,苗圃的长和宽各是多少?
分析:
设苗圃的宽为xm,则长为_______m.
根据题意,得___________________.
整理,得________________________.
1)下面哪些数是上述方程的根?
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10
2)一元二次方程的解也叫做一元二次方程的_____,即使一元二次方程等号左右两边相等的_______________的值。
3)将x=-12代入上面的方程,x=-12是此方程的根吗?
4)虽然上面的方程有两个根(______和______)但是苗圃的宽只有一个答案,即宽为_______.因此,由实际问题列出方程并解得的根,并不一定是实际问题的根,还要考虑这些根是否确实是实际问题的解.
三、练习:
1).你能想出下列方程的根吗?
(1)x2-36=0
(2)4x2-9=0
2).下面哪些数是方程x2+x-12=0的根?
-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4。
3).下面哪些数是方程x2-x-6=0的根?
-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4。
五、随堂训练
1).写出下列方程的根:
(直接写出来)
(1)9x2=1
(2)25x2-4=0(3)4x2=2
2).下列各未知数的值是方程
的解的是()
A.x=1B.x=-1C.x=2D.x=-2
3).根据表格确定方程
=0的解的范围____________
X
1.0
1.1
1.2
1.3
0.5
-0.09
-0.66
-1.21
4).已知方程
的一个根是1,则m的值是______
5).试写出方程x2-x=0的根,你能写出几个?
六、归纳小结
1.使一元二次方程成立的____________的值,叫做一元二次方程的解,也叫做一元二次方程的________。
2.由实际问题列出方程并得出解后,还要考虑这些解______________
七、课后巩固(提高班)
1.一元二次方程
的根是__________;方程x(x-1)=2的两根为________
2.写出一个以
为根的一元二次方程,且使一元二次方程的二次项系数为1:
_________________。
3.已知方程5x2+mx-6=0的一个根是x=3,则m的值为________.
4.若关于X的一元二次方程
的一个根是0,a的值是几?
你能得出这个方程的其他根吗?
5.若
,则
_____________。
已知m是方程
的一个根,则代数式
________。
6.已知x=-1是方程ax2+bx+c=0的根(b≠0),则
=().
A.1B.-1C.0D.2
7.如果2是方程x2-c=0的一个根,那么常数c是几?
你能得出这个方程的其他根吗?
8.如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中的二次项系数与常数项之和等于一次项系数,求证:
-1必是该方程的一个根.
总结与反思:
2014年月日第周星期第节
学习内容:
21.2.1直接开平方法解一元二次方程
学习目标:
1、理解一元二次方程“降次”──转化的数学思想,并能应用它解决一些具体问题.
2、提出问题,列出缺一次项的一元二次方程ax2+c=0,根据平方根的意义解出这个方程,然后知识迁移到解a(ex+f)2+c=0型的一元二次方程.
学习重点:
运用开平方法解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程;领会降次──转化的数学思想.
学习难点:
通过根据平方根的意义解形如x2=n,知识迁移到根据平方根的意义解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程.
学习过程:
一,阅读教材第5页至第6页的部分,完成以下问题
一桶某种油漆可刷的面积为1500dm2,李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部表面,你能算出盒子的棱长吗?
我们知道x2=25,根据平方根的意义,直接开平方得x=±5,
如果x换元为2t+1,即(2t+1)2=8,能否也用直接开平方的方法求解呢?
二,计算:
用直接开平方法解下列方程:
(1)x2=8
(2)(2x-1)2=5(3)x2+6x+9=2(4)4m2-9=0
解一元二次方程的实质是:
把一个一元二次方程“降次”,转化为两个一元一次方程.我们把这种思想称为“降次转化思想”.
归纳:
如果方程能化成的形式,那么可得
三,
练习:
(1)2x2-8=0
(2)9x2-5=3(3)(x+6)2-9=0(4)3(x-1)2-6=0
(5)x2+2x+1=4(6)x2-4x+4=5(7)9x2+6x+1=4
四,归纳小结
应用直接开平方法解形如,
那么可得达到降次转化之目的.
五,拓展练习(提高班)
1.如果a、b为实数,满足
+b2-12b+36=0,那么ab的值是_______.
2.解关于x的方程(x+m)2=n.
总结与反思:
2014年月日第周星期第节
学习内容:
21.2.2配方法解一元二次方程
(1)
学习目标
1、理解间接即通过变形运用开平方法降次解方程,并能熟练应用它解决一些具体问题.
2、通过复习可直接化成x2=p(p≥0)或(mx+n)2=p(p≥0)的一元二次方程的解法,引入不能直接化成上面两种形式的解题步骤.
学习重点:
讲清“直接降次有困难”,如x2+6x-16=0的一元二次方程的解题步骤.
学习难点:
不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为”的转化方法与技巧.
学习过程:
一,阅读教材第6页至第9页的部分,完成以下问题
解下列方程
(1)3x2-1=5
(2)4(x-1)2-9=0(3)x2+16x+64=9
填空:
(1)x2+6x+______=(x+______)2;
(2)x2-x+_____=(x-_____)2
(3)x2+4x+_____=(x+______)2.
问题:
要使一块长方形场地的长比宽多6cm,并且面积为16cm2,场地的长和宽应各是多少?
思考:
1、以上解法中,为什么在方程x2+6x=16两边加9?
加其他数行吗?
2、什么叫配方法?
3、配方法的目的是什么?
,这也是配方法的基本。
4、配方法的关键是什么?
总结:
用配方法解一元二次方程的步骤:
例1用配方法解下列关于x的方程:
(1)x2-8x+1=
(2)2x2+1=3x(3)3x2-6x+4=0
练习:
(1)x2+10x+9=0
(2)3x2+6x-4=0
(3)x(x+4)=8x+12
拓展练习(提高班)
1.将二次三项式x2-4x+1配方后得().
A.(x-2)2+3B.(x-2)2-3C.(x+2)2+3D.(x+2)2-3
2.已知x2-8x+15=0,左边化成含有x的完全平方形式,其中正确的是().
A.x2-8x+(-4)2=31B.x2-8x+(-4)2=1C.x2+8x+42=1D.x2-4x+4=-11
3.已知三角形两边长分别为2
和4,第三边是方程x2-4x+3=0的解,求这个三角形的周长.
4.如果x2-4x+y2+6y+
+13=0,求(xy)z的值.
总结与反思:
2014年月日第周星期第节
学习内容:
21.2.3用公式法解一元二次方程
学习目标
1、理解一元二次方程求根公式的推导过程,了解公式法的概念,会熟练应用公式法解一元二次方程.
2、复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程,引入ax2+bx+c=0(a≠0的求根公式的推导公式,并应用公式法解一元二次方程.
学习重点:
求根公式的推导和公式法的应用.
学习难点:
一元二次方程求根公式法的推导.
学习过程
一,阅读教材第9页至第12页的部分,完成以下问题
1、用配方法解方程:
4x2-8x=9
总结用配方法解一元二次方程的步骤:
2、如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0(a≠0),你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根?
问题:
已知ax2+bx+c=0(a≠0)试推导它的两个根x1=
x2=
分析:
因为前面具体数字已做得很多,我们现在不妨把a、b、c也当成一个具体数字,根据上面的解题步骤就可以一直推下去.
解:
移项,得:
,
二次项系数化为1,得
配方,得:
即
∵a≠0,∴4a2>0,式子b2-4ac的值有以下三种情况:
(1)b2-4ac>0,则
>0
直接开平方,得:
即x=
∴x1=,x2=
(2)b2-4ac=0,则
=0此时方程的根为即一元二次程
ax2+bx+c=0(a≠0)有两个的实根。
(3)b2-4ac<0,则
<0,此时(x+
)2<0,而x取任何实数都不能
使(x+
)2<0,因此方程实数根。
由上可知,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根由方程的系数a、b、c而定,因此:
(1)解一元二次方程时,可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0,
当b2-4ac≥0时,将a、b、c代入式子x=
就得到方程的根,
当b2-4ac<0,方程没有实数根。
(2)x=
叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式.
(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法.
(4)一般地,式子b2-4ac叫做方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式,通常用希腊字Δ表示它,即Δ=b2-4ac。
当Δ>0时,方程有实数根;
当Δ=0时,方程有实数根;
当Δ<0时,方程实数根;
练习:
1、利用判别式判定下列方程的根的情况:
(1)2x2-3x-
=0
(2)x2-
x+9=0(3)3x2+10x=2x2+8x(4)x2-5x=0
2、用公式法解下列方程.
(1)x2-4x-7=0
(2)2x2-
x+1=0
(3)4x2-6=0(4)x2+17=8x
3、某
农场要建一个长方形的养鸡场,鸡场的一边靠墙(墙长25m),另三边用木栏围成,木栏长40m.
(1)鸡场的面积能达到180m2吗?
能达到200m吗?
(2)鸡场的面积能达到210m2吗?
2014年月日第周星期第节
学习内容:
21.2.4因式分解法
学习目标:
1.会用因式分解法(提公因式法、公式法)法解某些简单的数字系数的一元二次方程。
2.能根据具体的一元二次方程的特征,灵活选择方程的解法,体会解决问题方法的多样
性。
学习重点:
应用分解因式法解一元二次方程
学习难点:
灵活应用各种分解因式的方法解一元二次方程.
学习过程:
阅读教材P12—14,完成课前预习
1:
知识准备
将下列各题因式分解
am+bm+cm=;a2-b2=;a2±2ab+b2=
因式分解的方法:
解下列方程.
(1)2x2+x=0(用配方法)
(2)3x2+6x=0(用公式法)
2:
探究
仔细观察方程特征,除配方法或公式法,你能找到其它的解法吗?
3、归纳:
(1)对于一元二次方程,先因式分解使方程化为_________________的形式,再使_________________________,从而实现_________________,
这种解法叫做__________________。
(2)如果
,那么
或
,这是因式分解法的根据。
如:
如果
,那么
或_______,即
或________。
例1、用因式分解法解下列方程
(1)
(2)
例2、用因式分解法解下列方程
(1
)4x2-144=0
(2)(2x-1)2=(3-x)2(3)3x2-12x=-12
随堂训练
1、用因式分解法解下列方程
(1)x2+x=0
(2)x2-2
x=0(3)3x2-6x=-3
(4)4x2-121=0(5)3x(2x+1)=4x+2(6)(x-4)2=(5-2x)2
课堂小结
因式分解法解一元二次方程的一般步骤
(1)将方程右边化为
(2)将方程左边分解成两个一次因式的
(3)令每个因式分别为,得两个一元一次方程
(4)解这两个一元一次方程,它们的解就是原方程的解
【课后巩固】
1.方程
的根是
2.方程
的根是________________
3.方程2x(x-2)=3(x-2)的解是_________
4.方程(x-1)(x-2)=0的两根为x1、x2,且x1>x2,则x1-2x2的值等于___
5.若(2x+3y)2+4(2x+3y)+4=0,则2x+3y的值为_________.
6.已知y=x2-6x+9,当x=______时,y的值为0;当x=_____时,y的值等于9.
7.方程x(x+1)(x-2)=0的根是()
A.-1,2B.1,-2C.0,-1,2D.0,1,2
8.若关于x的一元二次方程的根分别为-5,7,则该方程可以为()
A.(x+5)(x-7)=0B.(x-5)(x+7)=0
C.(x+5)(x+7)=0D.(x-5)(x-7)=0
9.方程(x+4)(x-5)=1的根为()
A.x=-4B.x=5C.x1=-4,x2=5D.以上结论都不对
总结与反思:
2014年月日第周星期第节
学习内容:
21.2.5解一元二次方程
学习目标:
1、理解并掌握用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元一次方程的方法
2、选择合适的方法解一元二次方程
学习重点:
用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元一次方程
学习难点:
选择合适的方法解一元二次方程
学习过程:
一、梳理知识
1、解一元二次方程的基本思路是:
将二次方程化为一次方程,即降次
2、一元二次方程主要有四种解法,它们的理论根据和适用范围如下表:
方法名称
理论根据
适用方程的形式
直接开平方法
平方根的定义
或
配方法
完全平方公式
所有的一元二次方程
公式法
配方法
所有的一元二次方程
因式分解法
两个因式的积等于0,那么这两个因式至少有一个等于0
一边是0,另一边易于分解成两个一次因式的乘积的一元二次方程
3、一般考虑选择方法的顺序是:
直接开平方法、分解因式法、配方法或公式法
二、巩固练习
1.用直接开方法解方程:
⑴
⑵
⑶
2.用因式分解法解方程:
⑴
⑵
⑶
3.用配方法解方程:
⑴
⑵
⑶
4.用公式法解方程:
⑴
⑵
⑶
(4)
(5)
总结与反思:
2014年月日第周星期第节
学习内容:
21.2.6一元二次方程根与系数的关系
学习目标:
1.理解并掌握根与系数关系:
,
;
2.会用根的判别式及根与系数关系解题.
学习重点:
理解并掌握根的判别式及根与系数关系.
学习难点:
会用根的判别式及根与系数关系解题;
学习过程:
一、阅读教材P15—16,完成课前预习。
1、知识准备
(1)一元二次方程的一般式:
(2)一元二次方程的解法:
(3)一元二次方程的求根公式:
2、探究1:
完成下列表格
方程
2
5
x2+3x-10=0
-3
问题:
你发现什么规律?
①用语言叙述你发现的规律;
②x2+px+q=0的两根
用式子表示你发现的规律。
探究2:
完成下列表格
方程
2x2-3x-2=0
2
-1
3x2-4x+1=0
1
问题:
上面发现的结论在这里成立吗?
请完善规律;
①用语言叙述发现的规律;
②ax2+bx+c=0的两根
用式子表示你发现的规律。
3、利用求根公式推到根与系数的关系(韦达定理)
ax2+bx+c=0的两根
=,
=
=
=
例1:
不解方程,求下列方程的两根和与两根积:
(1)x2-6x-15=0
(2)3x2+7x-9=0(3)5x-1=4x2
例2:
已知方程
的一个根是-3,求另一根及K的值。
例3:
已知α,β是方程x2-3x-5=0的两根,不解方程,求下列代数式的值
例4:
已知关于x的方程3x2-5x-2=0,且关于y的方程的两根是x方程的两根的平方,则关于y的方程是__________
例5:
在解方程x2+px+q=0时,甲同学看错了p,解得方程根为x=1与x=-3;乙同学看错了q,解得方程的根为x=4与x=-2,你认为方程中的p=——,q=——。
活动4:
课堂小结
一元二次方程的根与系数的关系:
总结与反思:
2014年月日第周星期第节
学习内容:
21.3.1实际问题与一元二次方程
(1)
学习目标:
1.能根据具体问题中的数量关系,列出一元二次方程,体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型.并能根据具体问题的实际意义,检验结果是否合理.
2.经历将实际问题抽象为代数问题的过程,探索问题中的数量关系,并能运用一元二次方程对之进行描述。
3.通过解决传播问题,学会将实际应用问题转化为
数学问题,体验解决问题策略的多样性,发展实践应用意识.
4.通过用一元二次方程解决身边的问题,体会数学知识应用的价值,了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用.
学习重点:
列一元二次
方程解有关传播问题、平均变化率问题的应用题
学习难点:
发现传播问题、平均变化率问题中的等量关系
学习过程:
一、阅读教材P19—20,完成课前预习探究:
问题1:
有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人?
分析:
1、设每轮传染中平均一个人传染了x个人,那么患流感的这一个人在第一轮中传染了_______人,第一轮后共有______人患了流感;
2、第二轮传染中,这些人中的每个人
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- 新人 九年级 数学 上册 21 一元 二次方程 导学案