最新高中数学三角函数知识点及例题优秀名师资料.docx
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最新高中数学三角函数知识点及例题优秀名师资料
高中数学三角函数知识点及例题
聚优堂教育
2010高中数学竞赛标准讲义:
三角函数一、基础知识
定义1角,一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。
若旋转方向为逆时针方向,则角为正角,若旋转方向为顺时针方向,则角为负角,若不旋转则为零角。
角的大小是任意的。
定义2角度制,把一周角360等分,每一等价为一度,弧度制:
把等于半径长的圆弧所对的
L圆心角叫做一弧度。
360度=2π弧度。
若圆心角的弧长为L,则其弧度数的绝对值|α|=,其r中r是圆的半径。
定义3三角函数,在直角坐标平面内,把角α的顶点放在原点,始边与x轴的正半轴重合,在角的终边上任意取一个不同于原点的点P,设它的坐标为(x,y),到原点的距离为r,则正弦
yxyrx函数sinα=,余弦函数cosα=,正切函数tanα=,余切函数cotα=,正割函数secα=,rrxxy
r余割函数cscα=.y
111定理1同角三角函数的基本关系式,倒数关系:
tanα=,sinα=,cosα=;cot,csc,sec,
,sincos,,cot,商数关系:
tanα=;乘积关系:
tanα×cosα=sinα,cotα×sinα=cosα;cos,sin,
平方关系:
sin2α+cos2α=1,tan2α+1=sec2α,cot2α+1=csc2α.
tan(π+α)=tanα,cot(π+α)=cotα;定理2诱导公式(?
)sin(α+π)=-sinα,cos(π+α)=-cosα,
(?
)sin(-α)=-sinα,cos(-α)=cosα,tan(-α)=-tanα,cot(-α)=cotα;(?
)sin(π-α)=sinα,
,,cos(π-α)=-cosα,tan=(π-α)=-tanα,cot(π-α)=-cotα;(?
)sin=cosα,,,,,2,,
,,,,,cos=sinα,tan=cotα(奇变偶不变,符号看象限)。
,,,,,,,22,,,,
定理3正弦函数的性质,根据图象可得y=sinx(x?
R)的性质如下。
单调区间:
在区间上为
3,,,,,,,增函数,在区间上为减函数,最小正周期为2.奇2k,2k,2,,2,,,kk,,,,,,,,,2222,,,,
,偶数.有界性:
当且仅当x=2kx+时,y取最大值1,当且仅当x,=3-k时,y取最小值-1。
22
对称性:
直线x=k,+均为其对称轴,点(k,,0)均为其对称中心,值域为[-1,1]。
这里k2
?
Z.
定理4余弦函数的性质,根据图象可得y=cosx(x?
R)的性质。
单调区间:
在区间[2kπ,2kπ+π]上单调递减,在区间[2kπ-π,2kπ]上单调递增。
最小正周期为2π。
奇偶性:
偶函数。
对称性:
,,直线x=kπ均为其对称轴,点均为其对称中心。
有界性:
当且仅当x=2kπ时,取yk,,0,,,2,,
1;当且仅当x=2kπ-π时,取最小值y-1。
值域为[-1,1]。
这里k?
Z.最大值
,,定理5正切函数的性质:
由图象知奇函数y=tanx(xkπ+)在开区间(kπ-,kπ+)上为增函,222
数,最小正周期为π,值域为(-?
,+?
),点(kπ,0),(kπ+,0)均为其对称中心。
2
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定理6两角和与差的基本关系式:
cos(αβ)=cosαcosβsinαsinβ,sin(α,,,
,,(tantan)β)=sinαcosβcosαsinβ;tan(αβ)=.,,,,,(1tantan)
定理7和差化积与积化和差公式:
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,sinα+sinβ=2sincos,sinα-sinβ=2sincos,,,,,,,,,2222,,,,,,,,
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,cosα+cosβ=2coscos,cosα-cosβ=-2sinsin,,,,,,,,,2222,,,,,,,,
11sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)],cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)],22
11cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)],sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)].22
定理8倍角公式:
sin2α=2sinαcosα,cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α,
2tantan2α=.2,,(1tan)
(1cos)(1cos),,,,,,,,,,定理9半角公式:
sin,,=,cos=,,,,,2222,,,,
,,(1,cos)sin(1cos),,,,tan==,.,,,,,2(1cos)sin(1,cos,),,,
,,,,,22tan1,tan,,,,22,,,,,,sin,cos,定理10万能公式:
,,,,,,,221,tan1,tan,,,,22,,,,
,,2tan,,2,,,tan.,,,,21tan,,,2,,
22定理11辅助角公式:
如果a,b是实数且+ab0,则取始边在x轴正半轴,终边经过点(a,b),
ba的一个角为β,则sinβ=,cosβ=,对任意的角α.2222a,ba,b
22(a,b)asinα+bcosα=sin(α+β).
abc,,,2R定理12正弦定理:
在任意?
ABC中有,其中a,b,c分别是角A,sinAsinBsinC
B,C的对边,R为?
ABC外接圆半径。
222定理13余弦定理:
在任意?
ABC中有=ab+c-2bcosA,其中a,b分别是角,cA,B,C的对边。
定理14图象之间的关系:
y=sinx的图象经上下平移得y=sinx+k的图象;经左右平移得
1,,0,,xy=sin(x+)的图象(相位变换);纵坐标不变,横坐标变为原来的,得到y=sin()的,
图象(周期变换);横坐标不变,纵坐标变为原来的A倍,得到y=Asinx的图象(振幅变换);
,,y=Asin(x+)(>0)的图象(周期变换);横坐标不变,纵坐标变为原来的A倍,得到
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y=Asinx的图象(振幅变换);y=Asin(x+)(,>0)(|A|叫作振幅)的图象向右平移个单位,,,,,得到y=Asinx的图象。
,,,,,定义4函数y=sinx的反函数叫反正弦函数,记作y=arcsinx(x?
[-1,1]),函数,,,,,x,,,,22,,,,
y=cosx(x?
[0,π])的反函数叫反余弦函数,记作y=arccosx(x?
[-1,1]).函数y=tanx,,,,,,的反函数叫反正切函数。
记作y=arctanx(x?
[-?
+?
]).y=cosx(x?
[0,π])的反函,,,,,x,,,,22,,,,
数称为反余切函数,记作y=arccotx(x?
[-?
+?
]).narcs定理15三角方程的解集,如果a?
(-1,1),方程sinx=a的解集是{x|x=nπ+(-1)ina,n?
Z}。
方程cosx=a的解集是{x|x=2kxarccosa,k?
Z}.如果a?
R,方程tanx=a的解集,
,{x|x=kπ+arctana,k?
Z}。
恒等式:
arcsina+arcco;saarcta=na+arccota=.是22
,,定理16若,则sinx 二、方法与例题 1(结合图象解题。 例1求方程sinx=lg|x|的解的个数。 【解】在同一坐标系内画出函数y=sinx与y=lg|x|的图象(见图),由图象可知两者有6个交 点,故方程有6个解。 2(三角函数性质的应用。 例2设x? (0,π),试比较cos(sinx)与sin(cosx)的大小。 ,,,,,【解】若,则cosx? 1且cosx>-1,所以cos,,,,0x,,,x,,,,22,,,, 所以sin(cosx)? 0,又0 1,所以cos(sinx)>0, 所以cos(sinx)>sin(cosx). ,,若,则因为si,0,,x,,2,, ,,,,,22,,22nx+cosx=(sinxcos+sincosx)=sin(x+)? <,2sinx,cosx,2,,444222,, ,所以0 所以cos(sinx)>cos(-cosx)=sin(cosx).2 综上,当x? (0,π)时,总有cos(sinx) xx,,,,coscos,,,,,,,2.例3已知α,β为锐角,且x? (α+β-)>0,求证: ,,,,,2sinsin,,,, ,,【证明】若α+β>,则x>0,由α>-β>0得cosα ,cos,cos所以0<<1,又sinα>sin(-β)=cosβ,所以0<<1,2sin,sin, 聚优堂教育 x0x0,,,,,,,,coscoscoscos,,,,所以,,,,,,,,2.,,,,,,,,,,,,sinsinsinsin,,,,,,,, ,,,若α+β<,则x<0,由0<α<-β<得cosα>cos(-β)=sinβ>0,2222 ,cos,cos所以>1。 又0 x0x0,,,,,,,,coscoscoscos,,,,,,,,,,,,2所以,得证。 ,,,,,,,,,,,sinsinsinsin,,,,,,,, 注: 以上两例用到了三角函数的单调性和有界性及辅助角公式,值得注意的是角的讨论。 3(最小正周期的确定。 例4求函数y=sin(2cos|x|)的最小正周期。 【解】首先,T=2π是函数的周期(事实上,因为cos(-x)=cosx,所以co|x|=cosx);其次, 当且仅当x=kπ+时,y=0(因为|2cosx|? 2<π),2 所以若最小正周期为T,则T=mπ,m? N,又sin(2cos0)=sin2sin(2cosπ),所以T=2π。 00+0 4(三角最值问题。 2例5已知函数y=sinx+,求函数的最大值与最小值。 1,cosx 3,,,2【解法一】令sinx=,2cos,1cos2sin0,,x,,,,,,,44,, 2cos,2sin,2sin(,).则有y=,,,4 ,,3,0,,,,,,,因为,所以,4424 0,sin(,)所以? 1,,4 3,,,,所以当,即x=2kπ-(k? Z)时,y=0,min42 ,,当,即x=2kπ+(k? Z)时,y=2.,max42 222【解法二】因为y=sinx+1,cosx,2(sinx,1,cosx), 222=2(因为(a+b)? 2(a+b)), 221,cosx1,cosx且|sinx|? 1? ,所以0? sinx+? 2, 21,cosx所以当=sinx,即x=2kπ+(k? Z)时,y=2,max2 21,cosx当=-sinx,即x=2kπ-(k? Z)时,y=0。 min2 ,(1,cos,)例6设0<<π,求sin的最大值。 2 ,,,,0,,【解】因为0<<π,所以,所以sin>0,cos>0.2222 聚优堂教育 ,,,,,222222sincoscos,所以sin(1+cos)=2sin? cos=? ,,222222 3,,,,,2222sin,cos,cos,,1643222,,=,.2,2793,,,,,, ,,22,4322,,当且仅当2sin=cos,即tan=,=2arctan时,sin(1+cos)取得最大值。 2222229 例7若A,B,C为? ABC三个内角,试求sinA+sinB+sinC的最大值。 A,BA,BA,B,2sin【解】因为sinA+sinB=2sincos,? 222 ,,C,C,C,,333sinC+sin,? 2sincos2sin,,3222 ,,C,A,B,C,A,B,C,A,B,333又因为,? sinsin2sincos2sin,,,22443 ,由? ,? ,? 得sinA+sinB+sinC+sin? 4sin,33 33所以sinA+sinB+sinC? 3sin=,32 33当A=B=C=时,(sinA+sinB+sinC)=.max32 注: 三角函数的有界性、|sinx|? 1、|cosx|? 1、和差化积与积化和差公式、均值不等式、柯西 不等式、函数的单调性等是解三角最值的常用手段。 5(换元法的使用。 sinxcosxy,例8求的值域。 1,sinx,cosx ,22,,,【解】设t=sinx+cosx=2sinx,cosx,2sin(x,).,,224,, ,1,sin(x,),1,因为4 2,t,2.所以 又因为t2=1+2sinxcosx, 2x,12t,1t,12y,,所以sinxcosx=,所以,,t122 2,12,1,y,.所以22 t,1,,1因为t-1,所以,所以y-1.,,2 聚优堂教育 ,,,,2,12,1,,所以函数值域为y,,,,1: 1,.,,,,22,,,, 1,2,1a,n,1例9已知a=1,a=(n? N),求证: a>.0n+nn,22an,1 ,,【证明】由题设an>0,令a=tanan,? a,则0,nn,,2,, 21,tana,1seca,11,cosaan,1n,1n,1n,1a=,,,tan,tana.nn2tanatanasinan,1n,1n,1 na1,1,,,,n,1因为,a? ,所以a=,所以a=a0,a.nnn,,,,n,102222,,,, n,,1,,又因为a0=tana1=1,所以=a,所以? 。 a,0,,n442,, ,,又因为当0 换元法的关键是保持换元前后变量取值范围的一致性。 ,,另外当x? 时,有tanx>x>sinx,这是个熟知的结论,暂时不证明,学完导数后,证明是0,,,2,, 很容易的。 6(图象变换: y=sinx(x? R)与y=Asin(x+)(A,,>0).,,,,由y=sinx的图象向左平移,个单位,然后保持横坐标不变,纵坐标变为原来的A倍,然后再 1保持纵坐标不变,横坐标变为原来的,得到y=Asin(x+,)的图象;也可以由y=sinx的图象,, 1先保持横坐标不变,纵坐标变为原来的A倍,再保持纵坐标不变,横坐标变为,原来的, ,最后向左平移个单位,得到y=Asin(x+)的图象。 , ,例10例10已知f(x)=sin(x+)(>0,0? ? π)是R上的偶函数,其图象关于点,, 3,,,,,,,对称,且在区间上是单调函数,求和,的值。 M,00,,,,,24,,,, ,,【解】由f(x)是偶函数,所以f(-x)=f(x),所以sin(,+)=sin(-,x+),所以cossinx=0,对 任意x? R成立。 ,,又0? ? π,解得=,2 333,,,f(,,x),f(,,x)因为f(x)图象关于对称,所以=0。 M,0,,444,, 33,,,,f(,)取x=0,得=0,所以sin,,0.,,,442,, 3,,2,k,,所以,,(k? Z),即=(2k+1)(k? Z).423 聚优堂教育 ,又>0,取k=0时,此时f(x)=sin(2x+)在[0,]上是减函数;,22 ,取k=1时,=2,此时f(x)=sin(2x+)在[0,]上是减函数;,22 ,10取k=2时,? ,此时f(x)=sin(x+)在[0,]上不是单调函数,,,322 2综上,=或2。 3 7(三角公式的应用。 ,553,,,,例11已知sin(α-β)=,sin(α+β)=-,且α-β? ,α+β? ,求sin2α,cos2β的,,,2,,,,,131322,,,,值。 12,,,2【解】因为α-β? ,所以cos(α-β)=-1,sin(,,,),,.,,,,132,, 12,3,,2又因为α+β? ,所以cos(α+β)=1,sin(,,,),.,2,,,132,, 120所以sin2α=sin[(α+β)+(α-β)]=sin(α+β)cos(α-β)+cos(α+β)sin(α-β)=,169cos2β=cos[(α+β)-(α-β)]=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β)=-1. 112A,C,,,cos例12已知? ABC的三个内角A,B,成等差数C列,且,试求2cosAcosCcosB 的值。 A,C00【解】因为A=120-C,所以cos=cos(60-C),2 01111cos(120,C),cosC,,,,又由于00cosAcosCcosCcos(120,C)cosCcos(120,C) 0002cos60cos(60,C)2cos(60,C),,,22=,11000[cos120,cos(120,2C)]cos(120,2C),22 A,CA,C242cos,2cos,32所以=0。 22 A,C2A,C32cos,cos,,解得或。 2228 A,C2A,Ccoscos,又>0,所以。 222 : : 例13求证: tan20+4cos70. : sin20: : : 【解】tan20+4cos70=+4sin20: cos20 : : : : : sin20,4sin20cos20sin20,2sin40,,: : cos20cos20: : : : : : sin20,sin40,sin402sin30cos10,sin40,,: : cos20cos20 聚优堂教育 : : : : sin80,sin402sin60cos20,,,3.: : cos20cos20 三、基础训练题 1(已知锐角x的终边上一点A的坐标为(2sin3,-2cos3),则x的弧度数为___________。 1,cosx1,cosx2(适合-2cscx的角的集合为___________。 ,,1,cosx1,cosx 3(给出下列命题: (1)若αβ,则sinαsinβ; (2)若sinαsinβ,则αβ;(3)若sin,,,,α>0,则α为第一或第二象限角;(4)若α为第一或第二象限角,则sinα>0.上述四个命题 中,正确的命题有__________个。 14(已知sinx+cosx=(x? (0,π)),则cotx=___________。 5 ,,,,,5(简谐振动x=Asin和x=Bsin叠加后得到的合振动是x=___________。 t,t,,,,,,,1236,,,, ,,,,,,,6(已知3sinx-4cosx=5sin(x+)=5sin(x-)=5cos(x+)=5cos(x-),则,,,分别是12341234 ________象限角。 第 7(满足sin(sinx+x)=cos(cosx-x)的锐角x共有________个。 11113,,cosx,,x,2,8(已知,则=___________。 22222 : : : cos40,sin50(1,3tan10)9(=___________。 : : sin701,cos40 : : : : 10(cot15cos25cot35cot85=___________。 15,11(已知α,β? (0,π),tan,sin(α+β)=,求cosβ的值。 2213 m,2sinx,,,12(已知函数f(x)=在区间上单调递减,试求实数m的取值范围。 0,,,cosx2,, 四、高考水平训练题 1(已知一扇形中心角是a,所在圆半径为R,若其周长为定值c(c>0),当扇形面积最大时, a=__________. 2.函数f(x)=2sinx(sinx+cosx)的单调递减区间是__________. 2,sinxy,3.函数的值域为__________.2,cosx ,,4.方程=0的实根个数为__________.2sin2x,,lgx,,6,, ,,,5.若sina+cosa=tana,a,则__________a(填大小关系).,0,,,32,, : : : : 6.(1+tan1)(1+tan2)…(1+tan44)(1+tan45)=__________. 7.若0 x<且tanx=3tany,则x-y的最大值为__________.2 : : : sin7,cos15,sin88.=__________.: : : cos7,sin15sin8 2345cos,,,,9.? cos? cos? cos? cos=__________.1111111111 聚优堂教育 : : : : 10.cos271+cos71cos49+cos249=__________. 11.解方程: sinx+2sin2x=3+sin3x. 12.求满足sin(x+sinx)=cos(x-cosx)的所有锐角x. k,,,Asinx,,,53,,1,,13.已知f(x)=(kA0,k? Z,且A? R), (1)试求f(x)的最大值和最小值; (2),,,2,, 若A>0,k=-1,求f(x)的单调区间;(3)试求最小正整数k,使得当x在任意两个整数(包括整 数本身)间变化时,函数f(x)至少取得一次最大值和一次最小值。 五、联赛一试水平训练题 (一) 1(若x,y? R,则z=cosx2+cosy2-cosxy的取值范围是____________. x,22(已知圆x2+y=k2至少盖住函数f(x)=的一个最大值点与一个最小值点,则实数k的3sink 取值范围是____________. ,,,3(f()=5+8cos+4cos2+cos3的最小值为____________. 34(方程sinx+cosx+a=0在(0,2π)内有相异两实根α,β,则α+β=____________. 5(函数f(x)=|tanx|+|cotx|的单调递增区间是____________. aaa6(设sina>0>cosa,且sin>cos,则的取值范围是____________.333 7(方程tan5x+tan3x=0在[0,π]中有__________个解. 8(若x,y? R,则M=cosx+cosy+2cos(x+y)的最小值为____________. m+1,,,,9(若0<<,m? N,比较大小: (2m+1)sin(1-sin)__________1-sin2m.+2 : : 10(cot70+4cos70=____________. sinx,siny,a, cosx,cosy,b11.在方程组中消去x,y,求出关于a,b,的关系式c。 cotx,coty,c, ,,12(已知α,β,γ,且cos2α+cos2β+cos2γ=1,求tanαtanβtanγ的最小值。 0,,,2,, ,xsin3,ysin,a, ,,xsin3,ysin,a13(关于x,y的方程组有唯一一组解,且sinα,sinβ,sinγ互不相等,求, xsin3,,ysin,,a, sinα+sinβ+sinγ的值。 ,,14(求满足等式sinxy=sinx
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