数学建模赛题0110.docx
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数学建模赛题0110
全国大学生数学建模竞赛本科组1992~2010赛题题目
1.施肥效果分析(1992A)
2.实验数据分解(1992B)
3.非线性交调的频率设计(1993A)
4.足球队排名次(1993B)
5.逢山开路(1994A)
6.锁具装箱(1994B)
7.一个飞行管理问题(1995A)
8.天车与冶炼炉的作业调度(1995B)
9.最优捕鱼策略(1996A)
10.节水洗衣机(1996B)
11.零件的参数设计(1997A)
12.截断切割(1997B)
13.投资的收益和风险(1998A)
14.灾情巡视路线(1998B)
15.自动化车床管理(1999A)
16.钻井布局(1999B)
17.DNA序列分类(2000A)
18.钢管订购和运输(2000B)
19.血管的三维重建(2001A)
20.公交车调度(2001B)
21.车灯线光源的优化设计(2002A)
22.彩票中的数学(2002B)
23.SARS的传播(2003A)
24.露天矿生产的车辆安排(2003B)
25.奥运会临时超市网点设计(2004A)
26.电力市场的输电阻塞管理(2004B)
27.长江水质的评价和预测(2005A)
28.DVD在线租赁(2005B)
29.出版社的资源配置(2006A)
30.艾滋病疗法的评价及疗效的预测(2006B)
31.中国人口增长预测(2007A)
32.乘公交,看奥运(2007B)
33.数码相机定位(2008A)
34.高等教育学费标准探讨(2008B)
35.制动器试验台的控制方法分析(2009A)
36.眼科病床的合理安排(2009B)
37.储油罐的变位识别与罐容表标定(2010A)
38.2010年上海世博会影响力的定量
评估(2010B)
2001~2010赛题
1.血管的三维重建(CUMCM2001-A)
断面可用于了解生物组织、器官等的形态。
例如,将样本染色后切成厚约1μm的切片,在显微镜下观察该横断面的组织形态结构。
如果用切片机连续不断地将样本切成数十、成百的平行切片,可依次逐片观察。
根据拍照并采样得到的平行切片数字图象,运用计算机可重建组织、器官等准确的三维形态。
假设某些血管可视为一类特殊的管道,该管道的表面是由球心沿着某一曲线(称为中轴线)的球滚动包络而成。
例如圆柱就是这样一种管道,其中轴线为直线,由半径固定的球滚动包络形成。
现有某管道的相继100张平行切片图象,记录了管道与切片的交。
图象文件名依次为0.bmp、1.bmp、…、99.bmp,格式均为BMP,宽、高均为512个象素(pixel)。
为简化起见,假设:
管道中轴线与每张切片有且只有一个交点;球半径固定;切片间距以及图象象素的尺寸均为1。
取坐标系的Z轴垂直于切片,第1张切片为平面Z=0,第100张切片为平面Z=99。
Z=z切片图象中象素的坐标依它们在文件中出现的前后次序为(略)
试计算管道的中轴线与半径,给出具体的算法,并绘制中轴线在XY、YZ、ZX平面的投影图。
第2页是100张平行切片图象中的6张,全部图象请从网上()下载。
2公交车调度(CUMCM2001-B)
公共交通是城市交通的重要组成部分,作好公交车的调度对于完善城市交通环境、改进市民出行状况、提高公交公司的经济和社会效益,都具有重要意义。
下面考虑一条公交线路上公交车的调度问题,其数据来自我国一座特大城市某条公交线路的客流调查和运营资料。
该条公交线路上行方向共14站,下行方向共13站,第3-4页给出的是典型的一个工作日两个运行方向各站上下车的乘客数量统计。
公交公司配给该线路同一型号的大客车,每辆标准载客100人,据统计客车在该线路上运行的平均速度为20公里/小时。
运营调度要求,乘客候车时间一般不要超过10分钟,早高峰时一般不要超过5分钟,车辆满载率不应超过120%,一般也不要低于50%。
试根据这些资料和要求,为该线路设计一个便于操作的全天(工作日)的公交车调度方案,包括两个起点站的发车时刻表;一共需要多少辆车;这个方案以怎样的程度照顾到了乘客和公交公司双方的利益;等等。
如何将这个调度问题抽象成一个明确、完整的数学模型,指出求解模型的方法;根据实际问题的要求,如果要设计更好的调度方案,应如何采集运营数据。
3车灯线光源的优化设计(CUMCM2002-A)
安装在汽车头部的车灯的形状为一旋转抛物面,车灯的对称轴水平地指向正前方,其开口半径36毫米,深度21.6毫米。
经过车灯的焦点,在与对称轴相垂直的水平方向,对称地放置一定长度的均匀分布的线光源。
要求在某一设计规范标准下确定线光源的长度。
该设计规范在简化后可描述如下。
在焦点F正前方25米处的A点放置一测试屏,屏与FA垂直,用以测试车灯的反射光。
在屏上过A点引出一条与地面相平行的直线,在该直线A点的同侧取B点和C点,使AC=2AB=2.6米。
要求C点的光强度不小于某一额定值(可取为1个单位),B点的光强度不小于该额定值的两倍(只须考虑一次反射)。
请解决下列问题:
(1)在满足该设计规范的条件下,计算线光源长度,使线光源的功率最小。
(2)对得到的线光源长度,在有标尺的坐标系中画出测试屏上反射光的亮区。
(3)讨论该设计规范的合理性。
4彩票中的数学(CUMCM2002-B)
近年来“彩票飓风”席卷中华大地,巨额诱惑使越来越多的人加入到“彩民”的行列,目前流行的彩票主要有“传统型”和“乐透型”两种类型。
“传统型”采用“10选6+1”方案:
先从6组0~9号球中摇出6个基本号码,每组摇出一个,然后从0~4号球中摇出一个特别号码,构成中奖号码。
投注者从0~9十个号码中任选6个基本号码(可重复),从0~4中选一个特别号码,构成一注,根据单注号码与中奖号码相符的个数多少及顺序确定中奖等级。
以中奖号码“abcdef+g”为例说明中奖等级,如表一(X表示未选中的号码)。
(略)
“乐透型”有多种不同的形式,比如“33选7”的方案:
先从01~33个号码球中一个一个地摇出7个基本号,再从剩余的26个号码球中摇出一个特别号码。
投注者从01~33个号码中任选7个组成一注(不可重复),根据单注号码与中奖号码相符的个数多少确定相应的中奖等级,不考虑号码顺序。
又如“36选6+1”的方案,先从01~36个号码球中一个一个地摇出6个基本号,再从剩下的30个号码球中摇出一个特别号码。
从01~36个号码中任选7个组成一注(不可重复),根据单注号码与中奖号码相符的个数多少确定相应的中奖等级,不考虑号码顺序。
这两种方案的中奖等级如表二。
(略)
以上两种类型的总奖金比例一般为销售总额的50%,投注者单注金额为2元,单注若已得到高级别的奖就不再兼得低级别的奖。
现在常见的销售规则及相应的奖金设置方案如表三,(略)其中一、二、三等奖为高项奖,后面的为低项奖。
低项奖数额固定,高项奖按比例分配,但一等奖单注保底金额60万元,封顶金额500万元,各高项奖额的计算方法为:
[(当期销售总额×总奖金比例)-低项奖总额]×单项奖比例
(1)根据这些方案的具体情况,综合分析各种奖项出现的可能性、奖项和奖金额的设置以及对彩民的吸引力等因素评价各方案的合理性。
(2)设计一种“更好”的方案及相应的算法,并据此给彩票管理部门提出建议。
(3)给报纸写一篇短文,供彩民参考。
5.SARS的传播(CUMCM2003-A)
SARS(SevereAcuteRespiratorySyndrome,严重急性呼吸道综合症,俗称:
非典型肺炎)是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病。
SARS的爆发和蔓延给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响,我们从中得到了许多重要的经验和教训,认识到定量地研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性。
请你们对SARS的传播建立数学模型,具体要求如下:
(1)对附件1所提供的一个早期的模型,评价其合理性和实用性。
(2)建立你们自己的模型,说明为什么优于附件1中的模型;特别要说明怎样才能建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型,这样做的困难在哪里?
对于卫生部门所采取的措施做出评论,如:
提前或延后5天采取严格的隔离措施,对疫情传播所造成的影响做出估计。
附件2提供的数据供参考。
(3)收集SARS对经济某个方面影响的数据,建立相应的数学模型并进行预测。
附件3提供的数据供参考。
(4)给当地报刊写一篇通俗短文,说明建立传染病数学模型的重要性。
附件参见
6露天矿生产的车辆安排(CUMCM2003-B)
钢铁工业是国家工业的基础之一,铁矿是钢铁工业的主要原料基地。
许多现代化铁矿是露天开采的,它的生产主要是由电动铲车(以下简称电铲)装车、电动轮自卸卡车(以下简称卡车)运输来完成。
提高这些大型设备的利用率是增加露天矿经济效益的首要任务。
露天矿里有若干个爆破生成的石料堆,每堆称为一个铲位,每个铲位已预先根据铁含量将石料分成矿石和岩石。
一般来说,平均铁含量不低于25%的为矿石,否则为岩石。
每个铲位的矿石、岩石数量,以及矿石的平均铁含量(称为品位)都是已知的。
每个铲位至多能安置一台电铲,电铲的平均装车时间为5分钟。
卸货地点(以下简称卸点)有卸矿石的矿石漏、2个铁路倒装场(以下简称倒装场)和卸岩石的岩石漏、岩场等,每个卸点都有各自的产量要求。
从保护国家资源的角度及矿山的经济效益考虑,应该尽量把矿石按矿石卸点需要的铁含量(假设要求都为29.5%
1%,称为品位限制)搭配起来送到卸点,搭配的量在一个班次(8小时)内满足品位限制即可。
从长远看,卸点可以移动,但一个班次内不变。
卡车的平均卸车时间为3分钟。
所用卡车载重量为154吨,平均时速28
。
卡车的耗油量很大,每个班次每台车消耗近1吨柴油。
发动机点火时需要消耗相当多的电瓶能量,故一个班次中只在开始工作时点火一次。
卡车在等待时所耗费的能量也是相当可观的,原则上在安排时不应发生卡车等待的情况。
电铲和卸点都不能同时为两辆及两辆以上卡车服务。
卡车每次都是满载运输。
每个铲位到每个卸点的道路都是专用的宽60
的双向车道,不会出现堵车现象,每段道路的里程都是已知的。
一个班次的生产计划应该包含以下内容:
出动几台电铲,分别在哪些铲位上;出动几辆卡车,分别在哪些路线上各运输多少次(因为随机因素影响,装卸时间与运输时间都不精确,所以排时计划无效,只求出各条路线上的卡车数及安排即可)。
一个合格的计划要在卡车不等待条件下满足产量和质量(品位)要求,而一个好的计划还应该考虑下面两条原则之一:
1.总运量(吨公里)最小,同时出动最少的卡车,从而运输成本最小;
2.利用现有车辆运输,获得最大的产量(岩石产量优先;在产量相同的情况下,取总运量最小的解)。
请你就两条原则分别建立数学模型,并给出一个班次生产计划的快速算法。
针对下面的实例,给出具体的生产计划、相应的总运量及岩石和矿石产量。
某露天矿有铲位10个,卸点5个,现有铲车7台,卡车20辆。
各卸点一个班次的产量要求:
矿石漏1.2万吨、倒装场Ⅰ1.3万吨、倒装场Ⅱ1.3万吨、岩石漏1.9万吨、岩场1.3万吨。
铲位和卸点位置的二维示意图如下(略),
各铲位和各卸点之间的距离(公里)如下表:
(略)
7.奥运会临时超市网点设计(CUMCM2004-A)
2008年北京奥运会的建设工作已经进入全面设计和实施阶段。
奥运会期间,在比赛主场馆的周边地区需要建设由小型商亭构建的临时商业网点,称为迷你超市(MiniSupermarket,以下记做MS)网,以满足观众、游客、工作人员等在奥运会期间的购物需求,主要经营食品、奥运纪念品、旅游用品、文体用品和小日用品等。
在比赛主场馆周边地区设置的这种MS,在地点、大小类型和总量方面有三个基本要求:
满足奥运会期间的购物需求、分布基本均衡和商业上赢利。
图1给出了比赛主场馆的规划图。
作为真实地图的简化,在图2中仅保留了与本问题有关的地区及相关部分:
道路(白色为人行道)、公交车站、地铁站、出租车站、私车停车场、餐饮部门等,其中标有A1-A10、B1-B6、C1-C4的黄色区域是规定的设计MS网点的20个商区。
为了得到人流量的规律,一个可供选择的方法,是在已经建设好的某运动场(图3)通过对预演的运动会的问卷调查,了解观众(购物主体)的出行和用餐的需求方式和购物欲望。
假设我们在某运动场举办了三次运动会,并通过对观众的问卷调查采集了相关数据,在附录中给出。
请你按以下步骤对图2的20个商区设计MS网点:
1.根据附录中给出的问卷调查数据,找出观众在出行、用餐和购物等方面所反映的规律。
2.假定奥运会期间(指某一天)每位观众平均出行两次,一次为进出场馆,一次为餐饮,并且出行均采取最短路径。
依据1的结果,测算图2中20个商区的人流量分布(用百分比表示)。
3.如果有两种大小不同规模的MS类型供选择,给出图2中20个商区内MS网点的设计方案(即每个商区内不同类型MS的个数),以满足上述三个基本要求。
4.阐明你的方法的科学性,并说明你的结果是贴近实际的。
说明
1.商业上用“商圈”来描述商店的覆盖范围。
影响商店选址的主要因素是商圈内的人流
量及购物欲望。
2.为简化起见,假定国家体育场(鸟巢)容量为10万人,国家体育馆容量为6万人,
国家游泳中心(水立方)容量为4万人。
三个场馆的每个看台容量均为1万人,出口对准一个商区,各商区面积相同。
附录
对观众发放的问卷调查,收回率为33%,三次共收回10000多份。
具体数据请在access数据库中索取,其中年龄分4档:
1)20岁以下,2)20—30岁,3)30—50岁,4)50岁以上;出行方式分4种:
出租、公交、地铁、私车;餐饮方式分3种:
中餐、西餐、商场(餐饮);消费额(非餐饮)分6档:
1)0—100,2)100—200,3)200—300,4)300—400,5)400—500,6)500以上(元)。
8.电力市场的输电阻塞管理(CUMCM2004-B)
我国电力系统的市场化改革正在积极、稳步地进行。
2003年3月国家电力监管委员会成立,2003年6月该委员会发文列出了组建东北区域电力市场和进行华东区域电力市场试点的时间表,标志着电力市场化改革已经进入实质性阶段。
可以预计,随着我国用电紧张的缓解,电力市场化将进入新一轮的发展,这给有关产业和研究部门带来了可预期的机遇和挑战。
电力从生产到使用的四大环节——发电、输电、配电和用电是瞬间完成的。
我国电力市场初期是发电侧电力市场,采取交易与调度一体化的模式。
电网公司在组织交易、调度和配送时,必须遵循电网“安全第一”的原则,同时要制订一个电力市场交易规则,按照购电费用最小的经济目标来运作。
市场交易-调度中心根据负荷预报和交易规则制订满足电网安全运行的调度计划――各发电机组的出力(发电功率)分配方案;在执行调度计划的过程中,还需实时调度承担AGC(自动发电控制)辅助服务的机组出力,以跟踪电网中实时变化的负荷。
设某电网有若干台发电机组和若干条主要线路,每条线路上的有功潮流(输电功率和方向)取决于电网结构和各发电机组的出力。
电网每条线路上的有功潮流的绝对值有一安全限值,限值还具有一定的相对安全裕度(即在应急情况下潮流绝对值可以超过限值的百分比的上限)。
如果各机组出力分配方案使某条线路上的有功潮流的绝对值超出限值,称为输电阻塞。
当发生输电阻塞时,需要研究如何制订既安全又经济的调度计划。
●电力市场交易规则:
1.以15分钟为一个时段组织交易,每台机组在当前时段开始时刻前给出下一个时段的报价。
各机组将可用出力由低到高分成至多10段报价,每个段的长度称为段容量,每个段容量报一个价(称为段价),段价按段序数单调不减。
在最低技术出力以下的报价一般为负值,表示愿意付费维持发电以避免停机带来更大的损失。
2.在当前时段内,市场交易-调度中心根据下一个时段的负荷预报,每台机组的报价、当前出力和出力改变速率,按段价从低到高选取各机组的段容量或其部分(见下面注释),直到它们之和等于预报的负荷,这时每个机组被选入的段容量或其部分之和形成该时段该机组的出力分配预案(初始交易结果)。
最后一个被选入的段价(最高段价)称为该时段的清算价,该时段全部机组的所有出力均按清算价结算。
注释:
(a)每个时段的负荷预报和机组出力分配计划的参照时刻均为该时段结束时刻。
(b)机组当前出力是对机组在当前时段结束时刻实际出力的预测值。
(c)假设每台机组单位时间内能增加或减少的出力相同,该出力值称为该机组的爬坡速率。
由于机组爬坡速率的约束,可能导致选取它的某个段容量的部分。
(d)为了使得各机组计划出力之和等于预报的负荷需求,清算价对应的段容量可能只选取部分。
市场交易-调度中心在当前时段内要完成的具体操作过程如下:
1、监控当前时段各机组出力分配方案的执行,调度AGC辅助服务,在此基础上给出各机组的当前出力值。
2、作出下一个时段的负荷需求预报。
3、根据电力市场交易规则得到下一个时段各机组出力分配预案。
4、计算当执行各机组出力分配预案时电网各主要线路上的有功潮流,判断是否会出现输电阻塞。
如果不出现,接受各机组出力分配预案;否则,按照如下原则实施阻塞管理:
●输电阻塞管理原则:
(1)调整各机组出力分配方案使得输电阻塞消除。
(2)如果
(1)做不到,还可以使用线路的安全裕度输电,以避免拉闸限电(强制减少负荷需求),但要使每条线路上潮流的绝对值超过限值的百分比尽量小。
(3)如果无论怎样分配机组出力都无法使每条线路上的潮流绝对值超过限值的百分比小于相对安全裕度,则必须在用电侧拉闸限电。
(4)当改变根据电力市场交易规则得到的各机组出力分配预案时,一些通过竞价取得发电权的发电容量(称序内容量)不能出力;而一些在竞价中未取得发电权的发电容量(称序外容量)要在低于对应报价的清算价上出力。
因此,发电商和网方将产生经济利益冲突。
网方应该为因输电阻塞而不能执行初始交易结果付出代价,网方在结算时应该适当地给发电商以经济补偿,由此引起的费用称之为阻塞费用。
网方在电网安全运行的保证下应当同时考虑尽量减少阻塞费用。
你需要做的工作如下:
1.某电网有8台发电机组,6条主要线路,表1和表2中的方案0给出了各机组的当前出力和各线路上对应的有功潮流值,方案1~32给出了围绕方案0的一些实验数据,试用这些数据确定各线路上有功潮流关于各发电机组出力的近似表达式。
2.设计一种简明、合理的阻塞费用计算规则,除考虑上述电力市场规则外,还需注意:
在输电阻塞发生时公平地对待序内容量不能出力的部分和报价高于清算价的序外容量出力的部分。
3.假设下一个时段预报的负荷需求是982.4MW,表3、表4和表5分别给出了各机组的段容量、段价和爬坡速率的数据,试按照电力市场规则给出下一个时段各机组的出力分配预案。
4.按照表6给出的潮流限值,检查得到的出力分配预案是否会引起输电阻塞,并在发生输电阻塞时,根据安全且经济的原则,调整各机组出力分配方案,并给出与该方案相应的阻塞费用。
5.假设下一个时段预报的负荷需求是1052.8MW,重复3~4的工作。
9长江水质的评价和预测(CUMCM2005-A)
水是人类赖以生存的资源,保护水资源就是保护我们自己,对于我国大江大河水资源的保护和治理应是重中之重。
专家们呼吁:
“以人为本,建设文明和谐社会,改善人与自然的环境,减少污染。
”
长江是我国第一、世界第三大河流,长江水质的污染程度日趋严重,已引起了相关政府部门和专家们的高度重视。
2004年10月,由全国政协与中国发展研究院联合组成“保护长江万里行”考察团,从长江上游宜宾到下游上海,对沿线21个重点城市做了实地考察,揭示了一幅长江污染的真实画面,其污染程度让人触目惊心。
为此,专家们提出“若不及时拯救,长江生态10年内将濒临崩溃”(附件1),并发出了“拿什么拯救癌变长江”的呼唤(附件2)。
附件3给出了长江沿线17个观测站(地区)近两年多主要水质指标的检测数据,以及干流上7个观测站近一年多的基本数据(站点距离、水流量和水流速)。
通常认为一个观测站(地区)的水质污染主要来自于本地区的排污和上游的污水。
一般说来,江河自身对污染物都有一定的自然净化能力,即污染物在水环境中通过物理降解、化学降解和生物降解等使水中污染物的浓度降低。
反映江河自然净化能力的指标称为降解系数。
事实上,长江干流的自然净化能力可以认为是近似均匀的,根据检测可知,主要污染物高锰酸盐指数和氨氮的降解系数通常介于0.1~0.5之间,比如可以考虑取0.2 (单位:
1/天)。
附件4是“1995~2004年长江流域水质报告”给出的主要统计数据。
下面的附表是国标(GB3838-2002)给出的《地表水环境质量标准》中4个主要项目标准限值,其中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ类为可饮用水。
请你们研究下列问题:
(1)对长江近两年多的水质情况做出定量的综合评价,并分析各地区水质的污染状况。
(2)研究、分析长江干流近一年多主要污染物高锰酸盐指数和氨氮的污染源主要在哪些地区?
(3)假如不采取更有效的治理措施,依照过去10年的主要统计数据,对长江未来水质污染的发展趋势做出预测分析,比如研究未来10年的情况。
(4)根据你的预测分析,如果未来10年内每年都要求长江干流的Ⅳ类和Ⅴ类水的比例控制在20%以内,且没有劣Ⅴ类水,那么每年需要处理多少污水?
(5)你对解决长江水质污染问题有什么切实可行的建议和意见。
附表:
《地表水环境质量标准》(GB3838—2002)中4个主要项目标准限值单位:
mg/L
(注:
附件1~4位于压缩文件A2005Data.rar中,可从
10DVD在线租赁(CUMCM2005-B)
随着信息时代的到来,网络成为人们生活中越来越不可或缺的元素之一。
许多网站利用其强大的资源和知名度,面向其会员群提供日益专业化和便捷化的服务。
例如,音像制品的在线租赁就是一种可行的服务。
这项服务充分发挥了网络的诸多优势,包括传播范围广泛、直达核心消费群、强烈的互动性、感官性强、成本相对低廉等,为顾客提供更为周到的服务。
考虑如下的在线DVD租赁问题。
顾客缴纳一定数量的月费成为会员,订购DVD租赁服务。
会员对哪些DVD有兴趣,只要在线提交订单,网站就会通过快递的方式尽可能满足要求。
会员提交的订单包括多张DVD,这些DVD是基于其偏爱程度排序的。
网站会根据手头现有的DVD数量和会员的订单进行分发。
每个会员每个月租赁次数不得超过2次,每次获得3张DVD。
会员看完3张DVD之后,只需要将DVD放进网站提供的信封里寄回(邮费由网站承担),就可以继续下次租赁。
请考虑以下问题:
1)网站正准备购买一些新的DVD,通过问卷调查1000个会员,得到了愿意观看这些DVD的人数(表1给出了其中5种DVD的数据)。
此外,历史数据显示,60%的会员每月租赁DVD两次,而另外的40%只租一次。
假设网站现有10万个会员,对表1中的每种DVD来说,应该至少准备多少张,才能保证希望看到该DVD的会员中至少50%在一个月内能够看到该DVD?
如果要求保证在三个月内至少95%的会员能够看到该DVD呢?
2)表2中列出了网站手上100种DVD的现有张数和当前需要处理的1000位会员的在线订单(表2的数据格式示例
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