电磁学课后习题答案.docx
- 文档编号:18151130
- 上传时间:2023-08-13
- 格式:DOCX
- 页数:89
- 大小:189.02KB
电磁学课后习题答案.docx
《电磁学课后习题答案.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《电磁学课后习题答案.docx(89页珍藏版)》请在冰点文库上搜索。
电磁学课后习题答案
第五章静电场
5-9若电荷Q均匀地分布在长为L的细棒上.求证:
(1)在棒的延长线,且离棒中心为r处
的电场强度为
E
1
πε04r
Q
2
2
L
(2)在棒的垂直平分线上,离棒为r处的电场强度为
E
1
Q
2
2
πε
0r4r
2
L
若棒为无限长(即L→∞),试将结果与无限长均匀带电直线的电场强度相比较.
分析这是计算连续分布电荷的电场强度.此时棒的长度不能忽略,因而不能将棒当作点电
荷处理.但带电细棒上的电荷可看作均匀分布在一维的长直线上.如图所示,在长直线上任意
取一线元dx,其电荷为dq=Qdx/L,它在点P的电场强度为
dE
1
4
πε
0
dq
2
r
e
r
整个带电体在点P的电场强度
EdE
接着针对具体问题来处理这个矢量积分.
(1)若点P在棒的延长线上,带电棒上各电荷元在点P的电场强度方向相同,
EdEi
L
(2)若点P在棒的垂直平分线上,如图(A)所示,则电场强度E沿x轴方向的分量因对称性叠
加为零,因此,点P的电场强度就是
EdEyjsinαdEj
L
证
(1)延长线上一点P的电场强度
E
dq
L2πεr
0
2
,利用几何关系r′=r-x统一积分变量,
则
1QdxQ111QL/2
E
P电场强度的方向
222
-L/240LrxLrL/2rL/2π4rL
πεπεε
4
00
沿x轴.
(2)根据以上分析,中垂线上一点P的电场强度E的方向沿y轴,大小为
E
L
sindq
α
dE
2
4r
πε
0
利用几何关系sinα=r/r′,
2x2
rr统一积分变量,则
E
L/
-L/
2
2
1
rQdx
Q
2/3
2
422r
πxrπ
εεr
0L4
0
1
2
2
L
当棒长L→∞时,若棒单位长度所带电荷λ为常量,则P点电场强度
E
lim
l
1
2
πr
ε
0
1
Q/
4r
L
2
/
2
L
λ
2πεr
0
此结果与无限长带电直线周围的电场强度分布相同[图(B)].这说明只要满足r
2/L2<<1,
带电长直细棒可视为无限长带电直线.
5-14设匀强电场的电场强度E与半径为R的半球面的对称轴平行,试计算通过此半球面
的电场强度通量.
分析方法1:
由电场强度通量的定义,对半球面S求积分,即
sE
Φ
S
dS
方法2:
作半径为R的平面S′与半球面S一起可构成闭合曲面,由于闭合面内无电荷,
由高斯定理
E
S
dS
1
ε
0
q
0
这表明穿过闭合曲面的净通量为零,穿入平面S′的电场强度通量在数值上等于穿出半球面
S的电场强度通量.因而
ΦEdSEdS
SS
解1由于闭合曲面内无电荷分布,根据高斯定理,有
ΦEdSEdS
SS
依照约定取闭合曲面的外法线方向为面元dS的方向,
Φ
E
ππ2cosπ2
2cosπ2
RRE
解2取球坐标系,电场强度矢量和面元在球坐标系中可表示为①
EEcosesincosesinsine
θθθ
r
2
dSRsindde
θθ
r
Φ
E
S
dS
S
2
ERsin
2
θsin
dθ
d
ππ
22
ERsindsin
θθ
00
d
2
πRE
5-17设在半径为R的球体内,其电荷为球对称分布,电荷体密度为
ρ
kr0rR
ρ
0rR
k为一常量.试分别用高斯定理和电场叠加原理求电场强度E与r的函数关系.
分析通常有两种处理方法:
(1)利用高斯定理求球内外的电场分布.由题意知电荷呈球对称
分布,因而电场分布也是球对称,选择与带电球体同心的球面为高斯面,在球面上电场强度
大小为常量,且方向垂直于球面,因而有
E
S
dSEr
4π
2
1
根据高斯定理EdSρdV,可解得电场强度的分布.
ε
0
(2)利用带电球壳电场叠加的方法求球内外的电场分布.将带电球分割成无数个同心带电球
2,每个带电球壳在壳内激发的电场dE0,而在球壳
壳,球壳带电荷为dqρ4πrdr
外激发的电场
dE
dq
4r
πε
0
2
e
r
由电场叠加可解得带电球体内外的电场分布
Er
r
0
dE
0
r
R
Er
R
0
dE
r
R
解1因电荷分布和电场分布均为球对称,球面上各点电场强度的大小为常量,由高斯定理
1
EdS得球体内(0≤r≤R)
ρdVε
0
Er
21πk
2
r
4πrkr4rdrr
π
ε0ε
00
4
E
2
kr
re
r
4
ε
0
球体外(r>R)
Er
21πk
2
R
4πrdrr
kr
4πr
εε
0
00
4
E
2
kR
re
r
4ε
0
解2将带电球分割成球壳,球壳带电
2
dρr
qdVkr4πrd
由上述分析,球体内(0≤r≤R)
E
22
1kr4rdrkr
π
r
ree
2rr
0π0r4
4ε
ε
0
球体外(r>R)
E
22
Rπ1kr4rdrkR
1kr4rdrkR
ree
rr
22
040r4εr
πε
0
5-20一个内外半径分别为R1和R2的均匀带电球壳,总电荷为Q1,球壳外同心罩一个半径
为R3的均匀带电球面,球面带电荷为Q2.求电场分布.电场强度是否为离球心距离r的连续函
数?
试分析.
分析以球心O为原点,球心至场点的距离r为半径,作同心球面为高斯面.由于电荷呈球对
称分布,电场强度也为球对称分布,高斯面上电场强度沿径矢方向,且大小相等.因而
2
EdSE4πr.在确定高斯面内的电荷q后,利用高斯定理EdSq/ε0即可求
出电场强度的分布.
解取半径为r的同心球面为高斯面,由上述分析
E
2/
4rqε
π
0
r<R1,该高斯面内无电荷,q0,故E10
R1<r<R2,高斯面内电荷
q
3
Q
r
1
3
R
2
3
R
1
3
R
1
故
E
2
33
QrR
11
33
4εRRr
π
021
2
R2<r<R3,高斯面内电荷为Q1,故
E
3
Q
1
4εr
π
0
2
r>R3,高斯面内电荷为Q1+Q2,故
E
4
Q
Q
2
2
1
4εr
π
0
电场强度的方向均沿径矢方向,各区域的电场强度分布曲线如图(B)所示.在带电球面的两
侧,电场强度的左右极限不同,电场强度不连续,而在紧贴r=R3的带电球面两侧,电场强
度的跃变量
ΔE
E
4
E
3
Q
2
2
4πεR
03
σ
ε
0
这一跃变是将带电球面的厚度抽象为零的必然结果,且具有普遍性.实际带电球面应是有一
定厚度的球壳,壳层内外的电场强度也是连续变化的,本题中带电球壳内外的电场,在球壳
的厚度变小时,E的变化就变陡,最后当厚度趋于零时,E的变化成为一跃变.
5-21两个带有等量异号电荷的无限长同轴圆柱面,半径分别为R1和R2>R1),单位长度
上的电荷为λ.求离轴线为r处的电场强度:
(1)r<R1,
(2)R1<r<R2,(3)r>R2.
分析电荷分布在无限长同轴圆柱面上,电场强度也必定沿轴对称分布,取同轴圆柱面为高
斯面,只有侧面的电场强度通量不为零,且EdSE2πrL,求出不同半径高斯面内的电
荷q.即可解得各区域电场的分布.
解作同轴圆柱面为高斯面,根据高斯定理
E
2rLq/ε
π
0
r<R1,q0
E
1
0
在带电面附近,电场强度大小不连续,电场强度有一跃变
R1<r<R2,qλL
E
2
λ
2πεr
0
,q0
r>R2
E
3
0
在带电面附近,电场强度大小不连续,电场强度有一跃变
Δ
E
λ
λ
L
202π
πεε202π
rrL
0
σ
ε
0
这与5-20题分析讨论的结果一致.
5-22如图所示,有三个点电荷Q1、Q2、Q3沿一条直线等间距分布且Q1=Q3=Q.已知其
中任一点电荷所受合力均为零,求在固定Q1、Q3的情况下,将Q2从点O移到无穷远处外力
所作的功.
分析由库仑力的定义,根据Q1、Q3所受合力为零可求得Q2.外力作功W′应等于电场力作功
W的负值,即W′=-W.求电场力作功的方法有两种:
(1)根据功的定义,电场力作的功为
W
0
Q
2
Edl
其中E是点电荷Q1、Q3产生的合电场强度.
(2)根据电场力作功与电势能差的关系,有
W
Q2VVQV
020
其中V0是Q1、Q3在点O产生的电势(取无穷远处为零电势).
解1由题意Q1所受的合力为零
Q
1
Q
2
4d
πε
0
2
Q
1
Q
3
42d
πε
0
2
0
11
解得QQQ
23
44
由点电荷电场的叠加,Q1、Q3激发的电场在y轴上任意一点的电场强度为
E
E
1y
E
3
y
Q
y
22
2εdy
π
0
3/2
将Q2从点O沿y轴移到无穷远处,(沿其他路径所作的功相同,请想一想为什么?
)外力所作
的功为
W
2
Q
1Q
y
QEdlQdy
023/8π
042d
2
2
2ε
0
0
1
解2与解1相同,在任一点电荷所受合力均为零时QQ
2,并由电势
4
的叠加得Q1、Q3在点O的电势
V
0
Q
1
4d
πε
0
Q
3
4d
πε
0
Q
2d
πε
0
将Q2从点O推到无穷远处的过程中,外力作功
W
QV
20
2
Q
8d
πε
0
比较上述两种方法,显然用功与电势能变化的关系来求解较为简洁.这是因为在许多实际问
题中直接求电场分布困难较大,而求电势分布要简单得多.
5-23已知均匀带电长直线附近的电场强度近似为
E
λ
2r
πε
0
e
r
为电荷线密度.
(1)求在r=r1和r=r2两点间的电势差;
(2)在点电荷的电场中,我们曾取r→
∞处的电势为零,求均匀带电长直线附近的电势时,能否这样取?
试说明.
解
(1)由于电场力作功与路径无关,若沿径向积分,则有
λ
rr
2
2
U12Edrln
r
12r
πε
01
(2)不能.严格地讲,电场强度
E
λ
2r
πε
0
e
r
只适用于无限长的均匀带电直线,而此时电荷分
布在无限空间,r→∞处的电势应与直线上的电势相等.
5-27两个同心球面的半径分别为R1和R2,各自带有电荷Q1和Q2.求:
(1)各区域电势分布,
并画出分布曲线;
(2)两球面间的电势差为多少?
分析通常可采用两种方法
(1)由于电荷均匀分布在球面上,电场分布也具有球对称性,因
此,可根据电势与电场强度的积分关系求电势.取同心球面为高斯面,借助高斯定理可求得
各区域的电场强度分布,再由
VEdl可求得电势分布.
(2)利用电势叠加原理求电势.
p
p
一个均匀带电的球面,在球面外产生的电势为
V
Q
4r
πε
0
在球面内电场强度为零,电势处处相等,等于球面的电势
V
Q
4R
πε
0
其中R是球面的半径.根据上述分析,利用电势叠加原理,将两个球面在各区域产生的电势
叠加,可求得电势的分布.
解1
(1)由高斯定理可求得电场分布
E
1
0r
R
1
E
2
Q
1
4r
πε
0
2
e
r
R
1
r
R
2
E
3
Q
Q
1
2
2
4πεr
0
e
r
r
R
2
由电势
VEdl可求得各区域的电势分布.
r
当r≤R1时,有
V
1
R
1
r
E
1
dl
R
2
R
1
E
2
dl
R
2
E
3
dl
0
Q
1
4
πε
0
1
R
1
1
R
2
Q
Q
1
2
4R
πε
02
Q
1
Q
2
4R
πε
01
4R
πε
02
当R1≤r≤R2时,有
V
2
R
2
r
Edl
2
R
2
E
3
dl
Q
1
11
Q
1
Q
2
4ε
π
0
r
R
2
4πεR
02
Q
1
Q
2
4r
πε
0
4R
πε
02
当r≥R2时,有
12
VEdl
34π
3
rr
ε
0
(2)两个球面间的电势差
U
12
Q11
R
2
1
Edl
2
R14πεRR
012
解2
(1)由各球面电势的叠加计算电势分布.若该点位于两个球面内,即r≤R1,则
12
V
14π4πεR
εR
0102
若该点位于两个球面之间,即R1≤r≤R2,则
12
V
24π4πεR
ε
r
002
若该点位于两个球面之外,即r≥R2,则
V
3
Q
Q
1
2
4ε
π
r
0
(2)两个球面间的电势差
11
UVVrR
124π4π
12
2εεR
R
0102
第六章静电场中的导体与电介质
6-1将一个带正电的带电体A从远处移到一个不带电的导体B附近,则导体B的电势将
()
(A)升高(B)降低(C)不会发生变化(D)无法确定
分析与解不带电的导体B相对无穷远处为零电势。
由于带正电的带电体A移到不带电的导
体B附近时,在导体B的近端感应负电荷;在远端感应正电荷,不带电导体的电势将高于无
穷远处,因而正确答案为(A)。
6-3如图所示将一个电量为q的点电荷放在一个半径为R的不带电的导体球附近,点电荷
距导体球球心为d,参见附图。
设无穷远处为零电势,则在导体球球心O点有()
(A)
E0,V
q
4πd
ε
0
(B)
E
V
2
4π0d4πd
εε
0
(C)E0,V0
(D)
E
V
2
4πε0d4πεR
0
分析与解达到静电平衡时导体内处处各点电场强度为零。
点电荷q在导
体球表面感应等量异号的感应电荷±q′,导体球表面的感应电荷±q′在球心O点激发的电势
为零,O点的电势等于点电荷q在该处激发的电势。
因而正确答案为(A)。
6-4根据电介质中的高斯定理,在电介质中电位移矢量沿任意一个闭合曲面的积分等于
这个曲面所包围自由电荷的代数和。
下列推论正确的是()
(A)若电位移矢量沿任意一个闭合曲面的积分等于零,曲面内一定没有自由电荷
(B)若电位移矢量沿任意一个闭合曲面的积分等于零,曲面内电荷的代数和一定等于零
(C)若电位移矢量沿任意一个闭合曲面的积分不等于零,曲面内一定有极化电荷
(D)介质中的高斯定律表明电位移矢量仅仅与自由电荷的分布有关
(E)介质中的电位移矢量与自由电荷和极化电荷的分布有关
分析与解电位移矢量沿任意一个闭合曲面的通量积分等于零,表明曲面
内自由电荷的代数和等于零;由于电介质会改变自由电荷的空间分布,介质中的电位移矢量
与自由电荷与位移电荷的分布有关。
因而正确答案为(E)。
6-5对于各向同性的均匀电介质,下列概念正确的是()
(A)电介质充满整个电场并且自由电荷的分布不发生变化时,电介质中的电场强度一定等
于没有电介质时该点电场强度的1/ε
r倍
(B)电介质中的电场强度一定等于没有介质时该点电场强度的1/ε
r倍
(C)在电介质充满整个电场时,电介质中的电场强度一定等于没有电介质时该点电场强度
的1/ε
r倍
(D)电介质中的电场强度一定等于没有介质时该点电场强度的ε
r倍
分析与解电介质中的电场由自由电荷激发的电场与极化电荷激发的电场迭加而成,由于极
化电荷可能会改变电场中导体表面自由电荷的分布,由电介质中的高斯定理,仅当电介质充
满整个电场并且自由电荷的分布不发生变化时,在电介质中任意高斯面S有
1
1χEdSEdSq
0i
Sε
S
0i
即E=E0/εr,因而正确答案为(A)。
6-8一导体球半径为R1,外罩一半径为R2的同心薄导体球壳,外球壳所带总电荷为Q,而
内球的电势为V
0.求此系统的电势和电场的分布.
分析若
Q
V,内球电势等于外球壳的电势,则外球壳内必定为等势体,电场强度
0
4εR
π
02
处处为零,内球不带电.
若
Q
V,内球电势不等于外球壳电势,则外球壳内电场强度不为零,内球带
0
4εR
π
02
电.一般情况下,假设内导体球带电q,导体达到静电平衡时电荷的分布如图所示.依照电
荷的这一分布,利用高斯定理可求得电场分布.并由
VEdl或电势叠加求出电势的
p
p
分布.最后将电场强度和电势用已知量V0、Q、R
1、R2表示.
解根据静电平衡时电荷的分布,可知电场分布呈球对称.取同心球面为高斯面,由高斯定
2/
EdSEr4rErqε,根据不同半径的高斯面内的电荷分布,解得各理π0
区域内的电场分布为
r<R
1时,E1r0
R1<r<R2时,
E
2
r
q
4εr
π
0
2
r>R2时,
E
2
r
Q
q
2
4εr
π
0
由电场强度与电势的积分关系,可得各相应区域内的电势分布.
r<R
1时,
V
1
r
Edl
R
1
r
Edl
1
R
2
R
1
E
2
dl
R
2
E
3
dl
q
4R
πε
01
Q
4R
πε
02
R1<r<R2时,
V
2
r
Edl
R
2
r
E
2
dl
R
2
E
3
dl
q
4r
πε
0
Q
4R
πε
02
r>R2时,
V
3
r
E3dl
q
Q
4r
πε
0
也可以从球面电势的叠加求电势的分布.在导体球内(r<R
1)
V
1
44εR
π
ε
Rπ
0102
在导体球和球壳之间(R1<r<R2)
V
2
4r4εR
πεπ
002
在球壳外(r>R2)
V
3
q
Q
4r
πε
0
由题意
V
1
V
0
44εR
ππ
ε
R
0201
得
V
1
V
0
4R4εR
πεπ
0201
代入电场、电势的分布得
r<R
1时,
E0;V1V0
1
R1<r<R2时,
RVRQ
101
E;
222
r4εRr
π
02
V
2
RV
10
r
(r
R
)Q
1
4Rr
πε
02
r>R2时,
RV(RR)Q
1021
E;
3
22
r4Rr
πε
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 电磁学 课后 习题 答案
![提示](https://static.bingdoc.com/images/bang_tan.gif)