高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语13简单的逻辑联结词全称量词与存在量词学案理.docx
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高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语13简单的逻辑联结词全称量词与存在量词学案理
【2019最新】精选高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语1-3简单的逻辑联结词全称量词与存在量词学案理
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考点1 含有逻辑联结词的命题及其真假判断
简单的逻辑联结词
(1)命题中的________、________、________叫做逻辑联结词.
(2)命题p∧q,p∨q,綈p的真假判定:
p
q
p∧q
p∨q
綈p
真
真
________
________
________
真
假
________
________
________
假
真
________
________
________
假
假
________
________
________
答案:
(1)且 或 非
(2)真 真 假 假 真 假 假 真 真 假 假 真
(1)[教材习题改编]命题“28是7的倍数也是2的倍数”含有逻辑联结词________,是________命题.(填“真”或“假”)
答案:
且 真
解析:
这是一个p∧q型命题,若p,q都是真命题,则p∧q是真命题,所以“28是7的倍数也是2的倍数”是真命题.
(2)[教材习题改编]若p:
y=2x是偶函数,q:
y=2x是递增函数,则命题p∨q是________命题,命题p∧q是________命题(填“真”或“假”).
答案:
真 假
含逻辑联结词的命题真假的判断方法:
真值表法.
已知命题p:
∃x0∈R,x+≤2,命题q是命题p的否定,则命题p,q,p∧q,p∨q中是真命题的是________.
答案:
p,p∨q
解析:
当x0=1时,x+=2,所以p是真命题,则q是假命题,p∧q是假命题,p∨q是真命题.
[典题1]
(1)在一次跳伞训练中,甲、乙两位学员各跳一次.设命题p是“甲降落在指定范围”,q是“乙降落在指定范围”,则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )
A.(綈p)∨(綈q)B.p∨(綈q)
C.(綈p)∧(綈q)D.p∨q
[答案] A
[解析] 解法一:
命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”包含以下三种情况:
“甲、乙均没有降落在指定范围”“甲降落在指定范围,乙没有降落在指定范围”“乙降落在指定范围,甲没有降落在指定范围”,故可表示为(綈p)∨(綈q).
解法二:
命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”等价于命题“甲、乙均降落在指定范围”的否定,即“p∧q”的否定.故选A.
(2)已知命题p:
函数y=e|x-1|的图象关于直线x=1对称,q:
函数y=cos的图象关于点对称,则下列命题中是真命题的为( )
A.p∧qB.p∧(綈q)
C.(綈p)∧qD.(綈p)∧(綈q)
[答案] A
[解析] 函数y=e|x-1|的图象如图所示.
所以其图象关于直线x=1对称,所以命题p正确;
y=cos=0,所以函数y=cos的图象关于点对称,
所以命题q正确,所以“p∧q”正确.
[点石成金] 1.判断含有逻辑联结词命题真假的步骤
2.“或”——一真即真,“且”——一假即假,“非”——真假相反.
考点2 全(特)称命题的否定及其真假判定
1.全称量词和存在量词
(1)全称量词有“所有的,任意一个,任给一个”,用符号“________”表示;存在量词有“存在一个,至少有一个,有些”,用符号“________”表示.
(2)含有全称量词的命题,叫做全称命题.“对M中任意一个x,有p(x)成立”用符号简记为:
____________.
(3)含有存在量词的命题,叫做特称命题.“存在M中元素x0,使p(x0)成立”用符号简记为:
____________.
答案:
(1)∀ ∃
(2)∀x∈M,p(x) (3)∃x0∈M,p(x0)
2.含有一个量词的命题的否定
命题
命题的否定
∀x∈M,p(x)
________________
∃x0∈M,p(x0)
________________
答案:
∃x0∈M,綈p(x0) ∀x∈M,綈p(x)
(1)[教材习题改编]命题“∃x0∈R,x+2x0+3=0”中含有________量词,其否定是____________________________.
答案:
存在 ∀x∈R,x2+2x+3≠0
解析:
这是一个特称命题,特称命题的否定是全称命题,将存在量词改为全称量词,再将结论否定,所以,命题的否定是“∀x∈R,x2+2x+3≠0”.
(2)[教材习题改编]命题“∀x∈R,x2+x+1>0”的否定为________.
答案:
∃x0∈R,x+x0+1≤0
特称命题为真的判断方法:
只要找到一个对象使结论成立即可.
命题p:
∃x0∈R,2x0<x,则命题p为________命题.(填“真”或“假”)
答案:
真
解析:
当x0=3时,23<32,故命题p为真命题.
[考情聚焦] 全称命题与特称命题是高考的常考内容,题型多为选择题,难度较小,属容易题.
主要有以下几个命题角度:
角度一
全称命题、特称命题的否定
[典题2]
(1)已知命题p:
∃x0∈R,sinx0<x0,则綈p为( )
A.∃x0∈R,sinx0=x0
B.∀x∈R,sinx<x
C.∃x0∈R,sinx0≥x0
D.∀x∈R,sinx≥x
[答案] D
[解析] 原命题为特称命题,故其否定为全称命题,即綈p:
∀x∈R,sinx≥x.
(2)命题“对任意x∈R,都有x2≥ln2”的否定为( )
A.对任意x∈R,都有x2 B.不存在x∈R,都有x2 C.存在x0∈R,使得x≥ln2 D.存在x0∈R,使得x [答案] D [解析] 按照“任意”改“存在”,结论变否定的模式,应该为“存在x0∈R,使得x (3)命题“全等三角形的面积一定都相等”的否定是( ) A.全等三角形的面积不一定都相等 B.不全等三角形的面积不一定都相等 C.存在两个不全等三角形的面积相等 D.存在两个全等三角形的面积不相等 [答案] D [解析] 命题是省略量词的全称命题.故选D. [点石成金] 全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别,否定全称命题和特称命题时,一是要改写量词,全称量词改写为存在量词,存在量词改写为全称量词;二是要否定结论,而一般命题的否定只需直接否定结论即可.另外,对于省略量词的命题,应先挖掘命题中的隐含的量词,改写成含量词的完整形式,再写出命题的否定. 角度二 全称命题、特称命题的真假判断 [典题3] (1)下列命题中的假命题是( ) A.∀x∈R,2x-1>0 B.∀x∈N*,(x-1)2>0 C.∃x0∈R,lnx0<1 D.∃x0∈R,tanx0=2 [答案] B [解析] 因为2x-1>0,对∀x∈R恒成立,所以A是真命题;当x=1时,(x-1)2=0,所以B是假命题;存在0 (2)已知命题p: ∀x>0,x+≥4;命题q: ∃x0∈(0,+∞),2x0=,则下列判断正确的是( ) A.p是假命题 B.q是真命题 C.p∧(綈q)是真命题 D.(綈p)∧q是真命题 [答案] C [解析] 当x>0时,x+≥2=4,p是真命题;当x>0时,2x>1,q是假命题,所以p∧(綈q)是真命题,(綈p)∧q是假命题. [点石成金] 1.全称命题真假的判断方法 (1)要判断一个全称命题是真命题,必须对限定的集合M中的每一个元素x,证明p(x)成立. (2)要判断一个全称命题是假命题,只要能举出集合M中的一个特殊值x=x0,使p(x0)不成立即可. 2.特称命题真假的判断方法 要判断一个特称命题是真命题,只要在限定的集合M中,找到一个x=x0,使p(x0)成立即可,否则这一特称命题就是假命题. 考点3 与逻辑联结词、全(特)称命题有关的参数问题 [典题4] 已知命题p: 关于x的不等式ax>1(a>0,a≠1)的解集是{x|x<0},命题q: 函数y=lg(ax2-x+a)的定义域为R,如果“p∨q”为真命题,“p∧q”为假命题,求实数a的取值范围. [解] 由关于x的不等式ax>1(a>0,a≠1)的解集是{x|x<0},知0<a<1; 由函数y=lg(ax2-x+a)的定义域为R, 知不等式ax2-x+a>0的解集为R, 则解得a>. 因为p∨q为真命题,p∧q为假命题, 所以p和q一真一假,即“p假q真”或“p真q假”, 故或 解得a≥1或0 故实数a的取值范围是∪[1,+∞). [题点发散1] 本例条件不变,若“p∧q”为真,则a的取值范围为________. 答案: 解析: 由“p∧q”为真,知p,q都为真.∴a的取值范围为. [题点发散2] 在本例条件下,若命题“q∨(p∧q)”为真,綈p为真,求实数a的取值范围. 解: 由命题q∨(p∧q)为真、綈p为真,知p假,q真, p假: a≤0或a≥1;q真: a>. ∴实数a的取值范围为[1,+∞). [题点发散3] 若本例条件变为: 已知命题p: “∀x∈[0,1],a≥ex”;命题q: “∃x0∈R,使得x+4x0+a=0”.若命题“p∧q”是真命题,求实数a的取值范围. 解: 若命题“p∧q”是真命题,那么命题p,q都是真命题. 由∀x∈[0,1],a≥ex,得a≥e; 由∃x0∈R,使x+4x0+a=0, 知Δ=16-4a≥0,a≤4,因此e≤a≤4. 则实数a的取值范围为[e,4]. [点石成金] 根据命题真假求参数的方法步骤 (1)先根据题目条件,推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况); (2)然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围; (3)最后根据每个命题的真假情况,求出参数的取值范围. [2017·河北武邑中学高三上期末]命题“∃x0∈R,asinx0+cosx0≥2”为假命题,则实数a的取值范围是________. 答案: (-,) 解析:
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