解直角三角形在实际生活中应用.docx
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解直角三角形在实际生活中应用
解直角三角形在实际生活中的应用
山东李浩明
在现实生活中,有许多和解直角三角形有关的实际问题,如航海航空、建桥修路、测
量技术、图案设计等,解决这类问题其关键是把具体问题抽象成“直角三角形”模型,利
用直角三角形的边角关系以及勾股定理来解决•下面举例说明,供大家参考.
一、航空问题
例1.(2008年桂林市)汶川地震后,抢险队派一架直升飞机去A、B两个村庄抢险,
飞机在距地面450米上空的P点,测得A村的俯角为30,B村的俯角为60(如图1)•求
A、B两个村庄间的距离.(结果精确到米,参考数据.2=1.414,3=1.732)
分析:
要求A、B两个村庄间的距离,由题意知AB=PB,在Rt△PBC中,可求得
-PBC=60,又因为PC=450,所以可通过解直角三角形求得PB.
解:
根据题意得:
•A=30,■PBC=60,所以.APB=60-30,所以
/APB^A所以AB=PB.
在RtBCP中,.C=90,■PBC=60,PC=450,所以
所以AB二PB二300、3:
520(米)
答:
A、B两个村庄间的距离为520米.
二、测量问题
例2.(2008年湛江市)如图2所示,课外活动中,小明在离旗杆AB10米的C处,
用测角仪测得旗杆顶部A的仰角为40,已知测角仪器的高CD=1.5米,求旗杆AB的高(精
确到0.1米)•
分析:
要求AB的高,由题意知可知CD=BE,先在Rt△ADE中求出AE的长,再利用
AB=BE+AE求出AB的长.
AE
解:
在Rt△ADE中,tanZADE=——
DE
•/DE=10,-ADE=40.
•••AE=DEtan^ADE=10tan40〜100.84=8.4.
•••AB=AE+EB=AE+DC=8.41.5=9.9.
答:
旗杆AB的高为9.9米.
三、建桥问题
例4.(2008年河南)如图所示,A、B两地之间有一条河,原来从A地到B地需要经过DC,沿折线AtCtB到达,现在新建了桥EF,可直接沿直线AB从A地到达B地.一直BC=11km,/A=45°,/B=37°.桥DC和AB平行,则现在从A地到达B地可比原来少
走多少路程?
(结果精确到0.1km.参考数据:
-.21.41,sin37〜0.60,cos37°~0.80).
分析:
要求现在比原来少走多少路程,就需要计算两条路线路程之差,如图构造平行
四边形DCBG,将两条路线路程之差转化为AD•DG-AG,作高线DH,将△ADG转化为两个直角三角形,先在在Rt△DGH中求DH、GH,再在Rt△ADH中求AD、AH,此题即可得解.
解:
如图,过点D作DH_AB于H,DG//CB交AB于G.
7DC//AB,.四边形DCBG为平行四边形.
二DC=GB,GD=BC=11.
•••两条路线路程之差为ADDG-AG.
在Rt△DGH中,
DH=DGsin37:
110.60=6.60,
GH=DGcos37;〜110.80〜8.80.
在Rt△ADH中,
AD二、、2DH〜1.416.60"9.31.
AH=DH〜6.60.
•ADDG-AG=(9.3111)-(6.60-8.80)
即现在从A地到B地可比原来少走约4.9km.
四、图案设计问题
例4.(2008年上海市)“创意设计”公司员工小王不慎将墨水泼在一张设计图纸上,
导致其中部分图形和数据看不清楚(如图4所示)•已知图纸上的图形是某建筑物横断面
面CE的坡度),求r的值.
分析:
要求圆O的半径r的值,需在直角三角形ODH中来解决而已知的条件太少,
需要先在直角三角形CEH中,根据条件CE=5、坡面CE的坡度i=1:
0.75求出EH、
CH,然后在直角三角形ODH中利用勾股定理列出方程,从而求出r的值.
解:
由已知OC_DE,垂足为点H,则.CHE=90:
.
在Rt△HEC中,EH2CHEC2•设CH=4k,EH=3k(k0),
又;CE=5,得(3k)2(4k)2=52,解得k=1..・.EH=3,CH=4.
•••DH=DEEH=7,OD=OAAD=r7,OH=OCCH=r4.在Rt△ODH中,OH2DH2=OD2,•(r4)272=(r7)2.
解得r-8•
3
航海中的安全问题
船只在海上航行,特别要注意安全问题,这就需要运用数学知识进行有关的计算,以确保船只航行的安全性•请看下面两例.
例1(深圳市)如图1,某货船以24海里/时的速度将一批重要物资从A处运往正
东方向的M处,在点A处测得某岛C在北偏东60的方向上•该货船航行30分钟后到达
1
解:
由已知,得AB=24X—=12,/CAB=90-60°=30°,/CBD=90-30°=60
2
所以/C=30°,所以/C=ZCAB所以CB=AB=12.
CD:
3
在Rt△CBD中,sin/CBD—,所以CD=CBsin/CBD=12^—=6^3•/6^3>9CB2
所以货船继续向正东方向行驶无触礁危险.
例2如图2,一艘渔船在A处观测到东北方向有一小岛C,已知小岛C周围4.8海里
范围内是水产养殖场•渔船沿北偏东30°方向航行10海里到达B处,在B处测得小岛C在
北偏东60°方向上,这时渔船改变航线向正东(即BD方向航行,这艘渔船是否有进入
养殖场的危险?
分析:
先将实际问题转化为解直角三角形的问题.可有如下两种方法求解.
解法一:
如图3,过点B作BMLAH于M贝UBM//AF.所以/ABMMBAF=30
1_
在Rt△BAM中,AM—AB=5BM=5.3.
2
过点C作CNLAH于点N,交BD于K.
在Rt△BCK中,/CBK=90-60°=30°.
设CK=x则BK=.3x.
在Rt△CAN中,因为/CAN=90-45°=45°,所以AN=NC所以AM+MN=CK+KN.
又NM=B,BM=KN所以x+5J3=5+J3x.解得x=5.
因为5>4.8,所以渔船没有进入养殖场的危险.
解法二:
如图4,过点C作CELBD于E.所以CE//GB//FA.
所以/BCE=/GBC=60,/BCA=/FAC=45.
所以/BCA=/BCE-/ACE=60-45°=15°.
又/BAC玄FAC-/FAB=45-30°=15°,
所以/BCA=ZBAC所以BC=AB=10.
1
在Rt△BCE中,CE=BC-cos/BCE=BCcos60°=10X=5.
2
也5>4.8,所以渔船没有进入养殖场的危险•
实际中的仰角和俯角问题
;从上往下看,视线与水平
在进行测量时,从下向上看,视线与水平线的夹角叫做仰角
线的夹角叫做俯角•
计算原理:
视线、水平线、物体的高构成直角三角形,已知
仰角、俯角和另一边,禾U用解直角的知识就可以求出物体的高
度•
梳理总结:
⑴仰角和俯角是指视线相对于水平线而言的,不同位置的仰角和俯角是不
同的;可巧记为“上仰下俯”•在测量物体的高度时,要善于将实际问题抽象为数学问题
⑵在测量山的高度时,要用“化曲为直”的原则把曲的山坡“化整为零地分成一些小
段,把每一小段山坡长近似地看作直的,测出仰角求出每一小段山坡对应的高,再把每部
分高加起来,就得到这座山的高度•
例1(成都)如图2,甲、乙两栋高楼的水平距离BD为90米,从甲楼顶部C点测得乙
楼顶部A点的仰角「为30,测得乙楼底部B点的俯角[为60,求甲乙两栋高楼各有多高?
(计算过程和结果都不取近似值•
分析:
过点C作CE1AB于点E,在Rt△BCE和Rt△ACE中,BE和AE可用含CE(即为水
平距离)的式子表示出来,从而求得两楼的高•
解:
作CE!
AB于点E,
•••CE//DB,CD//AB,且/CDB=900,.•.四边形BECD是矩形.
•••CD=BE,CE=BD.
在Rt△BCE中,/|;=6O0,CE=BD=9O米.
BE―
•••tan,BE=CEtan1=90tan60°=90.3(米).
图3
CE
.CD=BE=90.,3(米).
在Rt△ACE中,Z:
■=300,CE=90米.
..,AE
tan,
CE
3
.AE=CEtan-=90tan30°=90-=30.3(米).
3
•••AB=AE+BE=0・..390、3=120、、3(米)•
答:
甲楼高为903米,乙楼高为1203米•
反思:
仰角和俯角问题是解直角三角形中的常见题型,作辅助线构造直角三角形(一般
同时得到两个直角三角形)并解之是解决这类问题的常用方法.
例2(乐山)如图3,小山上有一棵树•现有测角仪和皮尺两种测量工具,请你设计
一种测量方案,在山脚水平地面上测出小树顶端A到水平地面的距离AB•
要求:
⑴画出测量示意图;
⑵写出测量步骤(测量数据用字母表示);
⑶根据
(2)中的数据计算AB•
分析:
要测量底步不能到达的物体的高度,要转化为双直角三角形问题,测量方案如图
2,计算的关键是求AE,可设AE=x,则在Rt△AGF和Rt△AEF中,利用三角函数可得
XX
HE,EF,再根据HE-FE=CD=mft立方程即可.
tan:
tan:
解:
(1)测量图案(示意图)如图4所示
(2)测量步骤:
第一步:
在地面上选择点C安装测角仪,
测得此时树尖A的仰角ZAHE二〉;
第二步:
沿CB前进到点D,用皮尺量出C,D之间的距
离CD=m;
第三步:
在点D安装测角仪,测得此时树尖A的仰角ZAFE=1;
第四步:
用皮尺测出测角仪的高h.
x
tan-
(3)计算:
令AE=x,则師,HE,得he二盏,又E二缶得EF
•/HE-FE=HF=CD=m,「.
x
tan飞
x
tanl:
'
=m,
解得x竺匹,.••ab*匹h.tanp-tanatanp-tana
反思:
在多个直角三角形中一定要认真分析各条线段之间的关系(包括三角函数关系、
相等关系),运用方程求解,有时可起到事半功倍之效
快乐套餐:
1.(泰安)如图5,—游人由山脚A沿坡角为
30的山坡AB行走600m到达一个景点B,再由B沿山坡BC行走200m到达山顶C,若在山顶C处观测到景点B的俯角为45〃,则山高CD等于(结果用根号表示)
2.(安徽)如图6,某幢大楼顶部有一块广告牌CD甲乙两人分别在相距8米的A、B两处测得D点和C点的仰角分别为45°°和60°,且ABE三点在一条直线上,若BE=15米,求这块广告牌
的高度.(取3注1.73,计算结果保留整数)
参考答案:
1.(300100j2)m•
2.•/AB=8,BE=15,「.AE=23,在Rt△AED中,/DAE=45°,
DE=AE=23.在Rt△BEC中,/CBE=60°,
•••CE=BE-tan60°=15.3,二CD=CE-DE=15.3-23~2.95〜3.
即这块广告牌的高度约为3米.
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- 直角三角形 实际 生活 应用