33剖析几何概型的五类重要题型.docx
- 文档编号:18094663
- 上传时间:2023-08-13
- 格式:DOCX
- 页数:11
- 大小:70.61KB
33剖析几何概型的五类重要题型.docx
《33剖析几何概型的五类重要题型.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《33剖析几何概型的五类重要题型.docx(11页珍藏版)》请在冰点文库上搜索。
33剖析几何概型的五类重要题型
剖析几何概型的五类重要题型
解决几何概型问题首先要明确几何概型的定义,掌握几何概型中事件A的概率计算公式:
.其次要学会构造随机事件对应的几何图形,利用图形的几何度量来求随机事件的概率.
1.几何概型的两个特征:
(1)试验结果有无限多;
(2)每个结果的出现是等可能的.
事件A可以理解为区域
的某一子区域,事件A的概率只与区域A的度量(长度、面积或体积)成正比,而与A的位置和形状无关.
2..解决几何概型的求概率问题
关键是要构造出随机事件对应的几何图形,利用图形的几何度量来求随机事件的概率.
3.用几何概型解简单试验问题的方法
(1)适当选择观察角度,把问题转化为几何概型求解.
(2)把基本事件转化为与之对应的总体区域D.
(3)把随机事件A转化为与之对应的子区域d.
(4)利用几何概型概率公式计算.
4.均匀随机数
在一定范围内随机产生的数,其中每一个数产生的机会是一样的,通过模拟一些试验,可以代替我们进行大量的重复试验,从而求得几何概型的概率.一般地.利用计算机或计算器的rand()函数可以产生0~1之间的均匀随机数.a~b之间的均匀随机数的产生:
利用计算机或计算器产生0~1之间的均匀随机数x=rand(),然后利用伸缩和平移变换x=rand()*(b-a)+a,就可以产生[a,b]上的均匀随机数,试验的结果是产生a~b之间的任何一个实数,每一个实数都是等可能的.
5.均匀随机数的应用
(1)用随机模拟法估计几何概率;
(2)用随机模拟法计算不规则图形的面积.
下面举几个常见的几何概型问题.
一.与长度有关的几何概型
例1如图,A,B两盏路灯之间长度是30米,由于光线较暗,想在其间再随意安装两盏路灯C,D,问A与C,B与D之间的距离都不小于10米的概率是多少?
思路点拨从每一个位置安装都是一个基本事件,基本事件有无限多个,但在每一处安装的可能性相等,故是几何概型.
解记E:
“A与C,B与D之间的距离都不小于10米”,把AB三等分,由于中间长度为30×
=10米,
∴
.
方法技巧我们将每个事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点,该区域中每一点被取到的机会都一样,而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点,这样的概率模型就可以用几何概型来求解.
二.与面积有关的几何概型
例2如图,射箭比赛的箭靶涂有五个彩色的分环.从外向内依次为白色、黑色、蓝色、红色,靶心为金色.金色靶心叫“黄心”.奥运会的比赛靶面直径为122cm,靶心直径为12.2cm.运动员在70m外射箭.假设运动员射的箭都能中靶,且射中靶面内任一点都是等可能的,那么射中黄心的概率为多少?
思路点拨此为几何概型,只与面积有关.
解记“射中黄心”为事件B,由于中靶点随机地落在面积为
的大圆内,而当中靶点落在面积为
的黄心时,事件B发生,于是事件B发生的概率为
.
即:
“射中黄心”的概率是0.01.
方法技巧事件的发生是“击中靶心”即“黄心”的面积;总面积为最大环的圆面积.
三.与体积有关的几何概型
例3.在区间[0,l]上任取三个实数x.y.z,事件A={(x,y,z)|x2+y2+z2<1,x≥0,y≥0,z≥0}
(1)构造出随机事件A对应的几何图形;
(2)利用该图形求事件A的概率.
思路点拨:
在空间直角坐标系下,要明确x2+y2+z2<1表示的几何图形是以原点为球心,半径r=1的球的内部.事件A对应的几何图形所在位置是随机的,所以事件A的概率只与事件A对应的几何图形的体积有关,这符合几何概型的条件.
解:
(1)A={(x,y,z)|x2+y2+z2<1,x≥0,y≥0,z≥0}表示空间直角坐标系中以原点为球心,半径r=1的球的内部部分中x≥0,y≥0,z≥0的部分,如图所示.
(2)由于x,y,z属于区间[0,1],当x=y=z=1时,为正方体的一个顶点,事件A为球在正方体内的部分.
∴
.
方法技巧:
本例是利用几何图形的体积比来求解的几何概型,关键要明白点P(x,y,z)的集合所表示的图形.从本例可以看出求试验为几何概型的概率,关键是求得事件所占区域和整个区域
的几何度量,然后代入公式即可解,另外要适当选择观察角度.
四.求会面问题中的概率
例4两人约定在20:
00到21:
00之间相见,并且先到者必须等迟到者40分钟方可离去,如果两人出发是各自独立的,在20:
00到21:
00各时刻相见的可能性是相等的,求两人在约定时间内相见的概率.
思路点拨两人不论谁先到都要等迟到者40分钟,即
小时.设两人分别于x时和y时到达约见地点,要使两人在约定的时间范围内相见,当且仅当-
≤x-y≤
,因此转化成面积问题,利用几何概型求解.
解设两人分别于x时和y时到达约见地点,要使两人能在约定时间范围内相见,
当且仅当-
≤x-y≤
.
两人到达约见地点所有时刻(x,y)的各种可能结果可用图中的单位正方形内(包括边界)的点来表示,两人能在约定的时间范围内相见的所有时刻(x,y)的各种可能结果可用图中的阴影部分(包括边界)来表示.
因此阴影部分与单位正方形的面积比就反映了两人在约定时间范围内相遇的可能性的大小,也就是所求的概率为
.
方法技巧会面的问题利用数形结合转化成面积问题的几何概型.难点是把两个时间分别用x,y两个坐标表示,构成平面内的点(x,y),从而把时间是一段长度问题转化为平面图形的二维面积问题,转化成面积型几何概型问题.
五.均匀随机数的应用
例5利用随机模拟方法计算图中阴影部分(由曲线y=2x与x轴、x=±1围成的部分)面积.
思路点拨不规则图形的面积可用随机模拟法计算.
解
(1)利用计算机产生两组[0,1]上的随机数,a1=rand(),b1=rand().
(2)进行平移和伸缩变换,a=(a1-0.5)*2,b=b1*2,得到一组[0,2]上的均匀随机数.
(3)统计试验总次数N和落在阴影内的点数N1.
(4)计算频率
,则
即为落在阴影部分的概率的近似值.
(5)利用几何概型公式得出点落在阴影部分的概率
(6)因为
=
所以S=
即为阴影部分的面积.
方法技巧根据几何概型计算公式,概率等于面积之比,如果概率用频率近似在不规则图形外套上一个规则图形,则不规则图形的面积近似等于规则图形面积乘以频率.而频率可以通过随机模拟的方法得到,从而求得不规则图形面积的近似值.
几何概型的常见题型及典例分析
一.几何概型的定义
1.定义:
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称几何概型. 2.特点:
(1)无限性,即一次试验中,所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个;
(2)等可能性,即每个基本事件发生的可能性均相等. 3.计算公式:
.)(积)
的区域长度(面积或体试验的全部结果所构成积)
的区域长度(面积或体构成事件AAP
说明:
用几何概率公式计算概率时,关键是构造出随机事件所对应的几何图形,并对几何图形进行度量. 4.古典概型和几何概型的区别和联系:
(1)联系:
每个基本事件发生的都是等可能的.
(2)区别:
①古典概型的基本事件是有限的,几何概型的基本事件是无限的;
②两种概型的概率计算公式的含义不同.
二.常见题型
(一)、与长度有关的几何概型
例1、在区间]1,1[上随机取一个数x,2
cosx
的值介于0到
2
1
之间的概率为( ).
A.31 B.
2 C.21 D.32
分析:
在区间]1,1[上随机取任何一个数都是一个基本事件.所取的数是区间]1,1[的任意一个数,基本事件是无限多个,而且每一个基本事件的发生都是等可能的,因此事件的发生的概率只与自变量x的取值范围的区间长度有关,符合几何概型的条件.
解:
在区间]1,1[上随机取一个数x,即[1,1]x时,要使cos2
x
的值介于0到
21之间,需使223x或322
x
∴213x或213x,区间长度为3
2
,
由几何概型知使cos2x的值介于0到2
1
之间的概率为
3
1232
度所有结果构成的区间长符合条件的区间长度P. 故选A.
例2、 如图,A,B两盏路灯之间长度是30米,由于光线较暗,想在其间再随意安装两盏路灯C,D,问A与C,B与D之间的距离都不小于10米的概率是多少?
思路点拨 从每一个位置安装都是一个基本事件,基本事件有无限多个,但在每一处安装的可能性相等,故是几何概型.
解 记 E:
“A与C,B与D之间的距离都不小于10米”,把AB三
等分,由于中间长度为30³3
1
=10米,
∴3
13010)(
EP. 方法技巧 我们将每个事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点,该区域中每一点被取到的机会都一样,而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点,这样的概率模型就可以用几何概型来求解.
例3、在半径为R的圆内画平行弦,如果这些弦与垂直于弦的直径的交点在该直径上的位置是等可能的,求任意画的弦的长度不小于R的概率。
思考方法:
由平面几何知识可知,垂直于弦的直径平分这条弦,所以,题中的等可能参数是平行弦的中点,它等可能地分布在于平行弦垂直的直径上(如图1-1)。
也就是说,样本空间所对应的区域G是一维空
间(即直线)上的线段MN,而有利场合所对
应的区域GA是长度不小于R的平行弦的中点K所在的区间。
[解法1].设EF与E1F1是长度等于R的两条弦,
KKK1图1-2图1-1
OOMNE
FM
NEF
E1F1
直径MN垂直于EF和E1F1,与他们分别相交于K和K1(图1-2)。
依题设条件,样本空间所对应的区域是直径MN,有L(G)=MN=2R,注意到弦的长度与弦心距之间的关系比,则有利场合所对对应的区域是KK1,有
2
21()2232KRLGKKOKRR
以几何概率公式得()33
()22
ALGRPLGR
。
[解法2].如图1-1所示,设园O的半径为R, EF为诸平行弦中的任意一
条,直径MN弦EF,它们的交点为K,则点K就是弦EF的中点。
设OK=x,则 x [-R,R], 所以 L(G)=2R
设事件A为“任意画的弦的长度不小于R”,则A的有利场合是
222RXR, 解不等式,得 3
x2
R
所以 3()232ALGRR 于是 33
()22
RPAR
[评注] 本题结构比较简单,题中直接给出了等可能值参数;样本空间和
有利场合所对应的区域,从图上都可以直接看出。
两种解法各有特色,解法1充分利用平面几何知识,在本题似较简便,解法2引进变量x把代数知识和几何知识有机的结合起来,从表面上看解题过程不甚简便,但确具有推广价值,这种方法可以求解复杂的几何概率问题。
例4、 在长为12cm的线段AB上任取一点M,并以线段AM为边作正方形,求这个正方形的面积介于36cm2 与81cm2之间的概率.
分析:
正方形的面积只与边长有关,因此,此题可以转化为在12cm长的线段AB上任取一点M,求使得AM的长度介于6cm与9cm之间的概率.
解:
记“面积介于36cm2 与81cm2
之间”为事件A,事件A的概率等价于
“长度介于6cm与9cm之间”的概率,所以,P(A)= 9-6/12=
1/4
小结:
解答本例的关键是,将正方形的面积问题先转化为与边长的关系。
小赵欲在国庆六十周年之后从某车站乘车外出考察,已知该站发往各站的客车均每小时一班,求小赵等车时间不多于10分钟的概率.
分析:
因为客车每小时一班,而小赵在0~60分钟之间任何一个时刻到车站等车是等可能的, 所以他在哪个时间段到站等车的概率只与该时间段的长度有关,而与该时间段的位置无关,这符合几何概型的条件,且属于几何概型中的长度类型.
解析:
设A={等待的时间不多于10分钟},我们所关心的事件A恰好是到站等车的时刻位于[50,60]这一时间段内,而事件的总体是整个一小时,即60分钟,因此,由几何概型的概率公式,得P(A)= 60-50/60=1/6
,即此人等车时间不多于10分钟的概率为1/6
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 33 剖析 几何 重要 题型