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时域频域分析机理
时域频域分析机理
姓名陈凯
学号104972103056
院系信息工程学院
专业通信与信息系统
班级信研1006
提交时间:
2011年6月20日
目录
摘要1
1引言2
2时域频域概念3
2.1时域3
2.2频域4
3时域频域的关系5
3.1傅里叶变换5
3.2信号的频谱7
3.3傅里叶逆变换9
4信号带宽11
4.1带宽与上升时间11
4.2带宽与时钟频率15
4.3实际信号的带宽16
4.4测量的带宽18
4.5模型的带宽19
4.6互连线的带宽21
5参考文献23
时域频域分析机理
摘要:
时域和频域作为信号的基本性质,从不同方式来分析信号。
时域相对比较熟悉,频域则非常有助于理解和掌握许多信号完整性效应,两者之间可通过傅立叶变换相互转换。
而上升时间和带宽,前者是时域中的术语,后者是频域中的术语,它们是紧密联系的。
关键词:
时域频域上升时间带宽
Abstract:
Timedomainandfrequencydomainasthebasicnatureofthesignalfromthedifferentwaystoanalyzethesignal.Relativelyfamiliarwiththetimedomain,frequencydomainisveryhelpfultounderstandandmasterthemanyeffectsofsignalintegritybetweenthetwocanbeFFTconversion.Therisetimeandbandwidth,theformertermisthetimedomain,frequencydomain,whichistheterm,theyarecloselylinked.
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字典
Keyword:
TimeDomainFrequencydomainRisetimeBandwidth
1引言
在高速信号完整性分析中,可以从时域和频域两个不同的角度去分析。
就时域来说,信号的波形在示波器上回显示出来各种各样的形态,我们关心的是:
信号的上升时间、下降时间、幅值,占空比,等等参数,对于不同的信号有不同的要求,比如时钟信号,有的原始驱动时钟信号,要求占空比要严格的做到50%,有的是一种触发的时钟,占空比小于50%,对于高速的电路,我们要学会从时域来分析波形的质量,尤其是对于上升和下降时间。
一个重要的概念:
当信号的上升时间和下降时间小于6倍的传输线延时,信号的特性就会呈现高速的特点。
这是一个判断信号是不是高速信号的关键。
信号的频宽:
频宽=0.318/上升时间。
这是一个极为重要的公式,它所代表的是,一个信号所含的最高频率分量。
决定信号频宽的是信号的上升时间,而不是信号的频率。
对于频域来说,大概有8种波形,可以让我们分析:
矩形方波,锯齿波,梯形波,临界阻尼指数脉冲波形,三角波,余旋波,余旋平方波,高斯波。
对于各种波形,我们都可以用一种方法来分析,就是傅立叶变换,将时域的波形转化到频域来分析。
频域包含了更多的信息,有拐点频率,谐波分量等等。
我们关心的是高频谐波分量如何减少,这需要更多的公式和电路理论。
2时域频域概念
时域和频域是信号的基本性质,这样可以用多种方式来分析信号,每种方式提供了不同的角度。
解决问题的最快方式不一定是最明显的方式,用来分析信号的不同角度称为域。
时域频域可清楚反应信号与互连线之间的相互影响。
2.1时域
时域是真实世界,是惟一实际存在的域。
因为我们的经历都是在时域中发展和验证的,已经习惯于事件按时间的先后顺序地发生。
而评估数字产品的性能时,通常在时域中进行分析,因为产品的性能最终就是在时域中测量的。
如下图2.1所示的时钟波形。
图2.1典型的时钟波形
由上图可知,时钟波形的两个重要参数是时钟周期和上升时间。
图中标明了1GHz时钟信号的时钟周期和10-90上升时间。
下降时间一般要比上升时间短一些,有时会出现更多的噪声。
时钟周期就是时钟循环重复一次的时间间隔,通产用ns度量。
时钟频率Fclock,即1秒钟内时钟循环的次数,是时钟周期Tclock的倒数。
Fclock=1/Tclock
上升时间与信号从低电平跳变到高电平所经历的时间有关,通常有两种定义。
一种是10-90上升时间,指信号从终值的10%跳变到90%所经历的时间。
这通常是一种默认的表达方式,可以从波形的时域图上直接读出。
第二种定义方式是20-80上升时间,这是指从终值的20%跳变到80%所经历的时间。
时域波形的下降时间也有一个相应的值。
根据逻辑系列可知,下降时间通常要比上升时间短一些,这是由典型CMOS输出驱动器的设计造成的。
在典型的输出驱动器中,p管和n管在电源轨道Vcc和Vss间是串联的,输出连在这个两个管子的中间。
在任一时间,只有一个晶体管导通,至于是哪一个管子导通取决于输出的高或低状态。
2.2频域
频域,尤其在射频和通信系统中运用较多,在高速数字应用中也会遇到频域。
频域最重要的性质是:
它不是真实的,而是一个数学构造。
时域是惟一客观存在的域,而频域是一个遵循特定规则的数学范畴。
正弦波是频域中唯一存在的波形,这是频域中最重要的规则,即正弦波是对频域的描述,因为时域中的任何波形都可用正弦波合成。
这是正弦波的一个非常重要的性质。
然而,它并不是正弦波的独有特性,还有许多其他的波形也有这样的性质。
正弦波有四个性质使它可以有效地描述其他任一波形:
(1)时域中的任何波形都可以由正弦波的组合完全且惟一地描述。
(2)任何两个频率不同的正弦波都是正交的。
如果将两个正弦波相乘并在整个时间轴上求积分,则积分值为零。
这说明可以将不同的频率分量相互分离开。
(3)正弦波有精确的数学定义。
(4)正弦波及其微分值处处存在,没有上下边界。
使用正弦波作为频域中的函数形式有它特别的地方。
若使用正弦波,则与互连线的电气效应相关的一些问题将变得更容易理解和解决。
如果变换到频域并使用正弦波描述,有时会比仅仅在时域中能更快地得到答案。
而在实际中,首先建立包含电阻,电感和电容的电路,并输入任意波形。
一般情况下,就会得到一个类似正弦波的波形。
而且,用几个正弦波的组合就能很容易地描述这些波形,如下图2.2所示:
图2.2理想RLC电路相互作用的时域行为
3时域频域的关系
时域分析与频域分析是对模拟信号的两个观察面。
时域分析是以时间轴为坐标表示动态信号的关系;频域分析是把信号变为以频率轴为坐标表示出来。
一般来说,时域的表示较为形象与直观,频域分析则更为简练,剖析问题更为深刻和方便。
目前,信号分析的趋势是从时域向频域发展。
然而,它们是互相联系,缺一不可,相辅相成的。
3.1傅里叶变换
运用频域的首要条件就是能够将波形从时域变换到频域,用傅立叶变换可以做到这一点。
有三种傅立叶变化类型:
(1)傅立叶积分(FI);
(2)离散傅立叶变换(DFT);
(3)快速傅立叶变换(FFT);
傅里叶积分(FI)是一种将时域的理想数学表示变换成频域描述的数学技术。
例如,若时域中的整个波形只是一个短脉冲,就可以用傅里叶积分将它变换到频域中去。
傅里叶积分是在整个时间轴上从负无穷大道正无穷大做积分,得到的结果是零频率到正无穷大频率上连续的频域函数。
在这个区间上,每个连续的频率值都对应一个幅值。
实际上,时域波形是由一系列离散点组成的,且这些点是在有限的时间范围T内测量得到的。
例如,一个时钟波形可能是从0V到1V这样一个信号,其周期为1ns,即频率为1GHz。
为了表示时钟的一个周期,可能会用1000个离散的数据点,其中时间间隔为1ps。
图3.1所示为时域1GHz的时钟波形。
图3.11GHz时钟信号在时域中的一个周期上的表示(上图)和在频域中的表示(下图)
使用离散傅里叶变换(DFT)可以将这个波形变换到频域中。
其中基本的假设是原始的时域波形是周期的,每隔T秒重复一次。
不像积分,此处仅使用到求和,通过简单的数学方法就可以将任意一组数据变换到频域中。
快速傅里叶变换(FFT),除了计算每一个频率点的幅度值的实际算法使用了快速矩阵代数学的技巧外,它与离散傅里叶变换完全一样。
这种快速算法只应用于时域中的数据点个数是2的幂数的情况,如256点,512点或者1024点。
根据所计算电压点个数的多少,快速傅里叶变换的计算速度比普通的离散傅里叶变换可以快到100到10000倍。
一般来说,工业中常常会同时使用到FI,DFT和FFT。
这三种方法是有区别的,但同时又有着同样的用途——将时域波形变换成频域频谱。
图3.1就是一个简单的时域波形和用DFT计算得到的频谱图。
在频域中,对波形的描述变为不同正弦波频率值的集合。
每一个频率分量都有相关的幅度及相位,把所有这些频率值及其幅度值的集合称为波形的频谱。
3.2信号的频谱
DFT或FFT是用来将实际波形从时域变换到频域的。
对测量得到的任意波形都可以使用DFT,关键条件就是该波形应是重复性的。
通常用大写字母F表示时域波形的重复频率。
例如,一个理想方波可能是从0V到1V,其重复周期为1ns,且占空比为50%,由于是理想方波,所以从0V跳变到1V的上升时间应为0秒,重复频率就是1GHz.。
在时域中,如果一个信号在时间间隔t=0到t=T内是一些任意的波形,则就不能看成是重复性的。
然而,将信号以T为周期进行延拓,可以把它变成重复信号。
这是重复频率就是F=1/T。
这样,任何一个波形都可以变为重复波形,并可用DFT将其变换到频域中,如图3.2所示
图3.2任何波形都可变成重复性
对于DFT,频谱中仅存在某些频率值,这些值取决于时间间隔或重复频率的选择。
频谱中的正弦波频率应是重复频率的整数倍。
若时钟频率为1GHz,那么DFT就只有1GHz,2GHz,3GHz等正弦波分量。
第一个正弦波频率称为一次谐波,第二个正弦波频率称为二次谐波,依次类推。
每个谐波都有不同的幅度和相位。
,所有谐波及其幅度的集合称为频谱。
每个谐波的实际幅度都有DFT计算的值来确定,每个具体的波形都有其各自的频谱。
定义理想方波的上升时间为0,它并不是真实的波形,只是对现实世界的近似而已。
然而从理想方波的频谱中可以得到有用的信息,运用这些信息可以估计实际波形。
理想方波是对称的,其占空比为50%,并且峰值为1V,如下图3.3所示。
图3.3时域和频域中的理想方波
如果理想方波的重复频率为1GHz,那么其频谱中的正弦波频率就是1GHz的整数倍。
采用DFT可以精确计算各个频率分量的幅度。
所有偶次谐波(如2GHz,4GHz,6GHz)的幅度都为0,只存在奇次谐波的值。
奇次谐波的幅度An,如式所示:
其中:
An是n次谐波的幅度
π是常量,为3.14159…
n是谐波数,为奇数
例如,占空比为50%、从0V跳变到1V的理想方波,其一次谐波的幅度为0.63V,三次谐波的幅度是0.21V,第1001次谐波的幅度为0.00063V。
但要注意频率分量提高时,其幅度随着1/f的减小而减小。
如果理想方波的电压跳变范围增加为原来的两倍,即从0V到2V,那么各次谐波的幅度也加倍。
还有一个特殊的频率值:
0Hz。
因为正弦波的均值为0,任何正弦波的组合也只能描述时域中均值为0的波形。
如果给出一个直流偏移,即非零均值,那么直流分量就存储在零频率值中。
这有时也称为零次谐波,其幅度与信号的均值相等。
在方波占空比为50%的情况下,零次谐波幅度为0.5V。
归纳起来如下:
(1)正弦波频率分量及其幅度的集合称为频谱,每一分量称为谐波;
(2)零次谐波就是直流分量值;
(3)对于理想方波占空比为50%这一特殊情况,偶此谐波的幅度为0;
(4)任何谐波的幅度都可由2/(nπ)计算得出。
3.3傅里叶逆变换
频域中的频谱表示的是时域波形包含的所有正弦波频率的幅度。
如果我们知道频谱,要观察它的时域波形,只需将每个频率分量变换成它的时域正弦波,再将其全部叠加即可。
这个过程称为傅里叶逆变换,如图3.4所示
图3.4把以上每个正弦分量叠加起来,即可将频谱转化为时域波形
频域中的每个分量都是时域中定义在t=-∞到+∞的正弦波。
为了重新生成时域波形,可以提取出频谱中描述的所有正弦波,并在时域中的每个时间间隔点处把它们叠加。
从低频端开始,把频谱中的各次谐波叠加,就可得到时域中的波形。
对于1GHz理想方波的频谱,第一项是零次谐波,其幅度为0.5V。
这个分量描述了时域中的直流常量。
第二个分量是一次谐波,这在时域中是频率为1GHz、幅度为0.63V的正弦波。
它与前一项叠加,在时域中得到均值偏移为0.5V的正弦波。
这与理想方波的近似并不是很好,如图3.5所示。
图3.5对于1GHz理想方波,叠加各次谐波的时域波形
接下来是三次谐波。
3GHz正弦波频率分量的幅度为0.21V,把它与已有的时域波形叠加,会发现新波形的形状发生了细微的变化:
顶端更平滑,更接近于方波,且上升时间更短。
依次下去,将所有相继的高次谐波与已有波形想叠加,得出的结果会越来越像方波。
值得注意的是,时域波形的上升时间随着加入高次谐波而变化。
为阐明更多细节,以周期的起始点为中心,将波形的上升边放大。
先叠加至第7次谐波,然后加到第19次谐波,最终一直加到第31次谐波,会发现上升时间不短缩短,如下图3.6所示。
图3.6对于1GHz理想方波,依次叠加各次谐波生成的时域波形
4信号带宽
带宽用来表示频谱中有效的最高正弦波频率分量,为了充分近似时域波形的特征,这是需要包含的最高正弦波频率,所有高于带宽的频率分量都可忽略不计。
值得注意的是,带宽的选择对时域波形的最短上升时间有直接的影响。
4.1带宽与上升时间
如图3.5所示,如果只用零次,一次和三次谐波合成时域波形,那么所得波形的带宽只达到三次谐波的值,即3GHz。
设计时,这个波形的最高正弦波频率分量是3GHz,其他正弦波频率分量的幅度为零。
如果像图3.6那样增加更高次谐波来生成波形,那么设计的带宽为7GHz,19GHz和31GHz。
如果取出图3.6中上升时间最短的波形,并把它变换到频域中,则其频谱与图3.4所示的非常相似,其中含有的谐波分量从零次谐波一直到31次谐波,超过31次谐波的所有分量为零。
这个波形中有效的最高正弦波频率分量就是31次谐波,即此波形的带宽为31GHz。
以理想方波的频谱为基准,每种情况下生成的波形的带宽越来越高。
并且,波形的带宽越大,10-90上升时间就越短。
上升时间越短,与理想方波的波形就越接近。
同理若降低信号的带宽(如删除高频分量),则其上升时间会变长。
例如,信号沿FR4的有损传输线传播时,其时域响应就很难估算。
正如我们知道的,有两种损耗机理:
导体损耗和介质损耗。
如果每种损耗过程对低频分量和高频分量的衰减是一样的,则远端的信号仅仅是减小,而输出的频谱模式同输入的频谱模式是相同的,且对波形的上升时间没有影响。
然而,这两种损耗对高频分量的衰减要大于对低频分量的衰减。
当信号沿导线传播4in长时,约从8GHz开始,以上高频分量的功率衰减量要大于50%,而对低频分量的影响却小得多。
图4.1所示是同通过FR4板上4in长的传输线时,测量的正弦波频率分量的衰减。
其中,使用网络分析仪对其进行测量,且传输线的特性阻抗为50Ω。
图4.1信号通过FR4板的传输线时测量的衰减
从图中可以看出,位于2GHz以下的频率分量的衰减不超过-1dB,而10GHz上的频率分量的衰减为-4dB。
这种选择性衰减使得在互连线中传播的信号的带宽降低。
下图4.2所示为一个上升时间为50ps的信号进入FR4板上36in长的传输线时以及离开传输线时的波形。
图4.2信号通过FR4板测得的输入信号和输出信号
由于高频分量的衰减比较多,其上升时间从50ps增加到近1.5ns。
36in长的线条是常见的,如经过两个6in长的插卡和24in的底板,走线就是36in。
在超过1GHz的高速串接中不能使用FR4叠层的主要限制就是上升边退化。
一般来说,时域中上升时间越短的波形在频域中的带宽越高,如果改变频谱使波形的带宽降低,那么波形的上升时间就会随之增加。
对于重新生成的理想方波,其上升时间与带宽之间的关系可以加以量化,每个波形都是通过加上某次谐波的正弦波频率分量而人为合成的。
定义为从10%到90%的上升时间,也可以从时域图中测量得到。
如果已知每个波形测量得到的10-90上升时间和带宽,可以画出一个简单的关系式,如下图4.3所示,这是个基本关系式,对所有信号均适用。
图4.3信号带宽与10-90上升时间关系式
对于重新生成的方波中只包含一些较高次谐波这种特殊情况,带宽与上升时间的倒数有关。
可以通过一些点画出一条直线去近似,以找出带宽与上升时间的关系:
其中:
BW表示带宽,单位为GHz
RT表示10%-90%上升时间,单位为ns
4.2带宽与时钟频率
众所周知,带宽与信号的上升时间有关。
对两个不同的波形,可以有相同的时钟频率,但上升时间和带宽却很可能不同。
仅知道时钟频率并不能告诉我们带宽,图4.4展示了四种不同的波形,每个波形的时钟频率都1GHz。
然而它们的上升时间却不同,因此带宽也不同。
图4.4四个1GHz的不同波形
我们并非总能知道信号的上升时间,但却需要知道它的带宽。
若使用一个简单的假设,则仅从信号的时钟频率就可以估算出它的带宽。
在实际的时钟波形中,上升时间与时钟周期原则上讲,两者之间的惟一约束是:
上升时间一定小于周期的50%。
除此之外没有任何限制,上升时间可以是周期的任意百分比。
如果不知道上升时间与周期的比值,则一个合理的归纳为:
上升时间是时钟周期的7%,但许多系统更接近于10%,所以我们对上升时间的假设要短于那些典型的情况。
这样,上升时间被低估了,带宽则被高估了,而这比带宽被低估要安全得多。
如果上升时间是周期的7%,那么周期就是1/0.07或15倍的上升时间,可以将带宽近似为0.35/(上升时间)。
频率和周期互为倒数,所以可以把两者联系起来。
用时钟频率代替时钟周期可以得出最终的关系式,即带宽是时钟频率的5倍:
其中:
BWclock表示时钟带宽的近似值,单位为GHz
Fclock表示时钟频率,单位为GHZ
这是根据上升时间是时钟周期的7%这个假设得出的结论,也是个近似。
如果给出这个假设,它就是一个很有用的经验法则,通过它可以很容易地估算出带宽。
这就是说,时钟波形的最高正弦波频率分量通常就是第五次谐波。
4.3实际信号的带宽
除了基于上升时间来近似波形的带宽外,其他计算基本都不能用手工完成。
任意波形的傅里叶变化之能由数字仿真来完成。
几乎是理想方波的高质量信号有一个简单的行为特性,即如果传输线电路的终端匹配欠佳,则信号就会发生振铃,频谱在振铃频率处产生峰值。
振铃频率的幅度会比没有振铃时信号的幅度高十倍以上,如图4.5所示。
图4.5实际信号的振铃
上图为接近方波的时域波形和由于终端匹配欠佳引起的振铃现象,而下图则是由DFT得出两个波形的频谱图,从图中可以看出振铃对频谱的影响,用宽条表示理想波形的频谱,用窄条表示振铃波形的频谱。
有振铃时的带宽明显高于没有振铃时的带宽。
当波形中出现振铃时,其带宽约等于振铃频率。
但是若仅用这个带宽来表征振铃信号,可能会引起误导。
取而代之的是,应当考虑整个频谱。
EMI由电流中每个分量的辐射引起。
最严重的辐射源是共模电流,其总辐射将随着频率而线性增加。
这说明,如果电流有理想方波的特性,则尽管各次谐波的幅度都以1/f的速率下降,但辐射能力仍会以速率f上升,所以各次谐波对EMI的影响都是相等的。
为了减少EMI,设计时应在所有信号中采用尽可能低的带宽。
高于这个带宽时,谐波幅度就比1/f下降得快,对辐射的影响就会小些。
将带宽保持在最低值,辐射量就会保持在最小值。
电路中的振铃可能会使高频分量的幅度增加。
4.4测量的带宽
在以上的讨论中,用带宽这个术语来表示信号或时钟波形。
我们这里的带宽就是波形频谱中有效的最高正弦波频率分量。
对信号而言,所谓的有效是基于信号的幅度与同频率理想方波的幅度相比较而言的。
除此之外,也可以用带宽来度量其他的量,特别是涉及到测量的带宽、模型的带宽和互连线的带宽时。
每种情况中它都指的是有效的最高正弦波频率分量。
测量的带宽是指有足够精度的最高正弦波频率分量。
当在频域中进行测量时,使用阻抗分析器或网络分析仪就能很容易知道它的带宽,它就是测量中的最高正弦波频率。
如图4.6所示,从1MHz到1GHz测量去耦电容的阻抗,可以看出在10MHz以下时,阻抗表现为电容,但在10MHz以上时,它就表现为电感。
在网络分析仪的整个测量范围内,这些数据都很好、很精确。
所以在这个例子中,测量的带宽为1GHz。
测量的带宽不同于器件本事的有用带宽。
图4.61206陶瓷去耦电容的测量阻抗,其中测量带宽为1GHz
对于在时域工作的测量仪器,例如时域反射计(TDR),它的测量带宽取决于它能输出到DUT信号的最快上升时间。
但由于高频分量总是比较小,所以这种度量就比较粗略。
在常见的TDR中,TDR产生一个快速阶跃边沿,此边沿与DUT相互作用时发生的变化可以加以测量。
进入DUT的典型上升时间可以是35ps到70ps,这与使用的探针和电缆有关。
图4.7中,测量所得的TDR的上升时间约为52ps。
边沿的带宽为0.35/52ps=0.007THz,即7GHz,这是TDR中最高的测量带宽。
图4.7TDR曲线
4.5模型的带宽
模型的带宽指的是:
模型能被精确地用来预测它所表示的结构的实际性能时的最高正弦波频率分量。
可以使用一些诀窍来确定模型的带宽,但一般来说,只有与实际测量值相比较时,才能确定得到的模型带宽是否准确。
例如,表示键合线的最简易的初始等价电路模型就是电感。
那么当带宽达到多大时,它仍是个良好的模型?
获得此答案的唯一方法就是把模型的预测结果与实际测量结果相比较。
当然对于不同的键合线,答案也不相同。
例如假设有一根很长的键合线,如30mil长,它连接了位于返回路径上方的两个焊盘。
返回路径平面在下方10mil处,如图4.8所示。
图4.8两焊盘间键合线回路的示意图
一个简单的初始电路模型就是一个电感和电阻串联而成的直到2GHz之前,采用合适的电感和电阻参数预测出的阻抗与实际测量的阻抗都非常一致,所以这个简易模型的带宽就是2GHz,如图4.9所示。
图4.9阻抗与一阶模型仿真结果对比
当使用这个物理结构时,若其中的信号带宽为2GHz,就可以放心的用这个简易模型来预测此物理结构的性能。
不可思议的是,对这么长的键合线,仅用恒量的电感和电阻构成的简易模型,直到2GHz时都能工作得这么好。
2GHz很可能已超过了键合线的有用带宽,但此模型仍是很精确的。
如果需要带宽更高的模型,它能够在更高频率下预测实际键合线的阻抗,那就要考虑焊盘电容的影响。
可以建立一个新模型,即二阶模型,并找到元件R、L和C的最优值,使得直到4GHz时,仿真的阻抗与实际阻抗都能一致,如图4.10所示。
图4.10阻抗与二阶模型仿真结果对比
4.6互连线的带宽
互连线的带宽指的是能被互连线传输且损耗不是很大时的最高正弦波频率分量。
在一些应用中,若传输的信号小于入射信号的95%,就认为是太小了而不起作用。
而在其他的情况中,传输的信号幅度小于入射信号的10%依然认为是可用的。
在远距离电视电缆系统中,接收端甚
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