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热工数学模型作业
PDF模型建模及应用
学号:
XX姓名:
XX
PDF(ProbabilityDensityFunction)是概率密度模型。
PDF方法是一种
较为流行的湍流燃烧模型,能够较为精确的模拟任何详细的化学动力学过程,适
用于预混、非预混和部分预混的任何燃烧问题。
目前,确定输运变量脉动概率密
度函数的方法有输运方程和简化假定两种,分别称之为输运方程的PDF和简化的PDF前者建立输运变量脉动的概率密度输运方程,通过求解该方程来获得输运变量脉动的概率分布。
后者假定输运变量脉动的概率密度函数的具体形式,通过确
定其中的一些待定参数来获得输运变量脉动的概率分布。
湍流燃烧中,后者应用
最为普遍和广泛。
在简化的PDF中,输运变量脉动的概率密度函数常常采用双分布、截尾高斯分布等。
PDF模型从PDF变量不同大致可以分为三类。
第一类是欧拉系中建立瞬时量
和脉动量两相速度PDF第二类方法仅从颗粒运动方程出发,在拉氏体系中建立颗粒速度-坐标联合PDF方程;第三类是在拉氏体系中运用流体微团拉氏方程和颗粒运动方程来建立流体微团速度-颗粒速度-坐标联合PDF输运方程,即在颗
粒运动方程的基础上添加了流体微团拉氏方程。
本文将着重介绍ZaiChki的PDF
模型。
1.气固两相湍流Zaichki的PDF模型建模
1.1从拉氏方程到PDF输运方程
湍流中单个大密度颗粒的运动方程可以有如下的形式:
dRpdVpU_Vp
(1-1)
二=V—=+F
dpdx
巧u
其中,Rp和Vp分别是颗粒位置和速度矢量,U是流体瞬时速度矢量。
第二个方程右边的两项分别是流体相对颗粒的作用力和外力(例如,重力)。
这种表达方
式下从流体相对颗粒的作用力可以看出:
颗粒的松弛时间,・u,取决于颗粒的雷诺数,因此拽引力中也加入了漂移速度的影响。
因此,方程不仅在Stocks阻力定律范围内成立而且在大雷诺数的条件下也是适用的。
但是,值得强调的是,方程仅在
颗粒密度远远大于流体密度并且其尺寸小于KolmgoorVo空间尺度的时候才是正
确的。
如果将流体的流动速度u看成是随机过程,则系统表示一组拉氏方程。
为了
将描述单颗粒子随机方程转化为描述整个颗粒相的统计方程,引入概率密度函数
八厂:
:
丄川•■-'■■:
■--(1-2)
其中,••为颗粒体积,门包括N个颗粒的体积。
方程的平均过程是在随机流体速度场的样本集合中完成的。
运用刘维定理,并且将流体速度写成平均量与瞬时量的和的形式(u二Uu),我们可以得到以下PDF俞运方程:
1.2封闭PDF俞运方程
方程1-3的左边包括随时间的变化量和相空间的扩散项,而方程右边描述了
颗粒与湍流涡之间动量作用。
为了确定表述颗粒与湍流涡相互作用的相关系数
:
:
:
UkP•,我们采用一致相关函数的高斯随机过程来模拟流体速度场。
则,在高斯
随机函数中应用Furutsu-Novikov方程,我们可以得到:
其中泛函导数由下式给出:
为了得到1-5中的泛函导数,解出方程1-1
将变分算子应用到(1-6),我们可以得到一组积分方程,通过这组积分方程可
以得到泛函导数。
4pi()、:
ij
-—exp(—)、.(为—Rp(.J)H(.-.J
Uj(x1,1)-uu
(1-8)
其中,H(x)是海氏函数:
H(x)=0x(<0),H(x)=1(x>0)
为了得到显式变分导数和相关系数:
:
:
Ukp-。
方程1-7、1-8中的积分项全部
忽略。
这在绝大多数的非剪切流动来说是正确的,但是在湍流剪切流动中,这些项
很重要。
可以通过一个迭代过程,将所有积分项考虑进来。
因此方程1-7右边第
一项可以看作是迭代扩展第一项。
这种近似也只有在非剪切流动中才是正确的
这个通过这个迭代过程就可以得出颗粒位置的泛函导数
(1-9)
X症一氐(也"“巧)+rL^(^(r3x
迭代过程的收敛程度,可以由下式进行评价:
(1-11)
其中TU是湍流涡与颗粒相互作用时间,弋是特征速度梯度。
如果;可以看成是小参数,迭代过程会很快收敛。
对于高惯性粒子当"u「:
时,;》o,能够很好的满足这个条件。
但是,对于理想粒子>:
:
),;不能够看成是一个小参数。
而且为了将泛函导数写成分析显式的形式,我们只能考虑描述平均速度和温度的一阶迭代项。
因此这个方法仅仅在准均匀湍流中是正确的。
由于对流动的非均匀性分析仅仅局限于一阶空间导数项,方程1-10中最后
项带入1-6近似可以得到:
现在我们引入流体速度脉动相关函数
@:
(戈,门町(心(巧),
(1-13)
相关函数(()随着;的增大迅速减小,所以方程1-4的积分值由;=0的附近区域决定。
假设外力Ft是均匀的,可以从1-4、1-5得到流体速度脉动量相关函数和颗粒相的概率密度函数。
(w»二-〈啦;〉(尤乎+「屈嚳+警¥卜宀卩dP.dUndP
(1-14)
兀】=AF空刈盲>
JA匚
hu=Xi+皆“一2轧,
解相关函数1-12,可以得到:
oO
「5()d
0
当颗粒非常小的时候(无惯量),这些时间尺度恰好与湍流拉格朗日积分尺度
相当。
但是对于大惯量的颗粒这些时间尺度与拉格朗日积分尺度有着比较大的差别。
为了简化表达,TU不同方向的分量采用相同的符号。
1-14中的系数满足下列渐进关系:
%亿)亿"也丸"Nn严%皿二%訂「(1-15)
如果对相关函数进行指数近似,系数1-14有如下形式:
Z.+兀i=<1+QJ^>=[QJl+Qjr\7M=[Qu(l+QJ3r*
扎=[a:
(1十al仇=[rnu(i+qjo+ixo]1
把1-13代入1-3可以得到湍流剪切流动中颗粒相速度温度分布的概率密度
函数封闭方程。
由此PDF方程得到封闭。
2.PDF模型优缺点及适用范围
PDF研究方法是介于微观层次和宏观层次之间的一种随机层次的描述方法,已经成为发展统观湍流模型的有效手段。
随机层次的描述是一种有效的处理方法,兼顾了宏观层次和微观层次各自的优势,一方面它不需要对随机力的细节做全面细致的描述,避免了计算量巨大而无法实现的困难,另一方面它最大限度的考虑了粒子间随机力的作用,能够比宏观模型获得更多信息,这也是使两相湍流模型封闭的方法之一。
容易证明PDF统计平均与颗粒雷诺平均得到的结果相仿,PDF输运方程也成为连接两相湍流流动理论研究的欧式方法和拉式方法的桥梁。
但两相湍流PDF理论拉式体系研究也存在很大局限性:
1)模型建立往往局限于湍流的高斯过程假设,有的甚至是高斯白噪声假设,这对建立模型的条件过于苛刻,只能建立近似模型。
2)由于所建立的模型并不封闭,因此要获得可解模型必须依赖于湍流的速度指数关联率,湍流指数关联率可通过各向同性和各向异性关联函数求得。
3)对方程求解的研究较少,大多数解法都采用由PDF方程获得的二阶矩模型来求解,这致使PDF方法的很多信息丢失,PDF方法的优越性没有得到充分的体现,因此构造一个好的解法仍是一个重要的课题。
总之,PDF两相流理论是介于微观层次和宏观层次之间的一种描述方法,它
比微观模型更有效又能获得比宏观模型更多的信息,而且它具有很强的基础性和可靠性,不仅如此,两相流PDF方法还是连接两相流Lagrange方法和Euler方法的纽带。
目前两相流PDF方法已成为描述两相流的有效手段,通过近20年的研究和发展,除了由湍流本身带来的问题外,PDF模型的理论已日渐成熟。
PDF输运方程模型很适合于模拟那些必须考虑湍流流动、复杂化学反应机理及其相互影响的湍流反应流问题、如点火、熄火、湍流燃烧及污染物的生成过程。
当然,由于湍流的存在和湍流-颗粒的相互作用(湍流问题被称为经典物理学最后的疑团),两相流PDF理论的研究不可避免的存在很大的挑战性。
因此研究和发展两相流PDF模型及对模型求解方法的探索对推进两相流理论的发展和有效工程数值模拟有重要意义。
3.PDF模型在直接点火燃烧器的应用
感应加热煤粉两级无油点火试验系统
图1感应加热煤粉两级无油点火试验系统
直接点火燃烧器的几何模型如下图所示。
图2设备几何模型
3.1煤粉气流着火数学模型
本文使用普遍采用的标准k-•:
模型进行气相流场的数值模拟。
统一形式为
c_c_c!
ckI尺
(Pk)J(PkUi)=,(八t).|+Gk+Gb-岛-Ym+Sk
ctcxicxjQkcxj
标准k-■:
模型的常数选择如下:
6
Ci
6
Ge
0.09
1.44
1.92
0,9
1.00
1.30
煤粉气流的着火过程是典型的湍流气固两相流动和燃烧过程。
由于着火过程
中,点火室内的温度分布相差较大,因此不同位置的煤粉颗粒的着火和燃烧过程不同。
为了准确模拟煤粉颗粒的挥发分析出过程、焦碳的燃烧过程,需要准确地
确定煤粉颗粒的运动轨迹。
因此,选择合适的颗粒运动模型在煤粉气流无油点火数值模拟中是非常重要的。
本文的燃烧模拟是在商业软件FLUEN平台上进行的。
对煤粉颗粒相的运动模拟采用了“扩维方法”PDF模型的“有限分析/monte-Carof”方法。
其主要是通过FLUENTS件与C语言的接口完成。
通过对每一个网格内的速度PDF方程积分得到颗粒的平均速度upt,从而可以计算颗粒的位置:
xt(rt^x(t)(upr-nyt由此我们可以通过FLUENT勺宏
DEFINE_DPM_SCALAR_UPDATE每一步迭代的每一时间步的颗粒位置、速度进
行调整。
其中应用到的宏为:
颗粒p在i方向上位置坐标宏:
P_POS(pi)
(p->state.pos[i])及前一积分时刻颗粒p在i方向上的位置坐标P_POSO(pi)(p->state.pos[i]);颗粒p在当前位置上的速度矢量宏P_VEL(p)(p->state.V)及颗粒p在前一积分时刻上的速度矢量宏P_VELO(p)(p->stateO.V)。
辐射传热选择了pl模型,以此对煤粉气流与点火室高温壁面之间的辐射换热进行计算。
湍流燃烧采用PDF模型(PDF-ProbabiliyDensityFunction)输运
方程模型,在克服以上这些困难方面有其独特的优势。
PDF输运方程模型求解的
是速度和化学热力学参数的联合概率密度函数的输运方程。
在这个方程中,与湍
流输运和化学反应速率有关的项都以封闭的形式出现、可以精确计算。
从而避免
了对一些重要过程的模拟。
同时,PDF输运方程模型还可以提供比通常的湍流模型更多的信息。
因为知道了速度和化学热力学参数的联合概率密度函数以后,它
们的平均量及任意阶的统计矩都可以求出。
因此,PDF输运方程模型很适合于模
拟那些必须考虑湍流流动、复杂化学反应机理及其相互影响的湍流反应流问题、如点火、熄火、湍流燃烧及污染物的生成过程。
湍流化学反应PDF模型:
在对燃烧设备运行工况的分析中,注重的问题往往是燃烧的热效应(如效率、热流分布和温度分布等),而且化学反应对流动过程的影响也主要是由它的热效应引起的。
在此基础上,提出了非预混模型。
其基础是
在作出某些简化假设之后,认为流体的瞬时热化学状态和一个守恒标量一混合分额f相关。
在非绝热的湍流燃烧系统中,各组分质量比例的瞬时值、密度和温度仅依赖于混合分数的变化:
1二1(f,H)
在相等扩散率的假设下,组份方程可以减少到对于混合份额f的单个方程。
时均的混合份额的输运方程为:
§P
兀(Pf)_(pvf)八(」'f)Sm
-t二t
其中源项Sm仅仅依赖于从液体燃料滴或反应颗粒(例如,煤粉颗粒)传输到气相的质量。
该类简化绕过了复杂的化学反应的详细机理,将对化学反应的求解转化为对混合分额f的求解。
在PDF模型中,混合分数f的求解采用假定形状的概率密度函数的方法进行计算。
图3概率密度函数的图形表示
概率密度函数PDF(ProbabilityDensityFunction)的定义:
概率密度函数,
可以认为是流体在状态f停留的时间分额,图3表示了这个概念。
f的脉动值,如图中右边所画的那样,在内停留了一些时间片段。
概率密度函数p(f)的取值要正好使在目间隔内的曲线所围的面积等于f在这个范围内停留的时间值,如图中左边所示的那样。
用数学式可以表示为:
1_
p(f)二f二limt
这里T是时间尺度,t是f在甘范围内停留的时间量。
函数p(f)的曲线形状f依赖于湍流脉动的特性。
概率密度函数曲线的形状一般可以两种数学函数表示:
一种为双三角函数,另一种为1函数。
采用双三角函数便于PDF模型的计算,但是采用1函数的计算和实验结果比较吻合。
为提高计算精度,本文采用[概率密度函数。
3.2数值模拟结果
仅以燃烧为例进行说明。
由于z=0平面、y=0平面上的温度分布在一定程度上能够说明整个温度场的特点,所以对温度场的讨论从z=0平面和y=0平面开始。
图5y=0平面温度分布
煤粉颗粒进入第一级之后由于旋流的作用主要分布在管道壁面附近,很快被
加热。
在加热管道的前段煤粉颗粒迅速的释放了出挥发份。
由于在整个第一级管
道内的流动过程中煤粉颗粒始终处于近壁面,所以挥发份主要沿壁面分布,管道
中心浓度相对较低。
在管道的加热作用下近壁面首先发生着火,温度上升。
沿着
管道x(方向),分布在管壁的挥发份在燃烧的同时向管道中心扩散,中心挥发份浓
度越来越大,温度越来越高,根据温度分布图可以推断,部分煤粉颗粒中的固定碳也开始燃烧。
在中前部管道中心也发生了燃烧。
随着燃烧的继续管道壁面附近挥发份浓度相对于管道前段有所降低。
3.3数值模拟总结
采用PDF莫型进行直接点火燃烧器的数值模拟结果与实验结果相符,证明
PDF模型能很好的进行模拟。
4.PDF模型的研究现状
两相湍流概率密度函数(ProbabilityDensityFunction,PDF)方法是研
究两相流动的一个重要分支,近几十年来,PDF模型的理论日趋成熟,用PDF输运方程来建立两相湍流模型已成为发展统观湍流模型的有效手段。
PDF方法的主
要理论基于气体动力学理论和布朗运动理论,并仿照统计物理学的基础理论。
PDF两相流理论的研究主要分为PDF模型的建立以及对建立的PDF输运方程进行求解,相对于PDF输运方程的求解,模型建立的理论已比较成熟,而PDF输运
方程解法的研究相对滞后,高维相空间中PDF输运方程的求解仍然是一个难题。
第一类是欧氏体系中建立PDF方程模型,在欧氏体系中,于勇、周力行通过研究湍流两相流动的瞬时量与脉动量建立了k-;-PDF模型;周力行、于勇又在
这个体系下提出了气相雷诺应力方程模型和颗粒概率密度输运方程模型相结台而构成的DSM-PD两相湍流模型。
这两个模型都能较好的预报湍流流体的各向异性,特别是颗粒相的强烈各向异性。
周力行对近年来这方面的理论创新和数值模拟应用做了详尽的总结。
第二类PDF模型方面,ReeksMWPandyaRV,MashayekF等在这种方法下假设颗粒运动的随机过程为高斯过程,使用刘维方程,并用随机Galilean变换获得随机关联项,此类方法称为LHDI方法;ZaichikLI,DerevichIV,HylandKE也是从颗粒运动方程出发,使用刘维方程,并用泛函分析法获得随机关联项;PozorskiJ,MinierJP,PandyaRV,MashayekF等使用vanKampen展开方法及LHDI方法相结合的方法获得随机关联项,这种方法也是仅从颗粒运动方程出发,在拉氏体系中建立PDF方程。
第三类PDF模型方面,Simonin,PozorskiJ,MinierJP等人假设流体微团的随机力具有高斯白噪声性质,从流体微团和颗粒随机运动方程出发,直接用Fokker-Planck方程,徐一和周力行的模型及柳朝辉等和赵海波等的研究也采用了相同的思想。
上述拉氏体系下PDF两相湍流理论通过Pope及其后研究者的研究工作,已经能较好的建立单向湍流的理论模型。
Minier和Peirano、Mashayek和Pandya总结了这一领域的研究成果,并进一步证明PDF两相流理论的重要性和模型的稳定性。
但是,这类研究也不可避免存在着种种局限,所有的模型都局限于颗粒运动随机过程为高斯过程的假设,甚至是高斯白噪声假设,并且要获得可以求解的模型,必须依赖于均匀各向同性的速度指数关联。
当前PDF模型计算成本较高,而该问题往往取决于化学源项。
因此,如果在机理简化和化学加速算法方面取得进展会明显降低PDF计算成本。
为将PDF模型
直接用于实际燃烧和更广的能源问题,有必要集成以下几个因素:
适用于多种燃烧方式(包括在接近熄火时的非传统燃烧结构,至今还未研究清楚的化学热力学机理等)的多尺度、多物理场模型,湍流、气相化学、液体喷雾、煤烟、热辐射之间复杂的相互影响以及多组分燃料等。
可以预见,为解决这些问题,基于PDF的方法在21世纪将会得到更广阔的应用。
参考文献:
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国防工业出版社,2002
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