中考数学常考易错点 45 特殊的四边形.docx
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中考数学常考易错点45特殊的四边形
2019-2020年中考数学常考易错点4.5特殊的四边形
易错清单
1.矩形的性质.
【解析】 连接BE,设AB=3x,BC=5x,根据勾股定理求出AE=4x,DE=x,求出x的值,求出AB,BC,即可求出答案.
【答案】 如图,连接BE,则BE=BC.
设AB=3x,BC=5x,
∵ 四边形ABCD是矩形,
∴ AB=CD=3x,AD=BC=5x,∠A=90°.
由勾股定理,得AE=4x,
则DE=5x-4x=x,
【误区纠错】 本题考查了矩形的性质,勾股定理的应用,解此题的关键是求出x的值.
2.菱形面积的计算.
【例2】 (2014·甘肃兰州)如果菱形的两条对角线的长为a和b,且a,b满足
那么菱形的面积等于 .
【解析】 根据非负数的性质列式求出a,b,再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解.
【答案】 由题意,得a-1=0,b-4=0,
解得a=1,b=4,
∵ 菱形的两条对角线的长为a和b,
∴ 菱形的面积
【误区纠错】 本题考查了非负数的性质,菱形的性质,主要利用了菱形的面积等于对角线乘积的一半.
3.正方形的性质.
【例3】 (2014·广东梅州)如图,在正方形ABCD中,E是AB上一点,F是AD延长线上一点,且DF=BE.
(1)求证:
CE=CF;
(2)若点G在AD上,且∠GCE=45°,则GE=BE+GD成立吗?
为什么?
【解析】
(1)由DF=BE,四边形ABCD为正方形可证△CEB≌△CFD,从而证出CE=CF.
(2)由
(1)得,CE=CF,∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD即∠ECF=∠BCD=90°.又∠GCE=45°,所以可得∠GCE=∠GCF,故可证得△ECG≌△FCG,即EG=FG=GD+DF.又因为DF=BE,所以可证出GE=BE+GD成立.
【答案】
(1)在正方形ABCD中,
∵ BC=CD,∠B=∠CDF,BE=DF,
∴ △CBE≌△CDF(SAS).
∴ CE=CF.
(2)GE=BE+GD成立.理由如下:
∵ 由
(1),得△CBE≌△CDF,
∴ ∠BCE=∠DCF.
∴ ∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD,即∠ECF=∠BCD=90°,
又 ∠GCE=45°,
∴ ∠GCF=∠GCE=45°.
∵ CE=CF,∠GCE=∠GCF,GC=GC,
∴ △ECG≌△FCG(SAS).
∴ GE=GF.
∴ GE=DF+GD=BE+GD.
【误区纠错】 本题主要考查证两条线段相等往往转化为证明这两条线段所在三角形全等的思想,在第二问中也是考查了通过全等找出和GE相等的线段,从而证出关系是不是成立.
名师点拨
重点:
特殊平行四边形的性质和判定的应用.
难点:
以特殊平行四边形为对象,进行图形变换(如旋转、翻折等),以及将图形问题与函数、方程综合应用的问题.
提分策略
1.在特殊平行四边形的背景中,探究与三角形相关的问题.
以特殊平行四边形为原型,通过图形变换,构造出特殊三角形,提出与三角形相关的问题,解决此类问题的关键是适时添加辅助线,将四边形的问题转化为三角形的问题.
【例1】 如图,将矩形ABCD的四个角向内折起,恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH,EH=12厘米,EF=16厘米,则边AD的长是( ).
A.12厘米B.16厘米
C.20厘米D.28厘米
【解析】 本题考查的是翻折变换及勾股定理、全等三角形的判定与性质,解答此题的关键是作出辅助线,构造出全等三角形,再根据直角三角形及全等三角形的性质解答.我们先求出△EFH是直角三角形,再根据勾股定理求出FH=20,再利用全等三角形的性质解答即可.
【答案】 设斜线上两个点分别为P,Q,如图.
∵ 点P是点A对折过去的,
∴ ∠EPH为直角,△AEH≌△PEH.
∴ ∠HEA=∠HEP.
同理∠PEF=∠BEF.
∴ ∠PEH+∠PEF=90°.
∴ 四边形EFGH是矩形.
∴ △DHG≌△BFE,△HEF是直角三角形.
∴ BF=DH=PF.
∵ AH=HP,
∴ AD=HF.
∵ EH=12cm,EF=16cm,
∴ FH===20(cm).
∴ FH=AD=20cm.
故选C.
2.以三角形为基本图形,通过图形变换构造四边形问题.
以三角形为起点,经历图形变换形成较为复杂的图形,提出与四边形相关的问题,解决此类问题的关键是明确四边形的形成过程,从而根据四边形的边、角及对角线的特性去判定四边形的形状.
【例2】 如图,已知△ABC,按如下步骤作图:
①分别以A,C为圆心,以大于AC的长为半径在AC两边作弧,交于两点M,N;
②连接MN,分别交AB,AC于点D,O;
③过C作CE∥AB交MN于点E,连接AE,CD.
(1)求证:
四边形ADCE是菱形;
(2)当∠ACB=90°,BC=6,△ADC的周长为18时,求四边形ADCE的面积.
【解析】 此题主要考查了菱形的判定以及对角线垂直的四边形面积求法,根据已知得出△ADO∽△ABC,进而求出AO的长是解题关键.
(1)利用直线DE是线段AC的垂直平分线,得出AC⊥DE,即∠AOD=∠COE=90°,进而得出△AOD≌△COE,即可得出四边形ADCE是菱形.
(2)利用当∠ACB=90°时,OD∥BC,即有△ADO∽△ABC,即可得出AC和DE的长即可得出四边形ADCE的面积.
【答案】
(1)由题意,知
直线DE是线段AC的垂直平分线,
∴ AC⊥DE,即∠AOD=∠COE=90°,
且 AD=CD,AO=CO.
又 CE∥AB,
∴ ∠ADO=∠CEO.
∴ △AOD≌△COE.
∴ OD=OE.
∴ 四边形ADCE是菱形.
(2)当∠ACB=90°时,
∵ OD∥BC,
∴ △ADO∽△ABC.
又 BC=6,
∴ OD=3.
又 △ADC的周长为18,
∴ AD+AO=9,
即 AD=9-AO.
∴ AO=4.
∴ DE=6,AC=8.
3.利用菱形、正方形的对称性进行解题.
求线段和的最小值问题,就是利用轴对称的性质,解决的方法是先确定一点关于直线的对称点,连接另一点与对称点,即可得到线段和的最小值,而在“确定一点关于直线的对称点”时,就是利用了菱形、正方形的对称性.
【例3】 如图,菱形ABCD的两条对角线分别长6和8,点P是对角线AC上的一个动点,点M,N分别是边AB,BC的中点,则PM+PN的最小值是 .
【解析】 由对角线是6和8,知菱形边长为5,作M关于AC的对称点M',连接M'N交AC于点P,则此时PM+PN和最小为线段M'N的长,此时M'N=AB=5.
【答案】 5
4.与正方形相关的综合性问题.
由于正方形的特殊性质,可以借助正方形进行运动变化,从而使问题具有较强的探究性,也可以与方程、函数联系起来,即用方程或函数研究图形问题.
【例4】 已知,正方形ABCD中,∠MAN=45°,∠MAN绕点A顺时针旋转,它的两边分别交CB,DC(或它们的延长线)于点M,N,AH⊥MN于点H.
(1)如图
(1),当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时,请你直接写出AH与AB的数量关系:
;
(2)如图
(2),当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时,
(1)中发现的AH与AB的数量关系还成立吗?
如果不成立请写出理由,如果成立请证明;
(3)如图(3),已知∠MAN=45°,AH⊥MN于点H,且MH=2,NH=3,求AH的长.(可利用
(2)得到的结论)
【解析】
(1)由三角形全等可以证明AH=AB.
(2)延长CB至E,使BE=DN,证明△AEM≌△ANM,能得到AH=AB.
(3)分别沿AM,AN翻折△AMH和△ANH,得到△ABM和△AND,然后分别延长BM和DN交于点C,得正方形ABCD,设AH=x,则MC=x-2,NC=x-3,在Rt△MCN中,由勾股定理,解得x.
【答案】
(1)AH=AB.
(2)数量关系成立.如图(4),延长CB至E,使BE=DN.
∵ ABCD是正方形,
∴ AB=AD,∠D=∠ABE=90°.
∴ Rt△AEB≌Rt△AND.
∴ AE=AN,∠EAB=∠NAD.
∴ ∠EAM=∠NAM=45°.
∵ AM=AM,
∴ △AEM≌△ANM.
∵ AB,AH是△AEM和△ANM对应边上的高,
∴ AB=AH.
(4)
(5)
(3)如图(5)分别沿AM,AN翻折△AMH和△ANH,
得到△ABM和△AND.
∴ BM=2,DN=3,∠B=∠D=∠BAD=90°.
分别延长BM和DN交于点C,得正方形ABCD.
由
(2)可知,AH=AB=BC=CD=AD.
设AH=x,则MC=x-2,NC=x-3.
在Rt△MCN中,由勾股定理,得
MN2=MC2+NC2.
∴ 52=(x-2)2+(x-3)2.
解得x1=6,x2=-1(不符合题意,舍去).
∴ AH=6.
专项训练
一、选择题
1.(2014·江苏常熟二模)如图,已知菱形ABCD的对角线AC,BD的长分别为6cm,8cm,AE⊥BC于点E,则AE的长是( ).
(第1题)
(第2题)
2.(2014·广西梧州模拟)如图,矩形纸片ABCD中,AD=4,CD=3,折叠纸片使AB边与对角线AC重合,折痕为AE,记与点B重合的点为F,则△CEF的面积与矩形纸片ABCD的面积的比为( ).
3.(2013·江苏扬州弘扬中学二模)如图所示,如果将矩形纸沿虚线①对折后,沿虚线②剪开,剪出一个直角三角形,展开后得到一个等腰三角形.则展开后三角形的周长是( ).
(第3题)
A.2+B.2+2
C.12D.18
4.(2013·山西中考模拟六)在下列命题中,正确的是( ).
A.一组对边平行的四边形是平行四边形
B.有一个角是直角的四边形是矩形
C.有一组邻边相等的平行四边形是菱形
D.对角线互相垂直平分的四边形是正方形
二、填空题
5.(2014·广东深圳模拟)如图,点A在双曲线
上,点B在双曲线
上,且AB∥x轴,点C,D在x轴上,若四边形ABCD为矩形,且它的面积为3,则k= .
(第5题)
(第6题)
6.(2013·辽宁铁岭模拟)如图,直线a经过正方形ABCD的顶点A,分别过顶点B,D作DE⊥a于点E,BF⊥a于点F,若DE=4,BF=3,则EF的长为 .
三、解答题
7.(2014·安徽安庆一模)如图,n×n的正方形网格.请按图形的规律,探索以下问题:
(第7题) …
(1)第④个图形中阴影部分小正方形的个数为 ;
(2)是否存在阴影部分小正方形的个数是整个图形中小正方形的个数的
?
如果存在,是哪个图形,如果不存在,请说明你的理由.
参考答案与解析
1.D [解析]AC,BD的长分别为6cm,8cm,
2.B [解析]AF=AB=3,CF=AC-AF=5-3=2,
设BE=x,则CE=4-x,EF=x,
∴ x2+22=(4-x)2.
3.B [解析]可以自己动手折一下得出正确的答案.
4.C [解析]一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;有一个角是直角的平行四边形是矩形;对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形.
6.7 [解析]可证△ABF≌△DAE,则AF=DE,BF=AE,所以EF=AF+AE=3+4=7.
7.
(1)22个
(2)存在.
解得n1=10,n2=(舍去).
所以第⑩个图形存在.
2019-2020年中考数学常考易错点4.6梯形
易错清单
1.要明确等腰梯形与一般梯形的性质上的区别,如等腰梯形的对角线相等,而一般梯形则不具备此性质.
【例1】 (2014·湖南怀化)如图,已知等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC,AC与BD相交于点O,则下列判断不正确的是( ).
A.△ABC≌△DCB
B.△AOD≌△COB
C.△ABO≌△DCO
D.△ADB≌△DAC
【解析】 由等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC,可得∠ABC=∠DCB,∠BAD=∠CDA,易证得△ABC≌△DCB,△ADB≌△DAC;继而可证得∠ABO=∠DCO,则可证得△ABO≌△DCO.
【答案】 A.∵ 等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC,
∴ ∠ABC=∠DCB.
在△ABC和△DCB中,
∴ △ABC≌△DCB(SAS),故正确;
B.∵ AD∥BC,
∴ △AOD∽△COB.
∵ BC>AD,
∴ △AOD不全等于△COB,故错误;
C.∵ △ABC≌△DCB,
∴ ∠ACB=∠DBC.
∵ ∠ABC=∠DCB,
∴ ∠ABO=∠DCO.
在△ABO和△DCO中,
∴ △ABO≌△DCO(AAS).故正确;
D.∵ 等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC,
∴ ∠BAD=∠CDA.
在△ADB和△DAC中,
∴ △ADB≌△DAC(SAS).故正确.
故选B.
【误区纠错】 此题考查了等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质,注意掌握数形结合思想的应用.等腰梯形的对角线相等.
2.解决梯形问题时,添加辅助线要从构造基本图形着眼,不可随意强加条件.
【例2】 如图,梯形ABCD中,AD∥BC,AB=AD+BC,E是CD的中点.
求证:
EA,EB分别是∠A和∠B的平分线.
【解析】 本题延长线AE交BC延长线于点F时,试图构造等腰三角形“三线合一”的基本图形.要将条件“AB=AD+BC”转化为“AB=BF”.
【答案】 如图,延长AE交BC的延长线于点F.
∵ AD∥BC,
∴ ∠DAE=∠F.
又 ∠AED=∠FEC,DE=CE,
∴ △ADE≌△FCE.
∴ AD=CF,AE=EF.
又 AB=AD+BC,
∴ AB=BF.
∴ BE是等腰三角形BAF底边上中线.
∴ BE平分∠B.
同理可证AE平分∠A.
【误区纠错】 添加辅助线要从题目的条件入手,不可随意强加条件论证结论.所以做这类题要恰当的添加辅助线,不要自己加上一些想当然的条件,认真分析已知条件才能正确解答.
名师点拨
1.掌握梯形的概念和等腰梯形的性质及判定方法.
2.掌握解决梯形问题时,常见添加辅助线的方法,体会转化的思想方法.
提分策略
1.利用梯形的基本概念及性质解决问题,渗透转化的数学思想方法.
梯形问题通常通过添加辅助线将其转化为三角形或特殊四边形来解决.常用添加辅助线的方法有:
(1)平移一腰;
(2)过同一底上的两个顶点作高;(3)平移对角线;(4)延长两腰;(5)连接一腰并延长.
【例1】 我们知道“连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线”,“三角形的中位线平行于三角形的第三边,且等于第三边的一半”.类似地,我们把连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,点E,F分别是AB,CD的中点,那么EF就是梯形ABCD的中位线.通过观察、测量,猜想EF和AD,BC有怎样的位置和数量关系?
并证明你的结论.
【解析】 连接AF并延长交BC的延长线于点G,则△ADF≌△GCF,可以证得EF是△ABG的中位线,利用三角形的中位线定理即可证得.
【答案】 结论为:
EF∥AD∥BC,
.
证明如下:
连接AF并延长交BC的延长线于点G.
在△ADF和△GCF中,
∴ △ADF≌△GCF.
∴ AF=FG,AD=CG.
又 AE=EB,
∴ EF∥BG,EF=(BC+CG).
即EF∥AD∥BC,EF=(AD+BC).
2.利用等腰梯形和其他知识相结合解题.
利用等腰梯形的性质不仅可证明两直线平行,而且可证明两边相等或两个角相等.
【例2】 如图,在梯形ABCD中,已知AD∥BC,AB=CD,延长线段CB到点E,使BE=AD,连接AE,AC.
(1)求证:
△ABE≌△CDA;
(2)若∠DAC=40°,求∠EAC的度数.
【解析】
(1)由等腰梯形的性质可得∠ABE=∠CDA,从而得到两个三角形全等.
(2)由
(1)得到∠AEB=∠CAD,AE=AC,进而利用三角形的内角和求得.
【答案】
(1)在梯形ABCD中,∵ AD∥BC,AB=CD,
∴ ∠ABE=∠BAD,∠BAD=∠CDA.
∴ ∠ABE=∠CDA.
在△ABE和△CDA中,
∴ △ABE≌△CDA.
(2)由
(1)得∠AEB=∠CAD,AE=AC,
∴ ∠AEB=∠ACE.
∵ ∠DAC=40,
∴ ∠AEB=∠ACE=40°.
∴ ∠EAC=180°-40°-40°=100°.
3.解梯形与函数、方程等知识的综合运用问题.
【例3】 如图,等腰梯形ABCD放置在平面坐标系中,已知A(-2,0),B(6,0),D(0,3),反比例函数的图象经过点C.
(1)求点C的坐标和反比例函数的解析式;
(2)将等腰梯形ABCD向上平移2个单位后,点B是否落在双曲线上?
【解析】 本题是反比例函数与梯形的综合题,以及待定系数法求函数的解析式,利用数形结合解决此类问题,是非常有效的方法.
(1)点C的纵坐标与点D的纵坐标相同,过点C作CE⊥AB于点E,则△AOD≌△BEC,即可求得BE的长度,则OE的长度即可求得,即可求得点C的横坐标,然后利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式.
(2)将等腰梯形ABCD向上平移2个单位后,点B向上平移2个单位长度得到的点的坐标,代入函数解析式判断即可.
【答案】
(1)过点C作CE⊥AB于点E.
∵ 四边形ABCD是等腰梯形,
∴ AD=BC,DO=CE.
∴ Rt△AOD≌Rt△BEC.
∴ AO=BE=2.
∵ BO=6,
∴ DC=OE=4.
∴ C(4,3).
(2)将等腰梯形ABCD向上平移2个单位后得到梯形A'B'C'D'的点B'(6,2),
即点B'恰好落在双曲线上.
专项训练
一、选择题
(第1题)
1.(2014·黑龙江大庆模拟)如图,梯形ABCD中,AD∥BC,DC⊥BC,将梯形沿对角线BD折叠,点A恰好落在DC边上的点A'处,若∠A'BC=20°,则∠A'BD的度数为( ).
A.15°B.20°
C.25°D.30°
2.(2013·湖北荆州中考模拟)把长为8cm的矩形按虚线对折,按图中的虚线剪出一个直角梯形,打开得到一个等腰梯形,剪掉部分的面积为6cm2,则打开后梯形的周长是( ).
(第2题)
二、填空题
3.(2014·山西晋中模拟)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,EF是梯形的中位线,对角线AC交EF于点G,若BC=10cm,EF=8cm,则GF的长等于 cm.
(第3题)
4.(2014·陕西名校模拟)如图,梯形ABCD中,AB∥DC,∠ADC+∠BCD=90°,且DC=2AB,分别以DA,AB,BC为边向梯形外作正方形,其面积分别为S1,S2,S3,则S1,S2,S3之间的关系是 .
(第4题)
三、解答题
5.(2014·北京房山区二模)如图,梯形ABCD中,AD=BC,F为BC的中点,AB=2,∠A=120°,过点F作EF⊥BC交DC于点E,且EF=3,求DC的长.
(第5题)
6.(2013·上海浦东新区中考预测)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,BD平分∠ABC,∠BAD的平分线交BC于点E,连接ED.
(1)求证:
四边形ABED是菱形;
(2)当∠ABC=60°,EC=BE时,证明:
梯形ABCD是等腰梯形.
(第6题)
参考答案与解析
1.C [解析]因为∠A'BC=20°,则∠BA'C=70°,∠DA'B=110°,∠DAB=110°,∠ABC=70°,则∠A'BD=25°.
2.A [解析]剪掉部分的面积为6cm2,求得原矩形宽为2cm,所以打开后梯形的腰长是
cm,上底长2cm,下底长8cm.
3.3 [解析]由中位线定理得EG=5cm,EF=8cm,则GF=EF-EG=3cm.
4.S2=S1+S3 [解析]过A,B二点作AE⊥CD,BF⊥CD,则△ADE∽△CBF,
∴ DE×CF=AE2,再利用勾股定理以及CD=2AB即可求出S2=S1+S3.
5.连接BE,
∵ EF⊥BC,且平分BC,
∴ BE=CE.
∵ 梯形ABCD中,AD=BC,
∴ ∠D=∠C=60.
∴ △BEC是等边三角形.
∴ ∠BEC=60°.
∴ BE∥AD.
∴ ADEB为平行四边形.
∴ DE=AB=2.
∵ EF=3,∠C=60°,
∴ EC=2.
(第5题)
6.
(1)∵ AD∥BC,
∴ ∠ADB=∠DBC.
又 ∠ABD=∠DBC,
∴ ∠ABD=∠ADB.
∴ AB=AD.同理有AB=BE.
∴ AD=BE.
又 AD∥BE,
∴ 四边形ABED为平行四边形.
又 AB=BE,
∴ ▱ABED为菱形.
(2)∵ AB=BE,∠ABC=60°,
∴ △ABE为等边三角形.
∴ AB=AE.
又 AD=BE=EC,AD∥EC,
∴ 四边形AECD为平行四边形.
∴ AE=DC.
∴ AB=DC.
∴ 梯形ABCD是等腰梯形.
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