函数与方程A重点.docx
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函数与方程A重点.docx
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函数与方程A重点
函数与方程(A)(重点)
适用学科
高中数学
适用年级
高中三年级
适用区域
全国新课标
课时时长(分钟)
60
知识点
1.对一般方程的零点的求法2.二分法求零点
3.零点个数
教学目标
了解二分法的基本思想;能够借助计算机(或计算器)用二分法求相应方程的近似解;掌握方程的根与函数的零点之间的关系,体会函数的核心地位,形成用函数的观点处理数学问题的意识。
教学重点
能够借用计算器用二分法求相应方程的近似解
教学难点
对二分发的理论支撑的理解
教学过程
一.课程导入:
问题1:
在一个风雨交加的夜里,从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障.这是
一条10km长的线路,如何迅速查出故障所在?
如果沿着线路一小段一小段查找,困难很多.每查一个点要爬一次电线杆子.10km长,大约有200多根电线杆子呢.
(设计意图:
从实际问题入手,利用计算机演示用二分法思想查找故障发生点,通 过演示让学生初步体会二分法的算法思想与方法,说明二分法源于现实生活,并在 现实生活中广泛应用。
)
想一想,维修线路的工人师傅怎样工作最合理?
二、复习预习
(1)本节课的主要内容有函数零点的概念、函数零点存在性判定定理。
函数f(x)的零点,是中学数学的一个重要概念,从函数值与自变量对应的角度看,就是使函数值为0的实数x;从方程的角度看,即为相应方程f(x)=0的实数根,从函数的图形表示看,函数的零点就是函数f(x)与x轴交点的横坐标.函数是中学数学的核心概念,核心的根本原因之一在于函数与其他知识具有广泛的联系性,而函数的零点就是其中的一个链结点,它从不同的角度,将数与形,函数与方程有机的联系在一起。
(2)本节是函数应用的第一课,因此教学时应当站在函数应用的高度,从函数与其他知识的联系的角度来引入较为适宜。
三、知识讲解
考点1、函数零点的定义
(1)方程f(x)=0的实数根又叫y=f(x)的零点.
(2)方程f(x)=0有实根函数y=f(x)的图象与x轴有交点对函数f(x)=0有零点.
考点2、函数零点的判定
如果函数y=f(x)在区间(a,b)上的图象是一条不间断的曲线,且f(a)·f(b)<0,则函数y=f(x)在区间上有零点,即存在x0∈(a,b),使得f(x0)=0,这个x0也就是函数f(x)=0的零点.我们不妨把这一结论称为零点存在性定理.
考点3、与零点的关系
Δ=b2-4ac
Δ>0
Δ=0
Δ<0
二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象
与x轴的交点
两个交点
一个交点
无交点
零点个数
2
1
0
考点4、用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤
第一步,确定区间(a,b),验证f(a)f(b)<0;
第二步,求区间(a,b)的中点x1;
第三步,计算f(x1);
①若f(x1)=0,则x1就是函数的零点;
②若f(x1)f(a)<0,则令b=x1(此时零点x0∈(a,x1));
③若f(x1)f(a)>0,则令a=x1(此时零点x0∈(x1,b));
第四步,判断是否满足要求的条件,否则重复第二、三、四步.
四、例题精析
考点一零点的求法及零点的个数
【例题1】
【题干】
(1)求函数f(x)=x3-2x2-x+2的零点;
(2)已知函数f(x)=ln(x+1)-
,试求函数的零点个数.
【答案】见解析
【解析】
(1)∵f(x)=x3-2x2-x+2=x2(x-2)-(x-2)=(x-2)(x+1)(x-1).令f(x)=0,得x=±1,2,
∴函数f(x)的零点是-1,1,2.
(2)令f(x)=0,即ln(x+1)=
,在同一坐标系中画出y=ln(x+1)和y=
的图象,可知两个图象有两个交点,所以f(x)有两个零点.
考点二二次函数的零点问题
【例题2】
【题干】
(1)已知α、β是方程x2+(2m-1)x+4-2m=0的两个实根,且α<2<β,求m的取值范围;
(2)若方程x2+ax+2=0的两根都小于-1,求a的取值范围.
【答案】见解析
【解析】
(1)设f(x)=x2+(2m-1)x+4-2m.
∵α、β是方程f(x)=0的两个根,且α<2<β,
∴f
(2)<0,即22+2(2m-1)+4-2m<0,得m<-3.
(2)设f(x)=x2+ax+2,f(-1)=1-a+2,Δ=a2-8.由题意,得
∴2
≤a<3.
考点三函数与方程的相互转换
【例题3】
【题干】设函数f(x)=
-ax2,a∈R.
(1)当a=2时,求函数f(x)的零点;
(2)当a>0时,求证:
函数f(x)在(0,+∞)内有且仅有一个零点;
(3)若函数f(x)有四个不同的零点,求a的取值范围.
【答案】见解析
【解析】
(1)解:
当x≥0时,由f(x)=0,得
-2x2=0,即x(2x2+4x-1)=0,解得x=0或x=
(舍负);
当x<0时,由f(x)=0,得
-2x2=0,
即x(2x2+4x+1)=0(x≠-2),解得x=
.
综上所述,函数f(x)的零点为0,x=
,x=
,x=
.
(2)证明:
当a>0且x>0时,由f(x)=0,得
-ax2=0,即ax2+2ax-1=0.
记g(x)=ax2+2ax-1,则函数g(x)的图象是开口向上的抛物线.
又g(0)=-1<0,所以函数g(x)在(0,+∞)内有且仅有一个零点,
即函数f(x)在区间(0,+∞)内有且仅有一个零点.
(3)解:
易知0是函数f(x)的零点.
对于x>0,由
(2)知,当a>0时,函数f(x)在区间(0,+∞)内有且仅有一个零点;
当a≤0时,g(x)=ax2+2ax-1<0恒成立,因此函数f(x)在区间(0,+∞)内无零点.
于是,要使函数f(x)有四个不同的零点,函数f(x)在区间(-∞,0)内就要有两个不同的零点.
当x<0时,由f(x)=0,得
-ax2=0,即ax2+2ax+1=0(x≠-2).①
因为a=0不符合题意,所以①式可化为x2+2x+
=0(x≠-2),即x2+2x=-
=0.
作出函数h(x)=x2+2x(x<0)的图象便知-1<-
<0,得a>1,
综上所述,a的取值范围是(1,+∞).
课后评价
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- 关 键 词:
- 函数 方程 重点