高三数学课件高三排列组合复习.docx
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高三数学课件高三排列组合复习
排列、组合复习课
■、基本内容
1、两个原理:
1分类计数加法原理(加法原理):
完成一件事,有n类办法,在第1类办法中
有uh种不同的方法,在第2类办法中有
uh种不同的方法
在第n类办法中有
种不同的方法,那么完成这件事共有N二
mx+m2+••…+m*种不同的方法.
2分步计数乘法原理(乘法原理):
完成一件事需要
II个步骤,做第1步有ID1种不同的方法,做第2
同的方法,那么完成这件事共有N二miXin?
X……XMln种不同的方法•
3两个原理的区别:
前者各种方法相互独立,用其中的任何一种方法都可以完成这件事;后者每个步骤相互依存,只有每个步骤都完成了,这件事才算完成。
对前者的应用,如何分类是关键,如排数时有0没有0,排位时的特殊位置等;后者一般体现在先选后排O
2•排列与排列数
A:
定义:
一般地,从n个不同元素中取出m个元素,按照一定的顺序排成一列,叫廠从n个不同元素中取也m个元素商一个排列,所有排列的个数,叫做从Ji个不同元素中取Him个元素的排列薮,用表示.
有关公式:
A;:
=n{n-1)(〃-2)(n-m+V)
(力、meN\m<特别地,A;=n!
A:
=—^—C常用于证明等式)
(n-m)!
3•组合与组合数:
定义:
一般地,从n个不同元素中取出m个元素,并成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。
所有组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数,用
C:
=(n、meN\m 厂m_厂n_m厂^0_i厂m_厂m丄^im—1 nJ斤Jn,^n+1nn 有关公式: mi 了二A: 二〃(卅_1)(〃_2)・・・(〃_加+1) m n\ 4•排列与组合的区别: 前者先选出元素, 再按一定的顺序排成一列,后者只要选 出元素并成一组即可;两个排列相同当且仅当两个排列的元素完全相同,且元素的顺序也相同,如abc与acb是不同的 排列;两个组合相同,只要元素完全相同,可从集合的观点来看,如 {a,b,c}{a,c,b}是同一集合。 5•常用解题方法及适用题目类型 ⑴直接法: 特殊元素法、特殊位置法(两者适用某一个或几个元素在指定的位置或不在指定的位置)、捆绑法(两个或两个以上的元素必须相邻)、插空法(两个或两个以上的元素必须不相邻)、挡板法(相同的元素分成若干部分,每部分至少一个) ⑵间接法(排除法,正难则反的思想). 6•高考中考查的思想方法: 分类、分步、对称、逆向思维、整体等• 学校组织老师学生一起看电影,同一排电影票12张。 8个学生,4个老师,要求老师在学生中间,且老师互不相邻,共有多少种不同的坐法? 此题涉及到的是不相邻问题,并且是对老师有特殊的要求,因此老师是特殊元素,在解决时就要特殊对待.所涉及问题是排列问题. 先排学生共有AJ种排法,然后把老师插入学生之间的空档,共有7个空档可插,选其中的4个空档,共有A? 4种选法.根据乘法原理,共有的不同坐法为 A88A74种. 插空法对于某两个元素或者几个元素要求 不相邻的问题,可以用插入法•即先排好没有限制条件的元素,然后将有限制条件的元素按要求插入排好元素的空档之中即可. 5个男生3个女生排成一排,3个女生要排在一起,有多少种不同的排法? 此题涉及到的是排队问题,对于女生有特殊的限制,因此,女生是特殊元素,并且要求她们要相邻,因此 可以将她们看成是一个元素来解决问题. 因为女生要排在一起,所以可以将3个女生看成是 一个人,与5个男生作全排列,有Ae6种排法,其中女生内部也有AJ种排法,根据乘法原理,共<A66A33^不同的排法. 捆绑法要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题•即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也可以作排列. 高二年级8个班,组织一个12个人的年级学生分会, 每班要求至少1人,名额分配方案有多少种? 此题若直接去考虑的话,就会比较复杂•但如果我们将其转换为等价的其他问题,就会显得比较清楚,方法简单,结果容易理解. 此题可以转化为: 将12个相同的白球分成8份,有多少种不同的分法问题,因此须把这12个白球排成一排,在11个空档中放上7个隔板,每个空档最多放一个,即可将白球分成8份,显然有酚不同的放法,所以名额分配方案有窗I种. 隔板法: 解决指标分配问题 例4袋中有5分不同硬币23个,1角不同硬币10个,如果从袋中取出2元钱,有多少种取法? 分析此题是一个组合问题,若是直接考虑取钱的问题的话,情况比较多,也显得比较凌乱,难以理出头绪来•但是如果根据组合数性质考虑剩余问题的话,就会很容易解决问题. 解把所有的硬币全部取出来,将得到 共有 0.05X23+0.10X10=2.15元,所以比2元多0・15元,所以剩丁0・15元即剩下3个5分或1个5分与1个1角.所以虹宅側种取法. 结论4: 剩余法在组合问题中,有多少取法,就有多少种剩法,他们是对应的,因此,当求取法困难时,可转化为求剩法. 例5、9人排成一行,下列情形分别有多少种排法? ⑴甲不站排头,乙不站排尾 点评: 利用对称的思想, (一)先排甲(特殊元素优先考虑) (三)间接法 练习: 用0,1,2,3,4这五个数,组成没有重复 数字的三位数,其中1不在个位的数共有种 念一2盃+£=39 五个数组成三位数的全排列有Q个,o排在首位的有U个,1排在末尾的有阴,减掉这两种不合条件的排法数,再加回百位为0同时个位为1的排列数圈(为什么? )故共有If种。 ⑵甲乙必须排在一起,丙丁不能排在一起 点评: 小团体排列问题中,先整体后局部,再结合不相邻问题的插空处理。 练习: (2005-辽宁)用1、2、3、4、5、6、组成没有重复数字的八位数,要求1与2相邻, 这样的八位数共有个.(用数字作答) 将1与2,3与4,5与6捆绑在一起排成一列 有 有 引申: 用1、2、3、4、5、 的六位数,要求1与2相邻,相邻,现将7、8插进去,仍要求1与2相邻,3与4 相邻,5与6相邻,那么八位数共有个. (用数字作答)阳23(A42+A4xA22)=960] ⑶甲乙丙从左到右排列(固定顺序问题) "=牛=£=60480 评: 对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先将这几个元素与其它元素一同进行排列,然后用总的排列数除以这几个元素的全排列数. •引申: 有三人从左到右顺序一定 分析: 点评: 定序问题除法处理 练习: 有4名男生,3名女生。 3名女生高矮互不等,将7名学生排成一行,要求从左到右,女生从矮到高排列,有多少种排法? ⑷前排三人,中间三人,后排三人 引申: 前排一人,中间二人,后排六人 点评: 分排问题直排处理 练习: 七人坐两排座位,第一排坐3人,第二排坐4人,则有多少种不同的坐法? 分析: 7个人,可以在前后排随意就坐,再无其他限制条件,故两排可看作一排处理,所以不同的坐法有种. ⑸分成甲、乙、丙三组,甲组4人,乙组3人,丙 引申: ①分成甲、乙、丙三组,一组4人,组3人,一组2人 ⑹分隹暫色些 分析 引申: 分成三组,一组5人,另两组各两人 分析: 点评: 局部均分无序问题易出错 实验法(穷举法) 题中附加条件增多,直接解决困难时,用实验逐步寻求规律有时也是行之有效的方法。 例将数字1,2,3,4填入标号为1,2,3,4的四个方格内,每个方格填1个,则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法种数有() A.6B.9C.llD.23 分析: 此题考査排列的定义,由于附加条件较多,解法较为困难,可用实验法逐步解决。 第一方格内可填2或3或4。 如填2,则第二方格中内可填1或3或4。 若第二方格内填1,则第三方格只能填4,第四方格应填3。 若第二方格内填3,则第三方格只能填4,第四方格应填1。 同理,若第二方格内填4,则第三方格只能填1,第四方格应填3。 因而,第一格填2有3种方法。 不难得到,当第一格填3或4时也各有3种,所以共有9种。 练习(不对号入座问题) (1)(2004湖北)将标号为1,2,3, 10个球放入标号为1,2,3,……,10的10个盒子中,每个盒内放一个球,恰好有3儀酋号与其所在盒子的标号不一致的放入方法有BM3种 (2)编号为1、2、3、4、5的五个球放入编号为 1、2、3、4、5的五个盒子里,至多有2个对号入座的情形有109种 间接法1=109 住店法 解决“允许重复排列问题”要注意区分两类元素: 一类元素可以重复,另一类不能重复,把不能重复的元素看作“客”,能重复的元素看作“店”,再利用乘法原理直接求解。 例6七名学生争夺五项冠军,每项冠军只能由一 \|一M'4、 人获得,获得冠军的可能的种数有() A.B・CD・ 分析: 因同一学生可以同时夺得n项冠军,故学生可重复排列,将七名学生看作7家“店”,五项冠军看作5名“客”,每个 注: 对此类问题,常有疑惑,为什么不是呢? 用分步计数原理看,5是步骤数,自然是指数。 对应法 例7在100名选手之间进行单循环淘汰赛(即一场比赛失败要退出比赛),最后产生一名冠军,问要举行几场? 分析: 要产生一名冠军,需要淘汰掉冠军以外的所有选手,即要淘汰99名选手,淘汰一名选手需要进行一场比赛,所以淘汰99名选手就需要99场比赛。 例8、高二 (1)班从7人中选4人组成4X100m接力赛其中甲乙二人不跑中间两棒,有多少种选法? 点评: 排列组合综合题的解法应遵循在分类的基础上, 先组合后排列的原则,分类与分步相结合,分类时做到不重复不遗漏. 练习: (徐州二检)从6人中选4人组成4X100m接力赛,其中甲跑第一棒,乙不跑最后一棒,有多少种选法? 分析: (一)直接法 (二)间接法48 例9、从正方体的6个面中任选3个,其中2个面不相邻的选法有多少种? 练习: 从正方体的8个顶点中选4个作四面体,则不同的四面体的个数为 练习: (南通一检)一个三位数,其十位上的数字既小于百位上的数字也小于个位上的数字(如735,414等),那么这样的三位数有285个. 练习1某人射击8枪,命中4枪,那么命中的4枪中恰有3 练习2—排8个座位,3人去坐,每人两边至少有一个空 练习3马路上有编号为1,2,3,……10的十只路灯,为节 约电而不影响照明,可以把其中的三只路灯关掉,但不能 同时关掉相邻的两只或三只,也不能关掉马路两端的灯, 问满足条件的关灯方法有多少种? (CJ) 练习4A、B、C、D、E五人站成一排,如果B必须站在A的右边,那么不同的站法有多少种? (A//2) (25—1=31) 练习5某电路有5个串联的电子元件,求发生故障的不同情形数目? 本节课,我们对有关排列组合的几种常见的基本解法加以复习巩固。 排列组合历来是学习中的难点,通过我们平时做的历届高考题,不难发现其应用题的特点是条件隐晦,难以挖掘,题目多变,解法独特,数字庞大,难以验证。 同学们只有对基本的几种解法熟练掌握,然后再本着先分类再分步的原则,把复杂的问题简单化,才能做到举一反三,触类旁通,进而为下一章概率的学习打下坚实的基础。
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- 关 键 词:
- 数学 课件 排列组合 复习