圆心角和圆周角.docx
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圆心角和圆周角
课题
圆心角和圆周角
授课日期及时段
教学目的
1、澀解圆心角的概念,并掌握圆心角定理。
2、掌握圆心角左理的逆圧理这一圆的性质。
3、理解圆周角的概念及相关性质,并能运用相关性质解决有关问题。
教学内容
一、课前检测
1、下列说法不正确的是(C)
A.过一点可作无数个圆,那是因为圆心不确定,半径也不确定
B.过两个点可以画无数个圆,圆心在这两点连线段的中垂线上
C.过不在同一直线上的三个点只能画一个圆,圆心是这三点构成的三角形的三内角平分线的交点,叫做内心
D.过不在同一直线上的三个点只能画一个圆,圆心是这三点构成的三角形的三边中垂线的交点,叫做外心
2、在RtAABC中,AB二6,BC二8.那么这个三角形的外接圆直径是(D)
A.5或4D.10或8
3、如图,已知00的半径为5,弦AB二6,H是AB上任意一点,则线段0M的长可能是(C)
使DE二CD,那么点E的位
4、AB为的直径,C为00上一点,过C作CD丄AB于点D,延长CD至E,
程(B)
A.在O0内B.在00上C.在G>0外D.不能确泄5、如图,AB是半圆00的直径,E是BC的中点,0E交弦BC于点D.已知BC二8cm,DE二2cm,则AB的长为10cm.
6、填空:
如图,在00中,直径CD交弦AB(不是直径)于点E.⑴若CD丄AB,则有AE二BE、_AD=BD、_AC>BC_:
(2)若AE二EB,则有CD丄AB._AD^BD_、AC=BC_;
(3)若AC二BC,则有CD丄AB、AD三BD_.AE二BE•
二、知识梳理
(一)圆心角
把圆绕圆心旋转180o,所得的像与原图形重合,所以圆是中心对称图形,圆心就是它的对称中心。
由于圆上所有的点到圆心的距离都相等,所以把圆绕圆心旋转任意一个角度,所得的像都喝原图形重
厶口。
圆心角左义:
顶点在圆心的角叫做圆心角。
圆心角左理:
在冋圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对弦的弦心距也相等。
因为在同圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所以我们把lo圆心角所对的狐叫做lo的弧。
这样,no的圆心角所对的弧就是no的弧匚
圆心角泄理的推论:
在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条狐、两条弦,两个圆心距中有一对量相等,那么它们所对应的其余各对量都相等。
(二)圆周角
如右图,ZBAC的顶点在圆上,它的两边都和圆相交,像这样的角叫做圆周角。
圆周角建理:
一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半。
圆周角左理推论一:
半圆(或直径)所对的圆周角是直角:
90。
的圆周角所对的弦是直径。
圆周角左理推论二:
在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等;相等的圆周角所对的狐也相等。
3.重难点突破
例]、圆心角定理的证明
已知在同一个圆中,有两条弦,弦AB和弦CD,圆心角厶莎和NC〃之间的关系•旦SOB二NC0D
求证:
AB二CD,
证明:
VZA0B=ZC0D9OA=OB=OC=OD
由圆的旋转不变性及图形的旋转变换知识得,图中两个阴影部分重合•••点A与点C重合,点B与点D重合。
•••AB二CD,AB与CD重合。
两条圆弧相等。
记作:
“AB二CD”・
例2、如图,等边三角形ABC内接于连结OA,OB.OC.
(1)ZAOB、ZQOB、ZAOC分别为多少度
⑵延长A0,分别交BC于点P,弧BC于点D,连结BD,CD•判断三角形OB「D
是哪一种特殊三角形
丄3)判断.四边形BDCO是哪一种特殊四边形,并说明理由。
M)若00的半「径为r,求等边ABC三角形的边长
⑸若等边三角形ABC的边长r,求O0的半径为多少
当r二2时求圆的半径
解:
(1)TAB二BC=CA•••ZAOB=ZX:
0B=ZA0C=120o(圆心角定理)
(2)ZBOD二180o—ZAOB二180o—120o二60o,又VOB=OD,
/.AOBD为等边三角形.
(3)ZC0D=180o—ZA0C=180o—120o=60o・
/.AOCD也为等边三角形•••OB二OC二OD二CD,即四边形BDCO是菱形.
0”=丄0»=丄厂
(4)由菱形的性质,可得22
bp=Job?
一op?
门2=芈尸
BC=2BP=2送心血答:
等边三角形ABC的边长为屈.
(5)由(4)问中求得信息知,等边三角形边长和O0半径之比为、疗:
1等边三角形ABC的边长为r,
1
・••00半径为長
例3、⑴如图,顺次连结00的两条直径AC和BD的端点,所得的四边形是什么特殊四边形
⑵如果要把直径为30cm的圆柱形原木锯成一根横截而为正方形的木材,并使截面尽可能地大,应怎样锯最大横截面面积是多少
如果这根原木长15m,问锯出地木材地体积为多少立方米(树皮等损耗略去不计)
解:
如左图,所得的四边形是矩形,理由如下:
VAC,BD是00的两条直径,
.•.A0二0C二0B二0D,
.・.四边形ABCD是平行四边形.
又VAC=BD,
CABCD是矩形.
设原木的横截而为O0,如右图,在00中作两条互相垂直的直径AC和BD,依次连结AB,BC,CD,DA,则四边形ABCD是正方形.
沿正方形ABCD的四条边,就可以锯出截面为正方形的木材。
当原木的直径为30cm时,A0二B0二15cm,
4x-xAOxBO=4x—xl5xl5=450(c//?
2)正方形ABCD的而积为22
=4.50x10-2(/h2)
所以木材的体积为必°x1x15=0・675(〃F)
答:
锯岀木材的体积为0.675〃几例4、已知:
ZBOC,ZBAC分別是冋一条弧所对的圆心角和圆周角.
求证:
ZBAC=-ZBOC・
2
分析由于圆心有在圆周角内、圆周角外和圆周角的一条边上三类情况,因此需分別对三类不同情况给出证明.
证明:
(1)当圆心0在圆周角ZBAC的一条边AB上时(如下左图)
VOA=OC,
•••ZBAC=ZC,
VZBOC是ZiOAC的外角,
•••ZBOC二ZC+ZBAC二2ZBAC,
1
AZBAC=-ZBOC・
2
(2)当圆心0任圆周角ZBAC的内部时(如中图),连结A0并延长,交00于点D.利用
(1)的结果有
ZBAD二-ZBOD.ZDAC=-ZDOC,
22
•••ZBAD-ZDAC=丄(ZBOD+ZDOC),
2
即ZBAC二丄ZBOC.
2
(3)当圆心0在圆周角ZBAC的外部时(如右图),连结A0并延长交交00于点D.利用
(1)的结果有
11
ZDAC=-ZDOC,ZDAB二一ZD0B,
22
•••ZDAC-ZDAB二二丄(ZDOC-ZDOB),
2
例5、已知:
如图,在AABC中,®AC,以AB为直径的圆交BC于点D,交AC于点E.求证:
BD二DE分析要证明BD二DE,只要证明ZBAD二ZCAD,即AD是ZBAC的平分线,因此问题就化归为证明AD是
BC边上的高,这可由AB是圆的直径得到.
证明:
连结AD・
(1)⑵
TAB是圆的直径,点D在圆上,
・••ZADB是直角,
AAD是AABC的边BC上的髙.
•/AABC是等腰三角形,
••.AD也是ZBAC的平分线,
ZBAD^ZCAD,
・・.BD二DE(在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等).
例6、船在航行过程中,船长常常通过测左角度来确左是否会遇到暗确.如下图,£、万表示灯塔,暗礁分布在经过月、万两点的一个圆形区域内,Q表示一个危险临界点,么川饬就是''危险角”.当船与两个灯塔的夹角大于“危险角”时,就有可能触礁;当船与两个灯塔的夹角小于“危险角”时,就能避免触礁..
(1)当船与两个灯塔的夹角Z"大于'‘危险角”时,船位于哪个区域为什么
(2)当船与两个灯塔的夹角Z"小于“危险角”时,船位于哪个区域为什么
分析:
这是一个有实际背景的问题.由题意可知:
'‘危险角”仿实际上就是圆周角.船尸与两个灯塔的夹角为Z«,尸有可能在00外,尸有可能在00内,当乙心乙C时,船位于暗礁区域内;当乙*乙C时,船位于暗礁区域外,我们可采用反证法进行论证.
解:
(1)当船与两个灯塔的夹角Z"大于“危险角”ZQ时,船位于暗礎区域内(即OQ内).理由是:
连结眩假设船在上,则有z«=zc,这与me矛盾,所以船不可能在上;假设船在00外,则有乙aVZAEB、即Z« (2)当船与两个灯塔的夹角Z"小于“危险角”ZQ时,船位于暗礁区域外(即00外).理由是: 假设船在。 0上,则有Z«=ZC这与Z乙C矛盾,所以船不可能在Z0上;假设船在00内,则有Z«>ZAEB,即Z«>ZC.这与乙(Y乙C矛盾,所以船不可能在内,因此船只能位于。 0外. 四、课堂练习 1、若O0的弦AB的长为8cm,0到AB的距离为4JJem,则弦AB所对的圆心角为 60°_. 2、如图,在半径为2cm的00中有长为2>/3cm的弦AB,则弦AB所对的圆心角的 度数为(c) A.60°B・90° C.120°D.150° 3.如图,在00中,已知AB=BC,且AB: AmC二3: 4 解: TAB二BC : .AB二AC 又VAB: AmC=3: 4, 4 AAmC=360°X二144° 求ZA0C的度数. 3+4+3 6、如图,00是AABC的外接圆,AO丄BC于F,D为品的中点,E是BA延长线上 (第2題) &如图,BC为半圆0的直径,AD丄BC,垂足为D,过点B作弦BF交AD于点E,交半圆0于点F,弦AC与BF交于点H,且AE二BE. 求证: (1)AB=AF: (2)AH? BC二2AB? BE・ 证明: (1)VAE=BE, •••ZBAD二ZABE, TBC是直径,AD丄BC, AZADB=ZBAC=90°, AZABD-ZBAD=ZABC+ZC=90°, •••ZBAD二ZC, •••ZC=ZABF,•••AB二AF: (2)TZC二ZABF, RtAABH^RtAACB, •••AH: AB二BH: BC,即AH? BC二AB? BH, •••ZEAH・ZBAD二ZAHB+ZABH二90°•ZBAD二ZABE,•••ZEAH二ZAHB, •••AE二EH二BE二12BH, .\AH? BC=2AB? BE. 五、课堂小结 这节课主要学习了圆心角和圆周角的相关知识,对圆心角和圆周角的概念有了一个掌握,也学习了二者之间的关系,苴中的重难点就是圆心角和圆周角定理以及它们的推论,学生在做题中遇到关于圆心角、圆周角的问题,要明确题中给出了哪些有用条件,观察符合定理、推论中的哪些条件组,进行联系然后解题。 对圆心角及苴推论、圆周角及其推论要分淸,下而就是这些圧理及推论的具体表述。 圆心角泄理: 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等. 圆心角左理推论: 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦,两个圆心距中有一对量相等,那么它们所对应的其余各对量都相等。 圆周角左理: 一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半。 推论一: 半圆(或直径)所对的圆周角是直角: 90。 的圆周角所对的弦是直径。 推论二: 在同圆或等圆中,同弧或等孤所对的圆周角相等: 相等的圆周角所对的弧也相等 六、课后作业 1.顶点在圆心的角叫做圆心角角. 2.在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弦相等,所对的弧相等,所对的弦 的弦心距相等. 3.呱的度数和鬪心角的度数相等. 4.以菱形ABCD的一个顶点A为圆心,以边AB长为半径画图,被菱形截得的BD是40°,则菱形的一个钝角是(A) A.140°B.160°D.150° 5.如图,在AABC中,ZBAC二90°,以AB为直径画圆,交BC于点D. 如果CD二BD,则AD等于(D) B.45°C.60°D.90° C. 则ZBOC=度 如图,AB、AC为00的两条弦,延长CA到D,使AD二AB,如果ZADB=35°,解析: AABD中,AB=AD,贝ij: ZABD二ZD二35°; AZBAC=2ZD=70°; •••ZBOC二2ZBAC二140°• c' 6.如图,AABC是(DO的内接三角形,ZB二55°,P点在弧AC上移动,从 点C开始运动到点A停止,设ZP0C二a,则a的变化范围是 解析: 连接0A;/ 则: ZA0C=2ZB=110°;\ 故a的变化范围是0°WaWllO。 7.AB为的直径,C、D为半圆AB上两点,且弧AC.弧G弧DB的度数的比为3: 2: 5,则Z AOO°,乙C0H。 乙DOB° 答案: 54,36',90. 8.已知,A,B,C是00上的三点,ZA0C=100°,则ZABC=50? 9.如图,在0別」,OA^A^BC.且OS丄万G则呱助和弧Df的度数分别是() A.15°、15°B.15°.30° D.30°、15°D・22°30’、22°30f 答案: C. C、D、醐是O0上的点,AB^BOCD.Z必4130° 求ZAED{\勺度数. 答案: 故AB=BC=CD.Z万0130°•故BAQ的度数为260° 12.如图,四边形月反0内接于0Q若Z567^100°,则Z磁等于( A.100°B.160°C.80°D.120° 答案: 80400°. 13. 在00中,己知ZAOB^lOO0,C为AB的中点,D在圆上,则ZADC二25° 14.如图,AB,AC是00的两条弦,且AB二AC.延长CA到点D・使AD二AC,连结DB并延长,交00于 点E.求证: CE是。 0的直径・证明: 连接CB,AB, •・•点C为劣弧AB上的中点, ACE平分ZAED, •••CB二CA, VCD=CA, AABD是直角三角形 •••即ZABE二90°, •••AE是00的直径; 15.如图,AB,AC是00的两条弦,且AB=AC,D是上一点,P是AC 上一点,若ZBDC二150: 则ZAPC=1Q5: ・
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