鲁教版数学七年级下册 三角形的有关证明 同步学案.docx
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鲁教版数学七年级下册三角形的有关证明同步学案
4.2图形的全等
「引入课」全等三角形的引入
视频助学学习数学视频【全等三角形的引入】
「概念课」全等的性质
学习目标
¨了解全等形及全等三角形的概念
¨理解全等三角形的性质,能用符号“≌”正确的表示两个三角形全等
¨能识别全等三角形的对应角、对应边
视频助学请.先.思.考.引.导.问.题.,再.看.视.频.【全等的性质】,然后完成引导问题下方的摘要填空.引导问题1什么是全等形和全等三角形?
如何识别全等三角形的对应关系?
(00:
00-01:
52)
1.全等形:
能够的两个图形叫做全等形.
2.全等三角形:
能够的两个叫做全等三角形.两个全等三角形形状
,大小.
3.
如图,全等三角形△ABC和△DEF中,找出它们的对应关系:
对应点:
点A和点,点B和点,
点C和点.
对应边:
边AB和边,边AC和边
,边BC和边.
对应角:
∠A和∠,∠B和∠,
∠C和∠.
引导问题2怎么表示全等关系?
(01:
52-05:
15)
4.
如图,△ABC和△DEF全等,表示三角形全等关系的过程可分为三步:
①找出
②确定
③表示全等关系:
△ABC△
5.
如图,与△ACB全等的三角形,表示正确的是?
A.△DFE
B.
△DEF
C.
△EFD
6.
如图,△OCA和△OBD全等,那么全等关系可以写成:
.
引导问题3全等三角形的性质有哪些?
(05:
15-06:
24)
7.全等三角形的性质:
全等三角形的对应边,全等三角形的对应角.
8.如图,△ABC≌△CDA,AC=7cm,AB=5cm,BC=8cm,则AD的长是
.
A.7cmB.5cm
C.8cmD.6cm
线上练习完成视频后相应的【专项练习】.
提出疑问预习过程中还有什么疑问没有解决呢?
请你将有疑问的问题记录下来:
判定全等的两种方法
「概念课」判定定理SSS
学习目标
¨掌握三角形全等的判定方法“SSS”
视频助学请.先.思.考.引.导.问.题.,再.看.视.频.【判定定理SSS】,然后完成引导问题下方的摘要填空.引导问题1判定全等三角形至少需要几个条件?
(00:
00-03:
08)
1.三个角都相等的两个三角形(“一定”或“不一定”)是全等三角形.
2.判定两个三角形全等至少需要个条件.
引导问题2什么是全等三角形的判定定理“SSS”?
(03:
08-05:
35)
1.全等三角形的判定定理“SSS”:
分别相等的两个三角形全等,并可以简写成“”或“”.如图所示,在△ABC和△DEF中,如果满足:
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
那么,就可以判定:
△ABC≌△DEF().
线上练习完成视频后相应的【专项练习】.
提出疑问预习过程中还有什么疑问没有解决呢?
请你将有疑问的问题记录下来:
「概念课」判定定理SAS
学习目标
¨掌握三角形全等的判定方法“SAS”
¨了解“SSA”不能用于判定三角形全等
视频助学请.先.思.考.引.导.问.题.,再.看.视.频.【判定定理SAS】,然后完成引导问题下方的摘要填空.引导问题1在三角形中,从边与角的位置来区分,选取两边一角的情况有多少种?
(00:
00-02:
13)
1.在三角形中,选取两边一角的情况有种,分别是边角边和.
2.
下面哪幅图表示的是“边角边”的情况()?
A.AB.B
引导问题2什么是全等三角形的判定定理“SAS”?
(02:
13-07:
11)
1.全等三角形的判定定理SAS:
两边和它们的分别相等的两个三角形全等,并可以简写成“”或“”.
如图所示,在△ABC和△DEF中,如果满足:
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
那么,就可以判定:
△ABC≌△DEF().
2.
如图,已知AB=AC,AD=AE,求证:
△ABE≌△ACD.证明:
在△ABE与△ACD中
⎧AB=
⎨
⎪∠A=
⎩
⎪AE=
∴
引导问题3“SSA”可以用来判定两个三角形全等吗?
(04:
18-06:
00)
选取两边一角(该角是其中一边的对角)可以判定两个三角形全等吗?
(“可以”
或
“不可以”).你能在下面的方框中画出反例来吗?
线上练习完成视频后相应的【专项练习】.
提出疑问预习过程中还有什么疑问没有解决呢?
请你将有疑问的问题记录下来:
判定全等的新招式
「概念课」判定定理ASA
学习目标
¨掌握三角形全等的判定方法“ASA”
视频助学请.先.思.考.引.导.问.题.,再.看.视.频.【判定定理ASA】,然后完成引导问题下方的摘要填空.引导问题1什么是全等三角形的判定定理“ASA”?
(00:
00-05:
13)
1.全等三角形的判定定理“ASA”:
两角和它们的分别相等的两个三角形全等,并可以简写成“”或“”.
如图所示,在△ABC和△DEF中,如果满足:
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
那么,就可以判定:
△ABC≌△DEF().
线上练习完成视频后相应的【专项练习】.
提出疑问预习过程中还有什么疑问没有解决呢?
请你将有疑问的问题记录下来:
「概念课」判定定理AAS
学习目标
¨掌握三角形全等的判定方法“AAS”
视频助学请.先.思.考.引.导.问.题.,再.看.视.频.【判定定理AAS】,然后完成引导问题下方的摘要填空.引导问题1根据已学的判定定理,解决以下这个问题?
(00:
00-03:
30)
1.目前为止,我们已经学过了3种全等三角形的判定定理,分别是,,
.
2.在△ABC和△A'B'C'中,∠A=∠A',AB=A'B',∠C=∠C',证明:
△ABC≌△A'B'C'.
证明:
在△ABC中,∠B=
在△A'B'C'中,∠B'=
Q∠A=∠A',∠C=∠C'
∴
在△ABC与△A'B'C'中
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
∴△ABC≌△A'B'C'().
引导问题2什么是全等三角形的判定定理“AAS”?
(03:
30-06:
24)
1.全等三角形的判定定理“AAS”:
两角且其中一组角的分别相等的两个三角形全等,并可以简写成“”或“”.
如图所示,在△ABC和△DEF中,如果满足:
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
那么,就可以判定:
△ABC≌△DEF.
2.如图,已知,AB∥FC,DE=FE,求证:
△ADE≌△CFE.
线上练习完成视频后相应的【专项练习】.
提出疑问预习过程中还有什么疑问没有解决呢?
请你将有疑问的问题记录下来:
学习目标
判定全等三角形
「解题课」判断全等三角形
¨掌握三角形全等的五种常用判定方法
拔高练习不.看.视.频.先.试.试.!
.做完再看数学视频【判断全等三角形】讲题.
1.下列能使△ABC≌△DEF的条件有()组?
攻略区分已知条件
根据边角的位置关系采用相应的判定定理
SSA不能判定全等
①AB=DE,BC=EF,AC=DF
②AB=DE,∠B=∠E,BC=EF
③∠B=∠E,BC=EF,∠C=∠F
④AB=DE,AC=DF,∠B=∠E
A.一组B.两组C.三组D.四组
2.
攻略区分已知条件
根据边角的位置关系采用相应的判定定理
SSA不能判定全等
如图,∠B=∠DEF,AB=DE,要说明△ABC≌△DEF:
①若以“ASA”为依据,还缺条件.
②若以“AAS”为依据,还缺条件.
③若以“SAS”为依据,还缺条件.
3.
攻略区分已知条件
根据边角的位置关系采用相应的判定定理
SSA不能判定全等
如图,已知∠ADB=∠ADC=90o,若要使△ABD≌△ACD,那么还需要一个条件.
这个条件可以是,理由是:
.这个条件也可以是,理由是:
.这个条件还可以是,理由是:
.
检查梳理看视频【判断全等三角形】,核.对.拔.高.练.习.标.准.答.案.并.订.正.,最后完整梳理一遍解题过程.
线上练习完成视频后相应的【专项练习】.
能力目标
「解题课」证明全等三角形
¨能够转化间接条件证明全等三角形
¨掌握证明全等三角形的标准过程
拔高练习不.看.视.频.先.试.试.!
.做完再看数学视频【证明全等三角形】讲题.
1.
攻略全等五行
如图,∠BAD=∠CAD,∠B=∠C.求证:
△ABD≌△ACD.
2.如图,AB=DB,CB=EB,∠1=∠2.求证:
△ABC≌△DBE.
攻略转化间接条件全等五行
3.已知:
A、B、C、D在同一直线上,AB=CD,CF=BE,∠A=90︒,
DE∥AF.求证:
△AFC≌△DEB.
4.如图,∠ABC=∠DCB,BD、CA分别是∠ABC、
∠DCB的平分线,求证:
AB=DC.
检查梳理看视频【证明全等三角形】,核.对.拔.高.练.习.标.准.答.案.并.订.正.,最后完整梳理一遍解题过程.
线上练习完成视频后相应的【专项练习】.
能力目标
「解题课」倍长中线大法
¨掌握倍长中线辅助线证明全等三角形的方法
拔高练习不.看.视.频.先.试.试.!
.做完再看数学视频【倍长中线大法】讲题.
1.如图,△ABC中,AD为边BC上的中线,求证:
AB-AC<2AD 攻略构造全等 【倍长中线】倍长中线 连接线段证全等 2.如图,AD是△ABC的中线,E、F分别在AB、AC上,且DE⊥DF,连接 EF,判断BE+CF与EF的大小关系并证明. 攻略构造全等 【倍长中线】倍长中线 (过中点线段)连接线段 证全等 检查梳理看视频【倍长中线大法】,核.对.拔.高.练.习.标.准.答.案.并.订.正.,最后完整梳理一遍解题过程. 线上练习完成视频后相应的【专项练习】. 等腰三角形 「概念课」等腰三角形 学习目标 ¨了解并掌握等腰三角形的概念及定义 ¨理解并掌握等腰三角形的性质 视频助学请.先.思.考.引.导.问.题.,再.看.视.频.【等腰三角形】后完成引导问题下方的摘要填空.引导问题1什么是等腰三角形? (00: 00-00: 45) 1.定义: 有相等的三角形是等腰三角形. 两相等的边叫,第三条边叫. 两腰所夹的角叫,腰与底边所夹的角叫.如右图中,AB、AC为三角形的,BC为; ∠A为,∠B、∠C为. 引导问题2等腰三角形有何性质? (00: 45-05: 09) 2. 性质1: 等腰三角形的两腰,即右图中 =; 性质2: 等腰三角形是图形,如右图中,对称轴为; 性质3: 等腰三角形的两个底角,即右图中 =; 性质4: 等腰三角形底边上的、和 相互重合(). 线上练习完成视频后相应的【专项练习】. 提出疑问预习过程中还有什么疑问没有解决呢? 请你将有疑问的问题记录下来: 学习目标 ¨掌握等腰三角形的判定方法 「概念课」等腰三角形的判定 视频助学请.先.思.考.引.导.问.题.,再.看.视.频.【等腰三角形的判定】后完成引导问题下方的摘要填空.引导问题1等腰三角形有何判定方法? (00: 00-02: 20) 1.定理1: 有两边的三角形是等腰三角形 证明: . 2.定理2: 对等边. 已知,在△ABC中,∠B=∠C.求证: △ABC是等腰三角形. 证明: 作AD⊥BC于D ∴∠ADB==90︒ 在△ADB与△ADC中 ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ ∴△ADB≌△ADC(AAS) ∴ ∴△ABC是等腰三角形 引导问题2三角形三线合一能否判定三角形是等腰三角形? (02: 20-05: 34) 3.三角形三线合一(能/不能)直接判定三角形是等腰三角形. 4. 由底边上的高和底边上的中线重合求证三角形是等腰三角形.已知: 在△ABC中,AD⊥BC,BD=DC. 求证: △ABC是等腰三角形.证明: 由AD⊥BC且BD=DC ∴AD是线段BC的 ∴ ∴△ABC是等腰三角形 1.已知底边上的高和顶角角平分线重合求证三角形是等腰三角形. 已知: 在△ABC中,AD⊥BC,且∠BAD=∠CAD.求证: △ABC是等腰三角形. 证明: ∵AD⊥BC, ∴∠ADB=∠ADC=90︒.又∠BAD=∠CAD. ∴∠B=∠C. ∴(依据: ). ∴△ABC是等腰三角形. 2. 已知底边上的中线和顶角角平分线重合求证三角形是等腰三角形.已知: 在△ABC中,BD=DC,且∠BAD=∠CAD. 求证: △ABC是等腰三角形. 证明: 延长AD至E,使DE=AD,连接BE.在△ADC与△EDB中 ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ ∴△ADC≌△EDB(SAS) ∴AC=,=∠E 又∵∠BAD=∠CAD ∴∠BAD=∠E ∴=BE(等角对等边) ∴AB=AC ∴△ABC是等腰三角形. 线上练习完成视频后相应的【专项练习】. 提出疑问预习过程中还有什么疑问没有解决呢? 请你将有疑问的问题记录下来: 能力目标 ¨巧用等角关系标角 等腰三角形与方程思想 「解题课」多个等腰三角形求角度 拔高练习不.看.视.频.先.试.试.! .做完再看数学视频【多个等腰三角形求角度】讲题. 1. 攻略 标角法 1.借助条件标注已知角 如图,已知∠A=15︒,AB=BC=CD=DE=EF,求∠FEN的度数. 2.如图,CA=CB,CD=AD,AD平分∠BAC,求∠C的度数. 3. 攻略 标角法 1.借助条件标注已知角 2.用相同字母标记相等的角 3.找目标角和已知 角的数量关系 如图,在△ABC中,AB=AC,点D在底边BC上, AE=AD,连DE,求∠BAD与∠CDE的数量关系. 检查梳理看视频【多个等腰三角形求角度】,核.对.拔.高.练.习.标.准.答.案.并.订.正.,最后完整梳理一遍解题过程. 线上练习完成视频后相应的【专项练习】. 等边三角形 「概念课」等边三角形 学习目标 ¨了解并掌握等边三角形的概念及定义 ¨理解并掌握等边三角形的性质 视频助学请.先.思.考.引.导.问.题.,再.看.视.频.【等边三角形】后完成引导问题下方的摘要填空.引导问题1什么是等边三角形? (00: 00-01: 36) 1.定义: 有相等的三角形是等边三角形.是一种特殊的三角形.等边三 角形是轴对称图形,有条对称轴. 引导问题2等边三角形有何性质? (01: 36-05: 29) 2. 性质1: 等边三角形的三条边,即右图中 ==; 性质2: 等边三角形的三个内角,并且每个角都等于︒; 性质3: 等边三角形的每一条边的、和 相互重合(三线合一). 3. 已知AD是等边△ABC的角平分线,AC=2,求CD的长. 4.性质: 直角三角形中30︒角所对的直角边等于斜边的一半.证明: 线上练习完成视频后相应的【专项练习】. 提出疑问预习过程中还有什么疑问没有解决呢? 请你将有疑问的问题记录下来: 学习目标 ¨掌握等边三角形的判定方法 「概念课」等边三角形的判定 视频助学请.先.思.考.引.导.问.题.,再.看.视.频.【等边三角形的判定】后完成引导问题下方的摘要填空.引导问题1等边三角形有何判定定理? (00: 00-04: 06) 1.定理1: 有相等的三角形是等边三角形 2. 定理2: 个角相等的三角形是等边三角形.已知,在△ABC中,∠A=∠B=∠C. 求证: △ABC是等边三角形.证明: ∵∠B=∠C ∴AB=(等角对等边) ∵∠A=∠B ∴=(依据: ) ∴AB=BC=AC ∴△ABC是等边三角形. 3.定理3: 有个角是︒的等腰三角形是等边三角形 已知: 在等腰△ABC中,AB=AC,有一个内角是60︒.求证: △ABC是等边三角形. 证明: ∵AB=AC ∴∠B=∠C(依据: ) ○1若顶角∠A=60︒ ∵∠A+∠B+∠C=180︒ (依据: ) ∴∠A+2∠B=180︒ ∴∠B=180︒-60︒=60︒ 2 ∴∠A=∠B=∠C=60︒ ∴△ABC是等边三角形(依据: ). ○2若底角∠B=60︒ ∴∠C=∠B=60︒ ∵∠A+∠B+∠C=180︒ ∴ ∴∠A=60︒ ∴ ∴△ABC是等边三角形(依据: ). 线上练习完成视频后相应的【专项练习】. 提出疑问预习过程中还有什么疑问没有解决呢? 请你将有疑问的问题记录下来: 等边三角形证明题 「解题课」等边三角形综合应用 能力目标 ¨利用等边三角形证全等 ¨等边三角形的三种判定方法 拔高练习不.看.视.频.先.试.试.! .做完再看数学视频【等边三角形综合应用】讲题. 1.如图,在等边△ABC中,点D、E分别在边BC、AB上,且BD=AE,AD与CE相交于点 F. (1)求证: AD=CE; (2)求∠DFC的度数. 2.如图,在等边△ABC的三边上分别取点D、E、F,使AD=BE=CF (1)试说明△DEF是等边三角形; (2)连接AE、CD、BF,两两相交于点P、Q、R,则△PQR为何种三角形? 试说明理由. 3.如图,点P在等边△ABC内,点D在△ABC外,B、P、D在同一直线上,∠ABP=∠ACD, BP=CD. 求证: △APD为等边三角形. 攻略 题目中只要还有相等条件,就可以结合等边三角形去找 全等 检查梳理看视频【等边三角形综合应用】,核.对.拔.高.练.习.标.准.答.案.并.订.正.,最后完整梳理一遍解题过程. 线上练习完成视频后相应的【专项练习】. 等边三角形手牵手 「解题课」等边三角形组图(上) 能力目标 ¨共顶点等边三角形组图中的六大结论 拔高练习不.看.视.频.先.试.试.! .做完再看数学视频【等边三角形组图(上)】讲题. 1.如图,点C是线段AB上除点A、B外的任意一点,分别以AC、BC为边,在线段AB的同旁作等边△ACD和等边△BCE,连接AE交DC于M,连接BD交CE于N,连接MN. 求证: (1)AE=BD; (2)∠DOA=60︒;(3)△ACM≌△DCN; (4)△BCN≌△ECM;(5)△CMN是等边三角形; (6)AE、BD交于O,连接CO,则∠AOC=60︒. 检查梳理看视频【等边三角形组图(上)】,核.对.拔.高.练.习.标.准.答.案.并.订.正.,最后完整梳理一遍解题过程. 线上练习完成视频后相应的【专项练习】. 学习目标 ¨了解勾股定理及其内容 勾股定理 「概念课」证法最多的定理 视频助学请.先.思.考.引.导.问.题.,再.看.视.频.【证法最多的定理】,然后完成引导问题下方的摘要填空.引导问题1勾股定理是什么? 1.相传2500多年前,毕达哥拉斯有一次在朋友家做客时,发现朋友家用砖铺成的地面图案反映出了直角三角形三边的某种数量关系.小正 方形的面积和S1+S2等于个小三角形面积和,大正方形的面积S3等于个小三角形面积和,所以能够得出: S1+S2S3. 2.中间这个三角形的三边分别是三个正方形的边,表示为a、b、c,那么在小正方形中 S1=,S2=,S3=.因为S1+S2=S3,所以我们有 .这就是勾股定理的表达式.它的含义是直角边的等于斜边的.(图中a=b) 线上练习完成视频后相应的【专项练习】. 提出疑问预习过程中还有什么疑问没有解决呢? 请你将有疑问的问题记录下来: 学习目标 勾股定理的证法 「概念课」几何证法 ¨了解勾股定理的几何证法 视频助学请.先.思.考.引.导.问.题.,再.看.视.频.【几何证法】,然后完成引导问题下方的摘要填空.引导问题1如何用几何方法证明勾股定理? 1.构造一个直角三角形,分别以三边为边长作三个正方形,如图所示.要证明勾股定理,即两直角边的等于斜边 的(a2+b2=).在这幅图中,三个正方形的面积分别是、、,证明两个小正方形的面积和等于大正方形的面积,即可证明勾股定理. 2. 过三角形直角顶点向斜边作垂线,并延长至大正方形底边.大 3.正方形被分割成了两个.我们的目标是: 证明左边的 和左边的面积相等,右边的和右边的面积,从而得出结论. 4.要证明S1=S矩形1,如图连接AM、CN,可以证明 △ABM≌△NBC(SAS). S△MB
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