奥数专题讲座还原问题.docx
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奥数专题讲座还原问题.docx
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奥数专题讲座还原问题
奥数专题讲座:
还原问题
导言:
一道题通常由条件和结论两部分组成,正常的一般是需要我们从已知条件出发,求出结论。
但有时题目条件复杂、残缺、隐藏时,或结论是已知的,这时往往需要我们采取逆向思维,即从结论倒推到条件,从而可以更容易解决问题。
这种解题方法叫做倒推法或还原法,我们把这类应用题叫还原问题。
例1.一个数的7倍加上3减去12乘以3得57,求这个数
解析:
从最后的结果入手倒推
倒推过程:
57÷3=1919+12=3131-3=2828÷7=4
即这个数是4
例2.小马虎在计算两个数相减时,一粗心竟把被减数个位的6看成了9,减数十位的1看成了7,结果得88,问正确的结果应是多少?
解析:
把被减数个位6看成了9,被减数增大了3,差也增大3,如果没看错,原来的差应是88-3=85
把减数十位的1看成了7,减数增大了60,但差会减小60,如果没看错,原来的差应是85+60=145
所以,正确的结果应是145
例3.百货商店出售彩色电视机,上午售出总数的一半多20台,下午售出剩下的一半多15台,还剩下75台。
店里原有彩色电视机多少台?
解析:
倒推法分析
下午售出剩下的一半多15台,还有75台,说明剩下的一半正好是75+15=90台,那么上午卖完后,还有90×2=180台
上午售出总数的一半多20台,还有180台,说明总数的一半正好是180+20=200台,那么,总数就有200×2=400台
即原来有400台彩色电视机。
例4.学校运来36棵树苗,乐乐与欢欢两人争着去栽,乐乐先拿了若干树苗,欢欢看到乐乐拿得太多,就抢了10棵,乐乐不肯,又从欢欢那里抢回6棵,这时乐乐拿的棵数是欢欢的2倍。
问:
最初乐乐拿了多少棵?
解析:
题目告诉了我们抢完后的结果:
乐乐的棵数是欢欢的2倍,求原来乐乐的棵数。
可用倒推法。
抢来抢去,总棵数不会变,由“现在乐乐的棵数是欢欢的2倍”,我们可以求出现在
欢欢拿了:
36÷(2+1)=12棵,
乐乐拿了:
12×2=24棵。
接着倒推:
“乐乐从欢欢那抢回6棵”。
如果不抢,乐乐应是24-6=18棵,
欢欢应是12+6=18棵
接着倒推:
“欢欢从乐乐那抢了10棵”
如果不抢,乐乐应是18+10=28棵,
欢欢应是18-10=8棵
所以,当初乐乐拿了28棵。
例5.一群猴子分一堆桃子,第1个猴子取走了一半零一个,第2个猴子取走了剩下的一半零一个、、、、、、,直到第7个猴子按上述方式取,恰好取完。
这堆桃子一共有多少个?
解析:
已知第7次取的是剩下的一半又一个,正好取完,
可见第6次取后剩下2个
第5次取后剩下(2+1)×2=6个
第4次取后剩下(6+1)×2=14个
第3次取后剩下(14+1)×2=30个
第2次取后剩下(30+1)×2=62个
第1次取后剩下(62+1)×2=126个
第1次取前就有(126+1)×2=254个
例6.某工程队修一段公路,第一天修全路的1/2还多2千米,第二天修余下的1/3少1千米,第三天修余下的1/4还多1千米,这样还余下20千米,需要在第4天修完,求公路全长。
解析:
这是一道分数应用题,如果从用分数应用题的解题思路和方法,很复杂。
但我们换个角度思考,用倒推法去分析,过程就不一样了。
第三天修余下的1/4还多1千米,还有20千米,说明:
20+1=21千米,正好是余下的(1-1/4)=3/4,即第二天余下了21÷3/4=28千米。
第二天修余下的1/3少1千米,还有28千米,说明:
28-1=27千米,正好是余下的1-1/3=2/3,即第一天余下了27÷2/3=81/2千米
第一天修全路的1/2还多2千米,还有81/2千米,说明:
81/2+2=85/2千米,正好是全路的1/2,即全路长85/2÷1/2=85千米
有些比较复杂的倒推问题,可列表把每次倒推后的结果填入表中,这样就不会遗漏。
例7.书架分上、中、下层,一共放了192本书,现在从上层取出与中层同样多的书放到中层,再从中层取出与下层同样多的书给下层,最后从下层取出与上层剩下的本数同样多的书放到上层,这时三层所放的本数相同。
这个书架的上、中、下层原来各有多少本书?
解析:
题目比较烦杂,先理顺下:
取了三次,先上层给中层,再中层给下层,最后下层给上层;每次取时,如“从上层取出与中层同样多的书放到中层”,意思是,你中层有多少本书,上层就取出多少本书给中层,说明取完后,中层的书的一半是上层给的;最后取完后,三层书一样多,即三层各有192÷3=64本。
题目包含以上三个条件。
我们可以采用列表式来倒推。
上
中
下
最后各层的书
64
64
64
从下层取书到上层前
32
64
96
从中层取书到下层前
32
112
48
从上层取书到中层前
88
56
48
例8.甲乙两人按自然数顺序轮流报数,每人每次只能报1个或2个数,而且必须报1个或2个数。
如:
第一个人报1,第二个接着报2或2、3;如果第一个人报1、2,那么第二个人只能报3或3、4。
这样连续报下去,谁报到24,谁就获胜。
请问:
甲怎样才能获胜?
是先报还是后报?
解析:
我们反过来思考。
根据“谁报24谁就获胜”,如果甲报23,乙就会报24,乙获胜;如果甲报22,乙就会报23,24,还是乙获胜。
因此,要想甲获胜,甲必须先报21。
同理,甲要报21,必须先报18;要报18,须先报15,继续分析甲所报的数,一定是12,9,6,3。
也就是说,甲后报数才能获胜。
方法是:
如果乙先报1,甲就报2,3;如果乙先报1、2,甲就报3。
甲必须后报数;乙若报x个数(1≤x≤2),则甲就报3-x个数。
甲一定能获胜
例9.54张扑克牌,两个人轮流取,每人每次只能取1---4张,谁取最后一张谁输,问怎样才能保证获胜?
解析:
要想最后一次留给对方一张,那么倒数第二次就要留给对方6张,依次倒推可知每次留给对方的张数是:
1,6,11,16,21,26,31,36,41,46,51。
所以,取胜的方法是:
(1)先取3张
(2)对方取x张(1≤x≤4),就相应取5-x张牌。
一定能获胜
例9.一个长方体,表面全部涂上红色后,被分割成若干个体积都是1立方厘米的小正方体。
如果在这些小正方体中,不带红色的小正方体有7个,那么两面带红色的小正方体的个数是多少?
解析:
我们可以从结果入手反过来思考。
这些不带红色的小正方体都是分布在长方体的内部,否则肯定至少有一个面被涂有红色。
不带红色的小正方体有7个,组成的小长方体只能是1×1×7的形状,由此可推出原长方体应是(1+2)×(1+2)×(7+2)的形状,即3×3×9的形状。
两面都有红色的小正方体应在长方体的每条棱的中间位置。
而每条棱的最两端,就是长方体的八个角,都是三面涂有红色,所以,原长方体的长上有9个小正方体,除去两个三面有红色的小正方体,就有7个两面是红色的小正方体,同理,宽、高都要除去两个三面有红的小正方体,就剩下3-2=1个两面是红色的小正方体。
所以,两面有红色的小正方体有(1+1+7)×4=36个
还有一类题,叫保证返回问题,属于最优化问题,但所采用的解题思维,跟倒推思维或逆向思维分不开。
例10.A、B两人沿直线旅行,并且从原路返回,但是可以不同时返回。
现在,每人各带了18天的食物和水,且食物和水不能存放于途中。
如果以每天25千米的速度前进,其中一人最远可行多少千米?
解析:
要想其中一人尽可能行得多,另一人的食物和水肯定要分一部分给这个人,而且给完后,要让这个人携带的食物和水最多,最好就是18天的食物和水。
说明另一人须提前返回。
我们假设让A走远些,让B提前回。
由于一个人只能带18天的食物和水,最好的打算是:
当B要回时,剩下的食物和水分两部分,一部分可保证自己返回,一部分留给A,且让A加上自己所剩的食物和水,正好够18天的。
那么B走多少天才返回?
由于B前进和返回所要的食物和水一样多,我们不难找到:
B走6天,再返回,这时B用了6天的食物和水,留6天的食物和水让自己可以返回,给6天的食物和水给A。
此时,A也走了6天,用去了6天的食物和水,如果加上B给的6天的食物和水,此时A正好携带18天的食物和水。
这样,A可以再前进6天,留下12天的食物和水保证自己返回。
所以,A总共走了12天,走了12×25=300千米
例11.A、B两人沿直线旅行,并且从原路返回,但是可以不同时返回。
现在,每人各带了24天的食物和水,可以将部分食物和水存放在途中以备返回时取用。
如果以每天20千米的速度前进,其中一人最远可行多少千米?
解析:
跟上题一样,从B返回开始入手思考。
要想A行得最远,就要求B返回时,留给A的食物和水最多。
此时B的食物和水分成三部分:
一部分留给自己保证返回;同样多的一部分留给A返回到此地时取用;剩下的一部分再转给A带走。
而且,转给A的食物和水正好是A此时用掉的,这样A还有24天的食物和水。
根据以上要求,我们不难找到:
B走6天就返回,这样,B用了6天的食物和水,留6天的食物和水给自己返回,留6天的食物和水存放在此地让A返回到此地取用,再给6天的食物和水让A带走,而此时A正好用掉了6天的食物和水。
这样,A就携带24天的食物和水继续前进,还可以走12天。
即A总共走了18天,前进了18×20=360千米
例12.一个旅行者准备穿过一个沙漠,行程需要6天,但是一个人一次只能携带4天的食物,他只好雇佣向导,帮他带食物。
他最少需要雇佣几名向导,如何走法?
解析:
由于旅行者自己带了4天的食物,要想走完6天的行程,说明旅行者所缺的2天的食物是由向导给他补充的,由于向导要返回也需要食物,所以旅行者所缺的2天食物在他行走的前2天补上,这样向导返回的天数少了,所用的食物也少了,自然所雇的向导人数也最少。
第一天,旅行者用掉一天食物,一名向导给上补上,该向导返回,自己来去用掉两天食物,一天食物给了旅行者,这时还剩下一天的食物,就需要有第二个向导来携带,此时,第二名向导也有4天的食物了。
第二天,旅行者又用掉一天的食物,还剩下三天食物,由第两名向导补上。
这时,旅行者正好有4天的食物,够他走完剩下4天的行程。
第二名向导自己用掉一天的食物,给旅行者补上一天的食物,还剩两天的食物正好够自己返回。
可见,旅行者只需雇佣两名向导就可以了。
具体的走法同上。
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