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人教版八年级下册数学全册教案含教学反思
第十六章 二次根式
16.1 二次根式
第
课时
使学生理解并掌握二次根式的概念,掌握二次根式中被开方数的取值范围和二次根式的取值范围.
经历观察、比较,总结二次根式概念和被开方数取值范围的过程,发展学生的归纳概括能力.
经历观察、比较和应用等数学活动,感受数学活动充满了探索性和创造性,体验发现的快乐,并提高应用的意识.
【重点】 了解二次根式的概念,理解二次根式有意义的条件.
【难点】 会求二次根式中字母的取值范围.
导入一:
唐僧师徒在万寿山五庄观做客.猪八戒来到后花园,看见人参果树上结满了人参果,嘴馋得直流口水.正准备伸手摘时,突然一道金光,在同一个枝头上一大一小的两个果子同时掉了下来,噗的一声同时着地.有爱好数学的电视迷算了人参果下落的时间t与h之间的关系式为t=,你觉得他算的正确吗?
要解决这个问题,我们得从二次根式说起.
导入二:
1.教师出示复习题:
(1)4的平方根是 ;0的平方根是 ;-16的平方根是 .
(2)5的平方根是 ;5的算术平方根是 .
学生口答:
(1)4的平方根是±2;0的平方根是0;-16没有平方根.
(2)5的平方根是±;5的算术平方根是.
2.教师出示教材第2页“思考”题:
用带有根号的式子填空,看看写出的结果有什么特点:
(1)面积为3的正方形的边长为 ,面积为S的正方形的边长为 .
(2)一个长方形的围栏,长是宽的2倍,面积为130m2,则它的宽为 m.
(3)一个物体从高处自由落下,落到地面所用的时间t(单位:
s)与开始落下时离地面的高度h(单位:
m)满足关系h=5t2.如果用含有h的式子表示t,那么t为 .
学生思考后回答,教师补充得出答案:
(1),;
(2);(3) .
1.二次根式的概念
思路一 教师引导学生说出各式的意义,概括它们的共同特征:
都表示一个非负数(包括字母或式子表示的非负数)的算术平方根.
讨论:
你能用一个式子表示一个非负数的算术平方根吗?
学生小组讨论,全班交流.教师由此给出二次根式的定义:
一般地,我们把形如(a≥0)的式子叫做二次根式,“”称为二次根号.
追问:
在二次根式的概念中,为什么要强调“a≥0”?
教师引导学生举出例子说明,经过讨论知道二次根式被开方数必须是非负数.
2.例题讲解
(教材例1)当x是怎样的实数时,在实数范围内有意义?
引导学生从概念出发进行思考:
二次根式的被开方数为非负数,则x-2≥0.
解:
由x-2≥0,得x≥2.
当x≥2时,在实数范围内有意义.
师生共同回顾本节课所学主要内容:
知识要点
关键点
注意事项
二次根式的概念
形如≥0(a≥0)的式子叫做二次根式,其中被开方数是a
被开方数也可以是含有字母的单项式、多项式、分式等
二次根式有意义的条件
被开方数必须是非负数
求解二次根式中字母的取值范围,要注意根号下的式子整体不小于零
第1课时
1.二次根式的概念
2.例题讲解例1
【必做题】教材第3页练习第1,2题;教材第5页习题16.1第1题.
【选做题】教材第5页习题16.1第7题.
我们经常说过程比结果更重要.我对整节课的设计力求符合学生的认知特点,想方设法创设生动活泼的教学情境,使学生始终处在好奇、好学的高亢的学习情绪当中,同时,整节课努力做到先有框架,中有深化,后有突破.学生学有情趣,学有所获,并由衷感到:
学习是快乐的事,学会了更是幸福的事.
在教学中,我适当增加了有拓展性的练习,层层递进,想使不同的学生得到不同程度的发展和提高,但受到教材中练习题的局限,就当a是非负数时,本身也是一个非负数的练习没有落实到位.
第
课时
1.理解()2=a(a≥0)和=a(a≥0),并利用它们进行计算和化简.
2.用具体数据结合算术平方根的意义推出()2=a(a≥0)和探究=a(a≥0),会用这个结论解决具体问题.
3.了解代数式的概念.
【重点】 掌握二次根式的性质,并能将二次根式的性质运用于化简.
【难点】 能运用二次根式的性质化简.
导入一:
教师出示问题:
先化简再求值:
当a=9时,求a+值,甲、乙两人的解答如下:
甲的解答为:
原式=a+=a+(1-a)=a+1-a=1;乙的解答为:
原式=a+=a+(a-1)=2a-1=17.两种解答中,谁的解答是错误的呢?
本节课,我们一起来学习二次根式的性质,然后就可以解决上面的问题了.
导入二:
1.什么叫二次根式?
2.当a≥0时,叫什么?
当a<0时,有意义吗?
学生口答,老师点评.
通过前面的学习,我们知道了二次根式具有双重非负性.今天我们主要学习一些二次根式的其他性质.
思路一1.二次根式的性质1:
()2=a(a≥0)
提问:
你能解释下列式子的含义吗?
()2,()2,,()2.
学生口述,教师根据情况评价.
()2表示4的算术平方根的平方;()2表示2的算术平方根的平方;表示的算术平方根的平方;()2表示0的算术平方根的平方.
追问:
根据算术平方根的意义填空,并说出得到结论的依据.
()2= ;()2= ;= ;()2= .
学生独立完成填空后,让学生展示其思维过程,说出得到结论的依据.
教师引导学生说出每一个式子的含义.
是4的算术平方根,根据算术平方根的意义,是一个平方等于4的非负数,因此有()2=4.是2的算术平方根,根据算术平方根的意义,是一个平方等于2的非负数,因此有()2=2. 是的算术平方根,根据算术平方根的意义, 是一个平方等于的非负数,因此有=.表示0的算术平方根,因此有()2=0.
讨论:
从以上的结论中你能发现什么规律?
你能用一个式子表示这个规律吗?
引导学生归纳得出二次根式的性质:
一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数,即()2=a(a≥0).
教材例2计算:
(1)()2;
(2)
(2)2.
学生独立完成,两名学生板演,再集体订正.
2.二次根式的性质2:
=a(a≥0)
提问:
你能解释下列式子的含义吗?
教师引导学生说出每一个式子的含义.
表示2的平方的算术平方根;表示0.1的平方的算术平方根; 表示的平方的算术平方根;表示0的平方的算术平方根.
追问:
根据算术平方根的意义填空,并说出得到结论的依据.
= ;= ; = ;= .
学生独立完成填空后,让学生展示其思维过程,说出得到结论的依据.
讨论:
从以上的结论中你能发现什么规律?
你能用一个式子表示这个规律吗?
引导学生归纳得出:
一个非负数的平方的算术平方根等于这个数.即=a(a≥0).
(教材例3)化简:
(1);
(2).
引导学生根据=a(a≥0)进行分析:
(1)因为16=42,所以=,再计算即可得出结果.
(2)因为(-5)2=52,所以=.
学生独立完成,集体订正.
解:
(1)==4.
(2)==5.
师生共同回顾本节课所学主要内容:
知识要点
关键点
注意事项
()2=a(a≥0)
任何非负数的算术平方根的平方,其结果仍然是它本身
被开方数a是非负数
=|a|=
任何实数的平方的算术平方根是它的绝对值
底数a可以是任何实数
代数式
用运算符号把数和表示数的字母连接起来的式子叫代数式
①式子中不能出现“=,≠,≥,≤,<,>”;②单个的数字或单个的字母也是代数式
第2课时
1.二次根式的性质1:
()2=a(a≥0)
例1
2.二次根式的性质2:
=a(a≥0)
例2
教材第4页练习第1,2题;教材第5页习题16.1第2,3,4,5,6题.
本节课通过“观察——归纳——运用”的模式,让学生对知识的形成与掌握变得简单起来,将一个一个知识点落实到位,适当增加了拓展性的练习,层层递进,使不同的学生得到了不同的发展和提高.
16.2 二次根式的乘除
第
课时
1.理解=·(a≥0,b≥0),使学生能够利用积的算术平方根的性质进行二次根式的计算和化简.
2.掌握二次根式的乘法法则,会进行二次根式的乘法运算.
【重点】 会利用积的算术平方根的性质化简二次根式,会进行二次根式的乘法运算.
【难点】 二次根式的乘法与积的算术平方根的关系及应用.
导入一:
古希腊的几何家海伦的邻居家有一块三角形的菜地,测得三边的长分别为7m,5m,8m,海伦很快就算出了这块菜地的面积,邻居想了很久也算不出来,你知道海伦是如何将这块地的面积计算出来的吗?
原来海伦先算出三角形的周长的一半为10m,再根据计算三角形的面积公式得=(m2),可是后面这个式子该如何化简呢?
这节课我们一起来进行探讨.
导入二:
我们知道长方形的面积等于长乘宽,一个一组邻边长为2和3的长方形,你能算出它的面积吗?
其实这个长方形的面积是2×3,你能算出这个结果,求出长方形的面积吗?
1.二次根式的乘法
思路一
计算下列各式,观察计算结果,你能发现什么规律?
(1)×= ,= ;
(2)×= ,= ;
(3)×= ,= .
参考上面的结果,用“>,<或=”填空.
× ,× ,× .
老师纠正学生练习中的错误后,引导学生观察运算结果,发现和总结式子有什么规律,指出几名学生回答,其余学生补充.
老师点评:
(1)被开方数都是正数;
(2)两个二次根式的乘法等于一个二次根式,并且把这两个二次根式中的数相乘,作为等号另一边二次根式中的被开方数.
提问:
二次根式的乘法法则是什么?
字母表达式是怎样的?
学生总结二次根式的法则:
·=(a≥0,b≥0),即二次根式相乘,把被开方数相乘,根指数不变.
由上面的特殊例子引导学生总结:
·=(a≥0,b≥0),即二次根式相乘,把被开方数相乘,根指数不变.
尝试练习(教材例1):
计算:
(1)×;
(2) ×.
学生独立做完后,同桌内确定答案,并记录下自己的错误之处,以便后面交流.
2.积的算术平方根的性质
(教材例1)计算:
(1);
(2)
引导学生结合前面尝试练习分析:
根据二次根式的乘法法则·=(a≥0,b≥0)进行计算.
(教材例2)化简:
(1);
(2).
教师引导发现:
被开方数4a2b3含4,a2,b3这样的因数或因式,它们被开方后可以移到根号外,是开得尽方的因数或因式.根据积的算术平方根的性质=·进行二次根式的化简.
(教材例3)计算:
师生共同回顾本节课所学主要内容:
1.·=(a≥0,b≥0),即两个二次根式相乘,把被开方数相乘,根指数不变.二次根式的乘法法则可以推广到多个二次根式进行相乘的运算,如··=(a≥0,b≥0,c≥0).
2.=·(a≥0,b≥0),用语言叙述为:
积的算术平方根,等于积中各因式的算术平方根的积.
第1课时
1.二次根式的乘法
2.积的算术平方根的性质
3.例题讲解
例1 例2 例3
一、教材作业
【必做题】
教材第7页练习第1,2,3题;教材第10页习题16.2第1题.
【选做题】
教材第11页习题16.2第6题.
本节课以问题的方式提出要解决的问题,让学生观察、计算、归纳,不断进行自主探究,在探究过程中注意观察知识产生发展的全过程,从而让学生的学习情感和学习品质得到升华,学生的创新精神得到发展.本课时设计充分反映了课堂教学的灵活性与探究性,基本达到了通过再创造培养学生创新精神和创造能力的教学目标.
第
课时
1.会进行简单的二次根式的除法运算.
2.使学生能利用商的算术平方根的性质进行二次根式的化简与运算.
3.理解最简二次根式的概念,并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式.
【重点】 会进行简单的二次根式的除法运算,会用商的算术平方根的性质进行二次根式的化简与运算.
【难点】 二次根式的除法与商的算术平方根的关系及应用.
导入一:
化育中学有一块直角三角形的花台,计划让九年级的同学负责花台周围的清洁卫生.已知直角边AC=m,BC=3m,你能求出斜边AB的边长吗?
在学习了下一章后,根据勾股定理得AB== = .
在上面的问题中,你会计算 的结果吗?
学习这节课后,你将很容易地解答这类问题.
导入二:
1.请同学们回忆·=(a≥0,b≥0)是如何得到的?
学生回忆二次根式乘法的运算法则的推导过程,并总结学习方法.
2.计算下面的式子,并请每一个同学举出一个例子.
(1)= , = ;
(2)= , = ;
教师巡视学生举例和计算结果是否正确.
这些式子的计算涉及我们这节课要学习的二次根式的除法等相关内容,让我们一起来探究
1.二次根式的除法
思路一计算下列各式,观察计算结果,你能发现什么规律?
(1)= , = ;
(2)= , = ;
(3)= , = .
参考上面的结果,用“>”“<”或“=”填空.
; ; .
老师纠正学生练习中的错误后,引导学生观察运算结果,发现和总结式子有什么规律,指出几名学生回答,其余学生补充.
提问:
二次根式的除法法则是什么?
字母表达式是怎样的?
学生总结二次根式除法的法则:
即两个二次根式相除,把被开方数相除,根指数不变.
追问:
a,b的取值范围为什么不同?
学生思考,交流:
因为分母不能为0,所以b≠0.当a<0,b<0时,,无意义,因此a≥0,b>0.
(教材例4)计算:
(1);
(2) ÷ .
学生利用= (a≥0,b>0)进行计算,根据学生计算情况指点.对于
(2)题,需将除法转化成乘法后,再进行化简.
解:
(1)= ==2.
(2) ÷ = = ==3.
2.商的算术平方根的性质
思路
(1) = ,= ;
(2) = ,= ;
(3) = ,= .
参考上面的结果,用“>”“<”或“=”填空.
; ; .
你认为 = (a≥0,b>0).
学生计算后比较每一组的结果,说出自己的发现,教师明确商的算术平方根的性质:
=(a≥0,b>0),即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.
[过渡语] 二次根式的乘法公式可以逆用,那么除法公式可以逆用吗?
学生阅读教材第8页内容:
把= (a≥0,b>0)反过来,就得到 =(a≥0,b>0),利用它就可以将二次根式化简.
(教材例5)化简:
(1) ;
(2) .
学生独立完成后,找学生口述解题过程,教师将过程写在黑板上.
引导学生归纳:
商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根,
即 =(a≥0,b>0).
3.最简二次根式
[过渡语] 你能用积的算术平方根和商的算术平方根化简吗?
化简:
= ; = .
学生独自练习后,教师讲解.
由于27可以分解为32×3,根据=·(a≥0,b≥0),则有=×=3, 可以根据 =(a≥0,b>0)得,再利用分数的基本性质可以变形,则有 ===.
追问:
观察化简结果3和,它们有什么特点?
自己可以再举例说明.
引导学生从上面两小题化简的过程来看:
(1)把被开方数中能开得尽方的因数(或因式)开出来;
(2)把被开方数中所含有的分母化去.
进一步归纳总结:
如果二次根式满足下列两个条件:
(1)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式;
(2)被开方数中不含有分母.那么这样的二次根式叫做最简二次根式.
4.例题讲解
(教材例6)计算:
(1);
(2); (3).
先引导学生分析本题3道小题,根据二次根式的除法法则进行计算,计算结果应化成最简二次根式,在自己练习后小组交流.
[解题策略] 化简二次根式的方法:
①把被开方数化为能开得尽方的因数(或因式)与其他因数(或因式)积的形式,再开平方即可;②被开方数是小数的,要化成分数,可以利用分数的基本性质,使得化简后被开方数不含分母;③当被开方数是和(或差)的形式时,要把被开方数写成一个数或分解因式,再化简.
(教材例7)设长方形的面积为S,相邻两边长分别为a,b.已知S=2,b=,求a.
学生先分析题意,独立列出式子,再代值计算.
分析:
∵S=ab,∴a=,将S,b的值代入进行化简即可.
师生共同回顾本节课所学主要内容:
1.= (a≥0,b>0),即两个二次根式相除,把被开方数相除,根指数不变.
2. =(a≥0,b>0),即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.
3.如果一个二次根式满足以下两个条件:
(1)被开方数不含分母;
(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.我们称这样的二次根式为最简二次根式.
第1课时
1.二次根式的除法 例1
2.商的算术平方根的性质例2
3.最简二次根式
教材第10页练习第1,2,3题;教材第10页习题16.2第2,3,4题.
本节课以问题的方式提出要解决的问题,让学生观察、计算、归纳,运用类比学习的方法探究得出二次根式的除法法则.在探究过程中注意观察知识产生、发展的全过程,从而让学生的学习情感和学习品质得到升华,学生的创新精神得到发展.本课时设计充分反映了课堂教学的灵活性与探究性,基本达到了通过再创造培养学生创新精神和创造能力的教学目标.
16.3 二次根式的加减
1.将二次根式化成被开方数相同的最简二次根式,再进行合并.
2.能对含有二次根式的式子进行加减运算和含有二次根式的多项式乘法公式的应用.
3.会计算二次根式的加减乘除混合运算,能准确地进行化简求值.
【重点】 二次根式的加减运算.
【难点】 探索二次根式加减运算的方法和准确地进行二次根式加减运算.
第
课时
理解和掌握二次根式加减的方法.
先提出问题,分析问题,在分析问题过程中,渗透对二次根式进行加减的方法的理解.再总结经验,用它来指导根式的计算和化简.
【重点】 二次根式加减法的运算.
【难点】 快速准确进行二次根式加减法的运算.
导入一:
(出示教材第12页问题)现有一块长7.5dm,宽5dm的木板,能否采用如图的方式,在这块木板上截出两个面积分别是8dm2和18dm2的正方形木板?
提问:
①大、小正方形木板的边长分别为dm和dm,木板是否够宽?
②木板是否够长呢?
③怎样计算+的结果呢?
引导学生思考,并进行交流.
两个小正方形的边长分别为dm和dm,均小于5dm,所以木板的宽度够,下面考虑木板是否够长,两个正方形的边长的和为dm,实际上是求和的和,然后再比较+与7.5的大小.
怎样计算+呢?
下边我们来探究二次根式的加减.
导入二:
我们一起来回顾一下:
最简二次根式必须要满足哪几个条件?
(1)被开方数不含分母;
(2)被开方数不含能开得尽方的因数或因式.
[过渡语] 二次根式的乘除法,可以用被开方数乘或者除以被开方数,然后化简得出结果.那么,二次根式的加法能用被开方数加上或减去被开方数吗?
提问:
-=正确吗?
本节课,我们一起学习二次根式的加减之后就会明白上面的计算是否正确.
1.二次根式的加减法
[过渡语] 我们可否用整式的加减的方法来计算二次根式的加减呢?
思路一 教师引导学生将导入一中的二次根式化成最简二次根式:
追问:
可以像合并同类项那样合并吗?
学生小组讨论回答:
相当于x,则合并同类项2x+3x=(2+3)x=5x,用类比的方法可知:
根号前边的数字相当于系数,把系数相加得:
(2+3)=5.
师生归纳:
一般地,二次根式相加减时,可先将二次根式化成最简二次根式,再把被开方数相同的二次根式合并.
思路二
(1)合并同类项:
①2x+3x= ; ②2a2-3a2+5a2= .
(2)请同学们用类似合并同类项的方法计算下列各题,并说说计算过程有什么规律.
①2+3= ; ②2-3+5= .
学生回顾,合并同类项就是把系数相加减,字母部分不变.2x+3x=(2+3)x=5x,2a2-3a2+5a2=(2-3+5)a2=4a2,教师提醒要注意不是同类项的不能合并.
追问:
第
(1)问中的①中x换成,②中a2换成,就成了第
(2)问中的两个题目了,又该怎样运算呢?
学生用类似合并同类项的方法,得:
①2+3=(2+3)=5;②2-3+5=(2-3+5)=4.
引导学生总结:
第
(2)问中的①和②都是将被开方数相同的二次根式进行合并,如果二次根式不是最简二次根式,需先将二次根式化成最简二次根式,再将被开方数相同的二次根式进行合并.例如,+=3+2=5.
教师归纳:
二次根式加减时,先将二次根式化成最简二次根式,再将被开方数相同的二次根式进行合并.
2.例题讲解
(教材例1)计算:
(1)-;
(2)+.
引导学生对二次根式,,,化简,并进行检查、指正.
由学生独立完成解答过程,按照被开方数相同的合并在一起.
(教材例2)计算:
(1)2-6 +3;
(2)+.
指导学生对二次根式进行化简,再加减,并追问:
与能合并吗?
学生能成功化简,并在明白与的被开方数不相同,不能合并的基础上,再计算.
[方法归纳] 二次根式的加减运算,第一步是将不是最简二次根式的化成最简二次根式;第二步是将被开方数相同的最简二次根式合并,如果有括号,先去括号.
师生共同回顾本节课所学主要内容:
二次根式的加减运算,可以先将二次根式化成最简二次根式,再将被开方数相同的二次根式进行合并.
①二次根式加减的实质是将被开方数相同的最简二次根式进行合并,与整式加减中合并同类项类似,即只把系数相加减,根指数和被开方数不变;
②在进行运算时还要注意,根号外的因式就是这个根式的系数,二次根式的系数是带分数的要化为假分数的形式;
③被开方数不相同的最简二次根式不能合并,对于没有合并的二次根式一定不能丢掉,其也是结果的一部分.
第1课时
1.二次根式的加减法
2.例题讲解例1 例2
教材第13页练习第1,2,3题;教材第15页习题16.3第1,2,3题.
在授课过程中,以学生为主体,进行探究性学习,让学生自己发现规律,得出概念.在例题的选择上由简到难,符合学生的认知规律,便于掌握.在得到定义、法则的过程中,让学生经历发现、思考、探究的过程,体会学习知识的成功与快乐.
在教学过程中,存在着一些不足之处.一是对学情分析不足,主要是过高估计学生的学习能力,对以前学过的二次根式的化简复习工作做得不够,导致后续的新知识的学习遇到许多麻烦.二是在学生自主学习方面还存在着不足.遇到困难有畏难情绪、对老师的依赖性太强.这些都有待于在今后的教学中进行教育和引导.
第
课时
在有理数的混合运算及整式的混合运算基础上,使学生了解二次根式的混合运算与以前所学知识的联系,在比较中得到方法,并能熟练地进行二次根式的混合运算.
1.
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