-a+b+c=ak・③
①+②+③,得:
R("+b+e)="+b+c・
当“+b+e0时,k=l,此时a+b=2c,“+c=2b,b+c=2a・
.(a+h)(b+c)(c+a)_2a■21}■2c
abcabc
当“+〃+c=0时♦“+b=—Cta+c=—b,〃+c=—a.
・・.原式=(-“)•(如p)=_l.
abc
点评:
注意本例须按a+h+c等于零和不等于零两种情况进行讨论.
例4已知“+b+c=l,a2-\-b2+c2=2.a3+b3+c3=39求
(1)“be的值;
(2)a4+b4-^c4的值.解析:
•••以+胪+5=2,
:
•(“+b+c)2—2(ab+be+ca)=2.
Aab-¥bc~irca=——•
2
又•••帀+沪+"=3,
(“+b+c)(2+b2-\-c2—ab—be—ca)+3abc=3・
:
.1x(2+—)+3“bc=3・
2
:
.abc=-,即"c的值为丄.
66
又•:
a4+沪+c4=(a2+护+c2)2—2(crb2+b2c2+c2a2)=4—2[(ab+be+ca)2—2abc{a+方+c)]=4—2(丄
4clix25
—2x-xl)=—・
66
•••/+戸+疋的值为色.
6
点评:
这道题充分体现了三个数的平方和,三个数的立方和,及三个数四次方和的常规用法,这些常用处理方法对我们今后的学习是十分重要的.
好题妙解】
佳题新题品味
例1(2003年河北初中数学应用竞赛题)同一价格的一种商品在三个商场都进行了两次价格调整.甲商场:
第一次提价的百分率为",第二次提价的百分率为b:
乙商场:
两次提价的百分率都是⑺(">0,2b>0);丙商场:
第一次提价的百分率为几第二次提价的百分率为",则提价最多的商场是()
A.甲B.乙C•.丙D.不能确定
解析用代数式表示三个商场提价后的价格,再比较大小.
解:
(1)甲商场两次提价后,价格为(l+“)(l+b)=l+“+b+“b.
(2)乙商场两次提价后,价格为(1+口)(1+口)=1+(“+坊+(口)2:
222
(3)丙商场两次提价后,价格为(1+")(1+“)=/+"+b+“b.
因为(爭)2—“b>0,所以(字)2>“b.
故乙商场两次提价后,价格最髙.选B.
例2已知非零实数“、b、c满足0+护+以=1,“(J.+J_)+b(丄+b+c(丄+丄)=一3,求a+b+c的bcacab
值.
解析:
因为ubc^O,在已知的第二个等式两边同乘以“be,得"2(c+b)+b2(c+")+c2(“+")=—3"bc,即ab(a+/?
)+bc(b-\-c)4-ac(a+c)+3abc=0.将&历c拆开为ubc+abc+ubc,可得ab(“+b+c)+bc(a+b+c)+ac(a+/?
+c)=0・
于是(a+b+c)(ab+he+ac)=0.所以a+h+c=0或ab+bc+ac=0.
若ab+bc+ac=O.由(a+b+c)2=a2+b2+c2+2cd^2bc+2cic=1得“+b+c=±l・\所以“+"+c的值可能为6—1>1.
中考真题欣赏
例1(2003年陕西中考题)先化简,再求值:
皆胃L岳,其中
解析:
眉存—x+1(x2+1)(a+l)(x-l)x-3_x-1x-3_2尿=:
一=—=
0+1(x+1)a+1x+1x+1x+1
当x=73+1时,原式==4一2逅.
V3+2
例2(重庆市)阅读下而材料:
在计算3+5+7+9+11+13+15+17+19+21时,我们发现,从第一个数开始,以后的每个数与它的前一个数的差都是一个相同的左值.具有这种规律的一列数,除了直接相加外,我们还可以用公式5=必+巴二12xd计算它们的和.(公式中的〃表示数的个数,“表示第一个数的值,〃表示这个相差的泄值),
2
那么3+5+7+9+11+13+15+17+19+21=10x3+巴”x2=120・
2
用上而的知识解决下列问题:
为保护长江,减少水上流失,我市某县决泄对原有的坡荒地进行退耕还林.从1995年起在坡荒地上植树造林,以后每年又以比上一年多植相同面积的树木改造坡荒地.由于每年因自然灾害、树木成活率、人为因素等的影响,都有相同数量的新坡荒地产生,下表为1995、1996、1997年的坡荒地面积和植树的面积的统汁数据•假设坡荒地全部种上树后,不再有水上流失形成新的坡荒地,问到哪一年,可以将全县所有的坡荒地全部种上树木.
1995年
1996年
1997年
每年植树的而积(亩)
1000
1400
1800
植树后坡荒地的实际而积(亩)
25200
24000
22400
解析:
1996年减少了25200-24000=1200.
1997年减少了24000-22400=1600.
m年减少了1200+400x(/?
/-1996)・
1200+1600+…+1200+400(加一1996)=25200.
令n=m—\995»得
必1200+盲_><400
一1)
=400xhx3+———-=25200
.2.
.・.%+竺匸—63
2
6n+n(n-1)=126
n:
+5n-126=0.
m二9,血二一14(舍去).
m=1995+9=2004.
•••到2004年,可以将坡荒地全部种上树木°
竞赛样题展示
例1(2003年“信利杯”)某校初三两个毕业班的学生和教师共100人一起在台阶上拍毕业照留念,摄影师要将苴排列成前多后少的梯形队阵(排数>3),且要求各行的人数必须是连续的自然数,这样才能使后一排的人均站在前一排两人间的空挡处,那么,满足上述要求的排法的方案有()
A.1种B.2种C.4种D.0种
解析设最后一排有k个人,共有n排,那么从后往前各排的人数分别为k,k+1,lc+2,…,k+
(n-l),由题意可知如+答丄=100,即〃[2«+(“-1)]=200.因为k,n都是正整数,且n$3,所以n<2k+(n-l),且n与2k+(n-l)的奇偶性不同。
将200分解质因数,可知n二5或n=8.当n二5时,218;当n二8时,29.共有两种不同方案.选B
例2(第17届江苏省竞赛初三)有两道算式:
好+好二妙,妙X好好X真好二妙题题妙,
其中每个汉字表示0〜9中的一个数字,相同汉字表示相同数字,不同汉字表示不同数字.那么,'‘妙题题妙”所表示的四位数的所有因数的个数是•
解析从加法式得“好”<5,“妙”却,因此“好”二1,"妙”二2或“好”二2,“妙”=4或"好”
二3,“妙”二6或“好”二4,"妙”二8.显然,中间两种情形不满足乘法式,所以只能是:
(1)“好”二1,“妙”二2,从而乘法式变为2X11X(真X10+1)=2002+题X110,
即真X10+1二91+题X5.
上式左边£91,右边291,所以两边都等于91.
由此得“真”二9,“题”二0,“妙题题妙”二2002.
(2)“好”二4,“妙”二8,乘法式为
8X44X(真X10+4)二8008+题X110.
即704+1760X真=1004+题X55.
在0〜9中,只有“真”二2,“题”二4满足上式,但此时“好”与“题”表示相同的数字,与题意不符。
故四位数“妙题题妙”有唯一解2002.
由2002=2X7X11X13,知2002的所有因数的个数为2=16.
例3(2002年四川竞赛题)如图10-2,立方体的每个而上都写着一个自然数,并且相对两个面所写二数之和相等,若10的对而写的是质数a,12的对而写的是质数b,15的对而写的是质数c,则a=+bs+cs-
ab-ac-bc=
解析由题设有10+a=12+b=15+c,故c=2,于是有3二7,b二5・
/•a"+b"+c--ab-ac-bc=7-+5'+2'~7X5-7X2-5X2二19・
例4设1995x3=1996y3=1997z%xyz>0,且#1995十+1996),+1997”=折莎+旳豌+豹两求丄+丄+丄的值
xyz
解析设1995x3=1996y3=1997z3=k,显然kHO•于是1995=—,1996=—,1997=—代人已知式得
x'yz
即恢.31-+丄+丄=vH丄+丄+-1护yz\xyz)
由kHO和xyz>0,可知x>0,y>0,z>0
~i~r111
所以一+—+—=一+—+—
\xyzxyz
两边立方,并注意到丄+丄+丄>0,可得丄+丄+1=1.
xyzxyz
点评本题设参数转化,录求x、y、z间关系式
过关检测】
A级
当m在可取值范围内取不同的值时,代数式J27-伽+2加的最小值是()
A.0B.5C.3品D.9
2•已知:
a.b都是负实数,且丄+丄+丄=0,那么,纟的值为()
—1+>/5
c.
2
6.已知“+b—2^/^7二T一4^/m=3^/7巧一*c一5,那么,a+b+c的值是多少?
B级
1.设等式Jd(x-d)+Ja(y-a)=Jx-ci-Ja-y在实数范囤内成立,其中a、x、y是两两不同的实数,
则"+''二的值是()
才_〈y+y・
A.3B.1C.2D.i
33
2.已知m>0,n>0»且•(•Jm+/?
)=3•(Vw+5>/n),求一的值
2m+3jmn+n
3•已知2x二妇石,试求S=-=^+^k2_的值
4•己知A-24-y/2y=>/3,y24-y/2x=^3,且xHy,求丄+丄的值xy
5.设a、b、c均不为0,且a+b+E998,希.求证:
a、b、c中至少有—个等于1998.
6•已知养b、c为整数,且满足3+a2+b:
+c2abc
第十讲
代数式的化简与求值
A级
1.B2.C3.C4.D5.I6.20
B级
1.B2.33.44.2十2毎
5提示・一4—三血垮」竺,分解得(fl+5)(6^c)(c+a)=0,于是。
七b.b+c.c十a中必有一个x•a+b+cabc
为0.22••
6.手提示:
原不等式可化为:
(a-f)+(c-1)^0,=1,6=2,c=l.