函数的图像.docx
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函数的图像.docx
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函数的图像
函数的图像
适用学科
高中数学
适用年级
高中三年级
适用区域
通用
课时时长(分钟)
60
知识点
基本初等函数的图像,图像的性质及变换,图像的应用.
教学目标
1.考查基本初等函数的图像;2.考查图像的性质及变换;3.考查图像的应用.
教学重点
1.会画一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数的图像;
2.掌握常见的平移、伸缩、对称三种图像变换;
3.利用图像解决一些方程解的个数,不等式解集等问题,巩固数形结合思想
教学难点
1.会画一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数的图像;
2.掌握常见的平移、伸缩、对称三种图像变换;
3.利用图像解决一些方程解的个数,不等式解集等问题,巩固数形结合思想
教学过程
1、课程导入
1.作图要准确、要抓住关键点.
2.当图形不能准确地说明问题时,可借助“数”的精确,注重数形结合的数学思想方法的运用.
二、复习预习
1.数形结合的思想方法是学习函数内容的一条主线,也是高考考查的热点.作函数图像首先要明确函数图像的形状和位置.
2.图像的每次变换都针对自变量而言,如从f(-2x)的图像到f(-2x+1)的图像是向右平移
个单位.其中的x变成x-
.
3.要理解一个函数的图像自身的对称性和两个不同函数图像对称关系的不同.
三、知识讲解
考点1.描点法作图
方法步骤:
(1)确定函数的定义域;
(2)化简函数的解析式;(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势);(4)描点连线,画出函数的图像.
考点2.图像变换
(1)平移变换
(2)对称变换
①y=f(x)
y=-f(x);
②y=f(x)
y=f(-x);
③y=f(x)
y=-f(-x);
④y=ax(a>0且a≠1)
y=logax(a>0且a≠1).
(3)翻折变换
①y=f(x)
y=|f(x)|.
②y=f(x)
y=f(|x|).
(4)伸缩变换
①y=f(x)
y=f(ax).
②y=f(x)
y=af(x).
四、例题精析
题型一 作函数图像
例1 分别画出下列函数的图像:
(1)y=|lgx|;
(2)y=2x+2;
(3)y=x2-2|x|-1;(4)y=
.
【规范解答】
(1)y=
图像如图①.
(2)将y=2x的图像向左平移2个单位.图像如图②.
(3)y=
.图像如图③.
(4)因y=1+
,先作出y=
的图像,将其图像向右平移1个单位,再向上平移1个单位,即得y=
的图像,如图④.
【总结与反思】
(1)熟练掌握几种基本函数的图像,如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y=x+
的函数;
(2)掌握平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等常用的方法技巧,来帮助我们简化作图过程.
【举一反三】作出下列函数的图像:
(1)y=|x-2|(x+1);
(2)y=10|lgx|.
【解析】
(1)当x≥2,即x-2≥0时,
y=(x-2)(x+1)=x2-x-2=
2-
;当x<2,即x-2<0时,
y=-(x-2)(x+1)=-x2+x+2=-
2+
.
∴y=
这是分段函数,每段函数的图像可根据二次函数图像作出(如图).
(2)当x≥1时,lgx≥0,y=10|lgx|=10lgx=x;
当0 = . ∴y= 这是分段函数,每段函数的图像可根据正比例函数或反比例函数图像作出(如图). 题型二 识图、辨图 例2 函数f(x)=1+log2x与g(x)=21-x在同一直角坐标系下的图像大致是( ) 【规范解答】 f(x)=1+log2x的图像由函数f(x)=log2x的图像向上平移一个单位而得到,所以函数图像经过(1,1)点,且为单调增函数,显然,A项中单调递增的函数经过点(1,0),而不是(1,1),故不满足; 函数g(x)=21-x=2× x,其图像经过(0,2)点,且为单调减函数,B项中单调递减的函数与y轴的交点坐标为(0,1),故不满足;D项中两个函数都是单调递增的,故也不满足.综上所述,排除A,B,D.故选C. 【总结与反思】 函数图像的识辨可从以下方面入手: (1)从函数的定义域,判断图像的左右位置;从函数的值域,判断图像的上下位置; (2)从函数的单调性,判断图像的变化趋势; (3)从函数的奇偶性,判断图像的对称性; (4)从函数的周期性,判断图像的循环往复; (5)从函数的特征点,排除不合要求的图像. 【举一反三】 (1)函数y=x+cosx的大致图像是( ) (2)定义在R上的偶函数f(x)的部分图像如图所示,则在(-2,0)上,下列函数中与f(x)的单调性不同的是( ) A.y=x2+1 B.y=|x|+1 C.y= D.y= 【答案】 (1)B (2)C 【解析】 (1)∵y′=1-sinx≥0, ∴函数y=x+cosx为增函数,排除C. 又当x=0时,y=1,排除A, 当x= 时,y= ,排除D.∴选B. (2)f(x)在(-2,0)上为减函数,可逐个验证. 题型三 函数图像的应用 例3 已知函数f(x)=|x2-4x+3|. (1)求函数f(x)的单调区间,并指出其增减 (2)求集合M={m|使方程f(x)=m有四个不相等的实根}. 思维启迪: 利用函数的图像可直观得到函数的单调性,方程解的问题可转化为函数图像交点的问题. 【规范解答】f(x)= 作出函数图像如图. (1)函数的增区间为[1,2],[3,+∞); 函数的减区间为(-∞,1],[2,3]. (2)在同一坐标系中作出y=f(x)和y=m的图像,使两函数图像有四个不同的交点(如图). 由图知0 【总结与反思】 (1)利用图像,可观察函数的对称性、单调性、定义域、值域、最值等性质. (2)利用函数图像可以解决一些形如f(x)=g(x)的方程解的个数问题. 【举一反三】 (1)已知函数y=f(x)的周期为2,当x∈[-1,1]时f(x)=x2,那么函数y=f(x)的图像与函数y=|lgx|的图像的交点共有( ) A.10个B.9个 C.8个D.1个 (2)直线y=1与曲线y=x2-|x|+a有四个交点,则a的取值范围是________. 【答案】 (1)A (2)1 【解析】 (1)观察图像可知,共有10个交点. (2)y= 作出图像,如图所示. 此曲线与y轴交于(0,a)点,最小值为a- ,要使y=1与其有四个交点,只需a-
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