点与直线直线与直线的位置关系高考复习教案.docx
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点与直线直线与直线的位置关系高考复习教案
2013年点与直线、直线与直线的位置关系高考复习教案
2013年高考第一轮复习数学北师(江西版)理第八章8.2 点与直线、直线与直线的位置关系
考纲要求
1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.
2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.
3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离.
知识梳理
1.两直线的位置关系
平面内两条直线的位置关系包括平行、相交、重合三种情况.
(1)两直线平行
对于直线l1:
y=k1x+b1,l2:
y=k2x+b2,
l1∥l2⇔________________.
对于直线l1:
A1x+B1y+C1=0,
l2:
A2x+B2y+C2=0,
l1∥l2⇔__________________________.
(2)两直线垂直
对于直线l1:
y=k1x+b1,l2:
y=k2x+b2,
l1⊥l2⇔k1k2=____.
对于直线l1:
A1x+B1y+C1=0,
l2:
A2x+B2y+C2=0,
l1⊥l2⇔____________.
2.两直线的交点
设直线l1:
A1x+B1y+C1=0,l2:
A2x+B2y+C2=0,将这两条直线的方程联立,得方程组A1x+B1y+C1=0,A2x+B2y+C2=0,若方程组有唯一解,则l1与l2____,此解就是两直线交点的坐标;若方程组无解,则l1与l2____;若方程组有无数个解,则l1与l2____.
3.有关距离
(1)两点间的距离
平面上两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离|P1P2|=____________.
(2)点到直线的距离
平面上一点P(x0,y0)到一条直线l:
Ax+By+C=0的距离d=____________.
(3)两平行线间的距离
已知l1,l2是平行线,求l1,l2间距离的方法:
①求一条直线上一点到另一条直线的距离;
②设l1:
Ax+By+C1=0,l2:
Ax+By+C2=0,则l1与l2之间的距离d=________.
4.对称问题
(1)中点坐标公式
设A(x1,y1),B(x2,y2),则线段AB的中点坐标为____________.
(2)中心对称
若点M(x1,y1)及N(x,y)关于P(a,b)对称,则由中点坐标公式得______.
(3)轴对称
若两点P1(x1,y1)与P2(x2,y2)关于直线l:
Ax+By+C=0对称,则线段P1P2的中点在对称轴l上,而且连接P1P2的直线垂直于对称轴l.由方程组Ax1+x22+By1+y22+C=0,y1-y2x1-x2=BA可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2,y2)(其中A≠0,x1≠x2).
基础自测
1.过点(1,0)且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是( ).
A.x-2y-1=0B.x-2y+1=0
C.2x+y-2=0D.x+2y-1=0
2.点P在直线x+y-4=0上,O为坐标原点,则|OP|的最小值为( ).
A.13B.22C.6D.2
3.已知两条直线y=ax-2和y=(a+2)x+1互相垂直,则a=( ).
A.2B.1C.0D.-1
4.若三条直线2x+3y+8=0,x-y-1=0和x+by=0相交于一点,则b=( ).
A.-1B.-12C.2D.12
5.求与直线x-y+2=0平行,且它们之间的距离为32的直线方程.
思维拓展
1.研究两直线的位置关系时,若直线方程的系数含有变量应注意什么?
提示:
在利用斜率、截距研究两直线的位置关系时,若直线方程中y的系数含有字母参数,则斜率可能有不存在的情况.此时,应对其按y的系数为零(斜率不存在)和不为零(斜率存在)两种情况进行讨论.利用斜率相等研究两条直线平行时,要注意重合的情形.
2.运用距离公式时应注意什么?
提示:
点到直线的斜率公式适用于任何形式的直线方程,在运用该公式时,应首先把直线方程化为一般式;在运用两平行线间的距离公式时,要注意先把两直线方程中x,y的系数化成相等的形式.
一、两直线的平行
【例1】直线l1:
2x+(m+1)y+4=0与直线l2:
mx+3y-2=0平行,则m的值为( ).
A.2B.-3
C.2或-3D.-2或-3
方法提炼1.判定两直线平行的方法:
(1)判定两直线的斜率是否存在,若存在,可先化成斜截式,若k1=k2,且b1≠b2,则两直线平行;若斜率都不存在,还要判定是否重合.
(2)直接用以下方法,可避免对斜率是否存在进行讨论:
设直线l1:
A1x+B1y+C1=0,l2:
A2x+B2y+C2=0,l1∥l2⇔A1B2-A2B1=0且B1C2-B2C1≠0.
2.与直线Ax+By+C=0平行的直线方程可设为Ax+By+m=0(m≠C),这也是经常采用的解题技巧.
请做[针对训练]1
二、两直线的垂直
【例2】求经过点A(2,1),且与直线2x+y-10=0垂直的直线l的方程.
方法提炼1.判定两直线垂直的方法:
(1)判定两直线的斜率是否存在,若存在,可先化成斜截式,若k1k2=-1,则两直线垂直;若一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为0,两直线也垂直.
(2)直接用以下方法,可避免对斜率是否存在进行讨论:
设直线l1:
A1x+B1y+C1=0,l2:
A2x+B2y+C2=0,l1⊥l2⇔A1A2+B1B2=0.
2.与Ax+By+C=0垂直的直线方程可设为Bx-Ay+m=0,这也是经常采用的解题技巧.
请做[针对训练]2
三、距离公式的应用
【例3-1】已知直线l过两直线3x+4y-5=0,2x-3y+8=0的交点P,且与A(2,3),B(-4,5)两点距离相等,求直线l的方程.
【例3-2】已知直线l过点P(3,1),且被两平行线l1:
x+y+1=0,l2:
x+y+6=0截得的线段长为5,求直线l的方程.
方法提炼运用点到直线的距离公式时,需把直线方程化为一般式;运用两平行线的距离公式时,需先把两平行线方程中x,y的系数化为相同的形式.
请做[针对训练]3
四、对称问题
【例4-1】已知直线l1:
2x-3y+1=0,点A(-1,-2).求:
(1)点A关于直线l1的对称点A′的坐标;
(2)直线m:
3x-2y-6=0关于直线l1的对称直线l2的方程;
(3)直线l1关于点A对称的直线l3的方程.
【例4-2】已知直线l1:
2x+y-4=0,求l1关于直线l:
3x+4y-1=0对称的直线l2的方程.
方法提炼1.在对称问题中,点关于直线的对称是最基本也是最重要的对称.处理这种问题关键是抓住垂直与平分两个几何条件,转化为代数关系列方程求解;线关于线的对称问题,可以转化为点关于直线的对称问题来解决;直线关于点的对称可转化为点关于点的对称来处理,结合“代入法”求轨迹方程的思想方法解题也是这类问题的一个通法.
2.求与距离有关的最值问题,一般是通过作图,转化为对称问题加以解决.
请做[针对训练]4
考情分析
通过分析近几年的高考试题可以看出,对于本节内容的考查,主要侧重以下几个方面:
(1)判断两直线平行与垂直的位置关系,或以平行、垂直的位置关系为载体求相关参数的值;
(2)对距离公式的考查,主要是把它作为工具来使用;(3)对称问题侧重点与点关于直线的对称.思想方法主要侧重分类讨论、数形结合、方程思想等.考查的形式以选择题、填空题为主.
针对训练
1.与直线3x+4y+1=0平行且过点(1,2)的直线l的方程为__________.
2.(2011浙江高考,文12)若直线x-2y+5=0与直线2x+my-6=0互相垂直,则实数m=________.
3.若P(a,b)在直线x+y+1=0上,求a2+b2-2a-2b+2的最小值.
4.
(1)在直线l:
3x-y-1=0上求一点P,使得P到A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大;
(2)在直线l:
3x-y-1=0上求一点Q,使得Q到A(4,1)和C(3,4)的距离之和最小.
参考答案
基础梳理自测
知识梳理
1.
(1)k1=k2,且b1≠b2 A1B2-A2B1=0,且B1C2-B2C1≠0
(2)-1 A1A2+B1B2=0
2.相交 平行 重合
3.
(1)(x2-x1)2+(y2-y1)2
(2)|Ax0+By0+C|A2+B2 (3)②|C1-C2|A2+B2
4.
(1)x1+x22,y1+y22
(2)x=2a-x1,y=2b-y1
基础自测
1.A 解析:
∵所求直线与直线x-2y-2=0平行,
∴所求直线的斜率为12,方程为y-0=12(x-1),即x-2y-1=0.
2.B 解析:
根据题意知,|OP|的最小值为原点O到直线x+y-4=0的距离.根据点到直线的距离公式,得42=22.
3.D 解析:
∵两直线垂直,
∴a(a+2)=-1.
∴a=-.B 解析:
解方程组2x+3y+8=0,x-y-1=0,得x=-1,y=-2,
∴三条直线交于点(-1,-2).
∴-1-2b=0,即b=-12.
5.解:
设与直线x-y+2=0平行的直线方程为x-y+m=0,根据平行线间的距离公式,得|2-m|2=32⇒|2-m|=6⇒m=-4或m=8,即所求的直线方程为x-y-4=0,或x-y+8=0.
考点探究突破
【例1】C 解析:
解法一:
当m=-1时,l1:
2x+4=0,l2:
-x+3y-2=0显然l1与l2不平行;
当m≠-1时,因为l1∥l2,所以应满足-2m+1=-m3且-4m+1≠23,解得m=2或m=-解法二:
若l1∥l2,需2×3-m(m+1)=0,解得m=-3或m=2.
当m=-3或2时,-2(m+1)-12≠0.
∴m=-3或2为所求.
【例2】解:
解法一:
∵直线2x+y-10=0的斜率不为0,
∴直线l的斜率存在,设直线l的斜率为k.
∵直线l与直线2x+y-10=0垂直,
∴k(-2)=-1.∴k=12.
又∵l经过点A(2,1),∴所求直线l的方程为y-1=12(x-2),即x-2y=0.
解法二:
设与直线2x+y-10=0垂直的直线方程为x-2y+m=0.
∵直线l经过点A(2,1),
∴2-2×1+m=0.∴m=0.
∴所求直线l的方程为x-2y=0.
【例3-1】解:
解方程组3x+4y-5=0,2x-3y+8=0,得x=-1,y=2.
故交点P(-1,2).
(1)当直线l的斜率存在时,设l的方程为y-2=k(x+1),即kx-y+k+2=0.
由题意得|2k-3+k+2|k2+1=|-4k-5+k+2|k2+1,解得k=-13,
∴直线l方程为y-2=-13(x+1)即x+3y-5=0.
(2)当直线l的斜率不存在时,则l的方程为x=-1,此时也符合题目要求.
综合
(1)
(2)知,所求直线方程为x+3y-5=0或x=-1.
【例3-2】解法一:
若直线l的斜率不存在,则直线l的方程为x=3,此时与l1,l2的交点分别是A(3,-4),B(3,-9),截得的线段长|AB|=|-4+9|=5,符合题意.
当直线l的斜率存在时,则设直线l的方程为y=k(x-3)+1,分别与直线l1,l2的方程联立,由y=k(x-3)+1,x+y+1=0,
解得A3k-2k+1,1-4kk+1.
由y=k(x-3)+1,x+y+6=0,
解得B3k-7k+1,1-9kk+1.
由两点间的距离公式,得
3k-2k+1-3k-7k+12+1-4kk+1-1-9kk+12=25,
解得k=0,
即所求直线方程为y=综上可知,直线l的方程为x=3,或y=1.
解法二:
因为两平行线间的距离d=|6-1|2=522,
如图,直线l被两平行线截得的线段长为5,
设直线l与两平行线的夹角为θ,
则,
所以θ=45°.
因为两平行线的斜率是,
故所求直线的斜率不存在,或为0.
又因为直线l过点P(3,1),
所以直线l的方程为x=3,或【例4-1】解:
(1)设A′(x,y),
由已知得y+2x+123=-1,2×x-12-3×y-22+1=0,
解得x=-3313,y=故A′-3313,
(2)在直线m上取一点,如M(2,0),则M关于l1的对称点必在l2上.
设对称点为M′(a,b),
则由2×a+22-3×b+02+1=0,b-0a-2×23=-1,
得M′613,30设m与l1的交点为N,
由2x-3y+1=0,3x-2y-6=0,得N(4,3).
又l2过N点,由两点式得直线l2的方程为9x-46y+102=0.
(3)解法一:
在l1:
2x-3y+1=0上任取两点,如M(1,1),N(4,3).
则M,N关于点A的对称点M′,N′均在直线l3上.
易知M′(-3,-5),N′(-6,-7),由两点式可得l3的方程为2x-3y-9=0.
解法二:
∵l1∥l3,∴可设l3的方程为2x-3y+c=0(c≠1).
∵点A到两直线的距离相等,∴由点到直线的距离公式得|-2+6+c|22+32=|-2+6+1|22+32,得c=-9,
∴l3的方程为2x-3y-9=0.
解法三:
设P(x,y)是l3上任一点,则P(x,y)关于点A(-1,-2)的对称点为P′(-2-x,-4-y).
∵P′在直线l1上,
∴2(-2-x)-3(-4-y)+1=0.
整理得2x-3y-9=0.
【例4-2】解:
方法一:
由2x+y-4=0,3x+4y-1=0,得l1与l的交点为P(3,-2),显然P也在l2上.
设l2的斜率为k,又l1的斜率为-2,l的斜率为-34,则-34-(-2)1+-34×(-2)=k--341+-34k,解得k=-2故l2的直线方程为y+2=-211(x-3),即2x+11y+16=0.
方法二:
在直线l1上取一点A(2,0),又设点A关于直线l的对称点为B(x0,y0),则
y0-0x0-2=43,32+x02+40+y02-1=0,
解得B45,-故由两点式可求得直线l2的方程为2x+11y+16=0.
演练巩固提升
针对训练
1.3x+4y-11=0 解析:
解法一:
设直线l的斜率为k.
∵l与直线3x+4y+1=0平行,
∴k=-又∵l经过点(1,2),可得所求直线方程为y-2=-34(x-1),即3x+4y-11=0.
解法二:
设与直线3x+4y+1=0平行的直线l的方程为3x+4y+m=0.
∵l经过点(1,2),∴3×1+4×2+m=0,解得m=-∴所求直线方程为3x+4y-11=0.
2.1 解析:
∵直线x-2y+5=0与2x+my-6=0互相垂直,
∴1×2+(-2)m=0,即m=.解:
∵a2+b2-2a-2b+2=(a-1)2+(b-1)2,可看成是点P(a,b)与点(1,1)之间的距离.
又∵点P是直线x+y+1=0上任一点,
∴(a-1)2+(b-1)2即是点(1,1)与直线x+y+1=0上任一点之间的距离.
因此,点(1,1)到直线x+y+1=0的距离即是(a-1)2+(b-1)2的最小值.
由于点(1,1)到直线x+y+1=0的距离为d=|1+1+1|12+12=322,
故a2+b2-2a-2b+2的最小值为322.
4.解:
(1)如图甲所示,设点B关于l的对称点为B′,连接AB′并延长交l于P,此时的P满足|PA|-|PB|的值最大.
图甲
设B′的坐标为(a,b),
则kBB′kl=-1,
即b-4a3=-1.
∴a+3b-12=0.①
又由于线段BB′的中点坐标为a2,b+42,且在直线l上,
∴3×a2-b+42-1=0,即3a-b-6=0.②
①②联立,解得a=3,b=3,∴B′(3,3).
于是AB′的方程为y-13-1=x-43-4,
即2x+y-9=0.
解方程组3x-y-1=0,2x+y-9=0,得x=2,y=5,
即l与AB′的交点坐标为P(2,5).
(2)如图乙所示,设C关于l的对称点为C′,连接AC′交l于点Q,此时的Q满足|QA|+|QC|的值最小.
图乙
设C′的坐标为(x′,y′),
∴y′-4x′-33=-1,3x′+32-y′+42-1=0.
解得x′=35,y′=245.∴C′35,2由两点式得直线AC′的方程为y-1245-1=x-435-4,
即19x+17y-93=0.
解方程组19x+17y-93=0,3x-y-1=0,得x=117,y=2∴所求点Q的坐标为117,2
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