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数学专题复习
数学专题复习之一次函数
一、函数(function)定义:
设在一个变化过程中,有两个变量x与y,如果给定一个x值,相应就确定了一个y的值,就说y是x的函数.x是自变量,y是因变量.
要理解函数的概念需要注意两点:
第一,自变量x必须要在“特定意义范围内取值”,如表达式是:
1.整式,x取一切实数;
2.分式,x取分母不为零的数;
3.二次根式,x取使被开方数为非负数的数,三次根式,则x取一切实数;
4.实际问题则根据实际需要来确定.
第二.函数关系是变量x与y的一种特殊对应关系(呈现方式可以是表达式、图象或表格),而且对自变量x的每一个值,因变量y都有唯一的值与它对应.所谓“唯一”就是有一个且只有一个.
二、函数的性质
(一)、正比例函数y=kx的性质
(1)正比例函数y=kx的图象都经过原点(0,0),(1,k)两点的一条直线
(2)当k>0时,图象都经过一、三象限;
当k<0时,图象都经过二、四象限
(3)当k>0时,y随x的增大而增大;
当k<0时,y随x的增大而减小。
(二)、一次函数y=kx+b的性质
(1)一次函数y=kx+b的图像都经过过(0,b),(1,k+b)两点的一条直线
(2)当k〈0,b〈O,则经二、三、四象限;
当k〈0,b〉0时,则经一、二、四象限;
(3)当k〉0,b〈0时,则经一、三、四象限;
当k〉0,b〉0时,则经一、二、三象限。
(4)当k〉0时,y的值随x值的增大而增大,当x〈0时,y的值随x值的增大而减少。
增减性与b无关.这里k的值可以决定直线倾斜的方向,b的值可以决定直线与y轴相交的交点的位置.
三、五种类型一次函数解析式的确定
确定一次函数的解析式,是一次函数学习的重要内容。
下面就确定一次函数的解析式的题型作如下的归纳,供同学们学习时参考。
(一)、根据直线的解析式和图像上一个点的坐标,确定函数的解析式
例1、若函数y=3x+b经过点(2,-6),求函数的解析式。
分析:
因为,函数y=3x+b经过点(2,-6),
所以,点的坐标一定满足函数的关系式,所以,只需把x=2,y=-6代入解析式中,就可以求出b的值。
函数的解析式就确定出来了。
解:
因为,函数y=3x+b经过点(2,-6),
所以,把x=2,y=-6代入解析式中,
得:
-6=3×2+b,
解得:
b=-12,
所以,函数的解析式是:
y=3x-12.
(二)、根据直线经过两个点的坐标,确定函数的解析式
例2、直线y=kx+b的图像经过A(3,4)和点B(2,7),
求函数的表达式。
分析:
把点的坐标分别代入函数的表达式,用含k的代数式分别表示b,
因为b是同一个,这样建立起一个关于k的一元一次方程,这样就可以把k的值求出来,
然后,就转化成例1的问题了。
解:
因为,直线y=kx+b的图像经过A(3,4)和点B(2,7),
所以,4=3k+b,7=2k+b,
所以,b=4-3k,b=7-2k,
所以,4-3k=7-2k,
解得:
k=-3,
所以,函数变为:
y=-3x+b,
把x=3,y=4代入上式中,得:
4=-3×3+b,
解得:
b=13,
所以,一次函数的解析式为:
y=-3x+13。
(三)、根据函数的图像,确定函数的解析式
例3、如图1表示一辆汽车油箱里剩余油量y(升)与行驶时间x(小时)之间的关系.
求油箱里所剩油y(升)与行驶时间x(小时)之间的函数关系式,并且确定自变量x的取值范围。
分析:
根据图形是线段,是直线上的一部分,所以,我们可以确定油箱里所剩油y(升)是行驶时间x(小时)的一次函数,明白这些后,就可以利用设函数解析式的方法去求函数的解析式。
解:
因为,函数的图像是直线,
所以,油箱里所剩油y(升)是行驶时间x(小时)的一次函数,
设:
一次函数的表达式为:
y=kx+b,
因为,图像经过点A(0,40),B(8,0),
所以,把x=0,y=40,x=8,y=0,分别代入y=kx+b中,
得:
40=k×0+b,0=8k+b
解得:
k=-5,b=40,
所以,一次函数的表达式为:
y=-5x+40。
当汽车没有行驶时,油箱里的油是40升,此时,行驶的时间是0小时;
当汽车油箱里的油是0升,此时,行驶的时间是8小时,
所以,自变量x的范围是:
0≤x≤8.
(四)、根据平移规律,确定函数的解析式
例4、如图2,将直线向上平移1个单位,得到一个一次函数的图像,那么这个一次函数的解析式是.(08年上海市)
分析:
仔细观察图像,直线OA经过坐标原点,
所以,直线OA表示的一个正比例函数的图像,
并且当x=2时y=4,这样,我们就可以求出,
平移的起始函数的解析式,根据函数平移的规律,
就可以确定一次函数的解析式。
把正比例函数y=kx(k≠0)的图像向上或者向下平移|b|个单位,就得到一次函数:
y=kx+b(k≠0,b≠0)的图像。
具体平移要领:
当b>0时,把正比例函数y=kx(k≠0)的图像向上平移b个单位,就得到一次函数:
y=kx+b(k≠0)的图像。
当b<0时,把正比例函数y=kx(k≠0)的图像向下平移|b|个单位,就得到一次函数:
y=kx+b(k≠0)的图像。
解:
因为,直线OA经过坐标原点,
所以,直线OA表示的一个正比例函数的图像,
设y=kx,
把x=2,y=4代入上式,得:
4=2k,
解得:
k=2,
所以,正比例函数的解析式为:
y=2x,
所以,直线向上平移1个单位,所得解析式为:
y=2x+1,
所以,这个一次函数的解析式是y=2x+1。
(五)、根据直线的对称性,确定函数的解析式
例5、已知直线y=kx+b与直线y=-3x+7关于y轴对称,求k、b的值。
分析:
直线y=kx+b与直线y=-3x+7关于y轴对称,所以,对称点的横坐标互为相反数,纵坐标保持不变,这可以是解题的理论依据,当然,也可以从已知直线解析式的图像上,确定出两个点的坐标,分别求出它们关于y轴的对称点的坐标,然后利用待定系数法,计算出k、b的值。
解法1:
设A(x,y)是直线y=-3x+7上一个点,
其关于y轴对称的点的坐标为(-x,y),
则有:
y=-3x+7,y=-kx+b
整理,得:
-3x+7=-kx+b,
比较对应项,得:
k=3,b=7。
解法2:
设A(m,n)是直线y=-3x+7上一个点,
其关于y轴对称的点的坐标为(a,b),
则有:
b=n,m=-a,
因为,A(m,n)是直线y=-3x+7上一个点,
所以,点的坐标满足函数的表达式,
即n=-3×m+7,
把n=b,m=-a,代入上式,得:
b=-3×(-a)+7,
整理,得:
b=3a+7,即y=3x+7,它实际上与直线y=kx+b是同一条直线,
比较对应项,得:
k=3,b=7。
解法3:
因为,y=kx+b,所以,x=
,
因为,y=-3x+7,所以,x=
,
因为,直线y=kx+b与直线y=-3x+7关于y轴对称,
所以,两直线上点的坐标,都满足纵坐标相同,横坐标坐标互为相反数,
所以,
=
=
,
比较对应项,得:
y-b=y-7,k=3,
所以,k=3,b=7。
解法4、
因为,直线y=-3x+7,
所以,
当x=1时,y=-3×1+7=4,
即点的坐标(1,4);
当x=2时,y=-3×2+7=1,
即点的坐标(2,1);
因此,(1,4)、(2,1)关于y轴对称的坐标分别为(-1,4)、(-2,1),
所以,点(-1,4)、(-2,1)都在直线y=kx+b,
三、函数例题讲解
一次函数图象的应用:
为了更好地生存,我们必须在理财、购物、贸易、车房、抗害、战争等领域进行风险分析和预测,我们通常利用物量的线性关系(即一次函数关系)进行理性地决策,通过对一次函数知识研究,能够提升分析问题和解决问题的能力.
[重难点突破]
一次函数的重点是概念、图象和性质.一次函数是最基本函数.学习一次函数后,对研究函数的基本方法有了初步的认识.可以推动反比例函数和二次函数甚至高中各类函数的学习.难点是学习一次函数时,要注意与一元一次方程,一元一次不等式,二元一次方程组的联系,在学习图象时,要与几何知识相联系.
[例题1]已知:
是是一次函数,求m的值.
解:
由题意得:
0,且
,
或
(舍去)
因此,
解后反思:
1、一次函数
中:
k≠0,自变量x的最高次项的次数为1.
2、易错点:
忽视
0这一限制条件而出错.
[例题2]已知,直线
与
平行,且过点(1,-2),请问直线
不经过哪个象限?
解:
由题意得:
,
;
又:
-2=3×1+b,
;
即直线
不经过第一象限.
解后反思:
1、直线y=
+
与直线y=
平行,即
,反之亦然;
2、直线经过点(m,n),或点(m,n)在直线上,则
满足关系式
,就是
.
3、题中直线
中,
4、易错点:
本题提到的直线有三条,要搞清是对哪条直线提出问题;另外,有的同学审题粗心易回答成经过的象限.
[例题3]如图所示,已知直线l交x轴于点B,交y轴于点A,求:
(1)y与x的函数关系式;
(2)三角形AOB的周长和面积;
解:
(1)直线l中,设:
,
点A(0,2)在直线上,
;
又B(3,0)在直线上,
;
因此,
.
(2)从图象观察得,OA=2,OB=3,
由勾股定理得,
,
三角形AOB的周长为:
OA+OB+AB=5+
(单位长度);
三角形AOB的面积为:
S
(单位平方)
解后反思:
1、确定一次函数的表达式,就是求待定系数k,b.一般已知直线上两双不同对应值,可以得到两个方程,求出k,b.
2、第二小题,是涉及函数与几何的综合题,根据勾股定理、三角形有关性质等知识,运用数形结合的思想求得.
3、易错点:
用坐标表达线段长度时,要注意加绝对值符号,如P(0,-7),则OP=|-7|=7
[例题4]妈妈在用洗衣机洗涤衣服时,经历了进水、清洗、排水、脱水四个连续过程,其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量y(升)与时间x(分钟)之间的关系如折线图所示:
根据图象解答下列问题:
1.洗衣机的进水时间是多少分钟?
清洗时洗衣机中的水量是多少升?
2.已知洗衣机的排水速度为每分钟19升;
1)求排水时y与x之间的关系式。
2)如果排水时间为2分钟,求排水结束时洗衣机中剩下的水量。
解:
观察图象得:
1.洗衣机的进水时间是4分钟,清洗时洗衣机中的水量是40升;
2.1)排水时y与x之间的关系式为:
=
;(15≤x≤
)
2)
,
×17+325=2(升),即洗衣机中剩下2升水.
解后反思:
1、其实进水过程,即0≤x≤4,
;清洗时过程,即10≤x≤15时,
;
2、易错点:
本题容易对x的含义产生误解,错把x当排水时间,从而写成:
.
[例题5]朝阳居民小区按照分期付款的福利售房方式购房,政府给予一定的贴息.王林家购得一套现款价值120000元的房子,购房时首期(第一年)付款30000元,从第二年起,以后每年应付房款为5000元与上一年剩余欠款利息的和.(剩余欠款年利率为0.4%)
(1)若第x(
)年小明家交付房款y元,求y与x的函数关系式;
(2)求第三、第十年的应付房款值.
解:
(1)第一年付房款:
30000元,
第二年付房款:
5000+(120000-30000)×0.4%元,
第三年付房款:
5000+(120000-30000-1×5000)×0.4%元,
第四年付房款:
5000+(120000-30000-2×5000)×0.4%元,
……
第x年付房款:
5000+[120000-30000-(x-2)×5000]×0.4%元,
即=5000+[120000-30000-(x-2)×5000]×0.4%=-20+5400;
(2)x=3时,y=-20×3+5400=5340元,第三应付房款值5340元;
x=10时,y=-20×10+5400=5200元,第十应付房款值5200元.
解后反思:
1、住房问题是居民生活的热门话题,也是需要用数学知识解决的实际问题;
2、通过枚举法,探索、归纳,最后总结规律,前、后年差别在5000前面的因数,通过对比发现,第x年5000前面的因数是(x-2).
3、易错点:
第x年剩余欠款的规律不易找到.
[例题6]缑城TAXI收费标准如下:
5千米以内(包括5千米)收费5元,超出5千米时每千米收费1.4元,求:
(1)TAXI应收车费y(元)与行驶路程x(千米)之间的函数关系。
(2)王巧从缑城出发去10千米处的竹林村需要多少钱?
去20千米的前童古镇带20元够了吗?
解:
我们应该对这个问题进行两个阶段的分析:
(1)0≤x≤5,y=5;x>5,y=5+(x-5)•1.4=1.4x-2;
(2)x=10,y=1.4×10-2=12元;
x=20,y=1.4×20-2=26元.所以去前童古镇还欠6元.
一、选择题:
1.下列说法正确的是()
A.正比例函数是一次函数B.一次函数是正比例函数
C.正比例函数不是一次函数D.不是正比例函数就不是一次函数
2.下列函数中,y是x的一次函数的是()
A.y=-3x+5B.y=-3x2C.y=
D.y=2
3.已知等腰三角形的周长为20cm,将底边y(cm)表示成腰长x(cm)的函数关系式是y=20-2x,则其自变量的取值范围是()
A.0
4.一次函数y=kx+b满足x=0时,y=-1;x=1时,y=1,则这个一次函数是()
A.y=2x+1B.y=-2x+1C.y=2x-1D.y=-2x-1
5、下列一次函数中,y随x值的增大而减小的()
A.y=2x+1B.y=3-4xC.y=
x+2D.y=(5-2)x
6、已知一次函数y=mx+│m+1│的图象与y轴交于(0,3),且y随x值的增大而增大,则m的值为()
A.2B.-4C.-2或-4D.2或-4
7、已知一次函数y=mx-(m-2)过原点,则m的值为()
A.m>2B.m<2C.m=2D.不能确定
8、下列关系:
①面积一定的长方形的长s与宽a;②圆的周长s与半径a;③正方形的面积s与边长a;④速度一定时行驶的路程s与行驶时间a.其中s是a的正比例函数的有()
A.1个B.2个C.3个D.4个
9、一次函数的图象经过点A(-2,-1),且与直线y=2x-3平行,则此函数的解析式为()
A.y=x+1B.y=2x+3C.y=2x-1D.y=-2x-5
10、已知一次函数y=kx+b,当x=1时,y=2,且它的图象与y轴交点的纵坐标是3,则此函数的解析式为()
A.0≤x≤3B.-3≤x≤0C.-3≤x≤D.不能确定
11、已知点(a,b)、(c,d)都在直线y=2x+1上,且a>c,则b与d的大小关系是()
A.b>dB.b=dC.b
12、已知自变量为x的一次函数y=a(x-b)的图象经过第二、三、四象限,则()
A.a>0,b<0B.a<0,b>0C.a<0,b<0D.a>0,b>0
13、如图所示的图象中,不可能是关于x的一次函数y=mx-(m-3)的图象的是()
14、(杭州)一次函数
的图象不经过()
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
15、(南宁)如图,
反映了某公司的销售收入与销售量的关系,
反映了该公司的产品销售成本与销售量的关系,当该公司赢利(收入大于成本)时,销售量()
A.小于3吨B.大于3吨
C.小于4吨D.大于4吨
16、(哈尔滨)若正比例函数
的图象经过点
和点
,当
时,
,则m的取值范围是()
A.
B.
C.
D.
17、(甘肃)结合正比例函数
的图象回答:
当
时,y的取值范围是()
A.
B.1≤x<4C.
D.
18、(山西)若
,则下列函数:
①
;②
;③
;④
中,y随x的增大而增大的是()
A.①②B.②③C.①③D.③④
19、(河南)两条直线
与
在同一坐标系中的图象可能是下图中的()
A.2个B.3个C.4个D.5个
二、填空题:
1.(广州)如果正比例函数的图象经过点(2,1),那么这个函数的解析式是__________.
2.(四川)在平面直角坐标系中,直线
(k,b为常数k≠0,b>0)可以看成是将直线
沿y轴向上平行移动b个单位得到的,那么将直线
沿x轴向右平行移动m个单位(m>0)得到的直线方程是____________.
3.(大连)大连市内与庄河两地之间的距离是160千米,若汽车以平均每小时80千米的速度从大连开往庄河,则汽车距庄河的路程s(千米)与行驶的速度t(小时)之间的函数关系式为_________________.
4.(河南)若一次函数
的图象经过第一、二、四象限,则m的取值范围是________________.
5.已知函数y=(k-1)x+k2-1,当k________时,它是一次函数,当k=_______时,它是正比例函数.
6.从甲地向乙地打长途电话,按时间收费,3分钟内收费2.4元,每加1分钟加收1元,若时间t≥3(分)时,电话费y(元)与t之间的函数关系式是_________.
7.已知A、B、C是一条铁路线(直线)上顺次三个站,A、B两站相距100千米,现有一列火车从B站出发,以75千米/时的速度向C站驶去,设x(时)表示火车行驶的时间,y(千米)表示火车与A站的距离,则y与x的关系式是_________.
8、已知一次函数的图象经过点A(1,4)、B(4,2),则这个一次函数的解析式为___________.
9、如图1,该直线是某个一次函数的图象,则此函数的解析式为_________.
10、已知y-2与x成正比例,且x=2时,y=4,则y与x的函数关系式是_________;当y=3时,x=__________.
11、若一次函数y=bx+2的图象经过点A(-1,1),则b=__________.
12、如图2,线段AB的解析式为____________.
13、一条平行于直线y=-3x的直线交x轴于点(2,0),则该直线与y轴的交点是_________.
14、已知一次函数y=kx+b的图象经过点(0,-4),且x=2时y=0,则k=______,b=_______.
三、解答题:
1、某一次函数的图象与直线y=6-x交于点A(5,k),且与直线y=2x-3无交点,求此函数的关系式.
2、已知y与
成正比例,且
时,
.
(1)求y与x之间的函数关系式;
(2)若点
在函数的图象上,求a的值.
3、(南京)某地举办乒乓球比赛的费用y(元)包括两部分:
一部分是租用比赛场地等固定不变的费用b(元),另一部分与参加比赛的人数x(人)成正比例.当x=20时,y=1600;当x=30时,y=2000.
(1)求y与x之间的函数关系式;
(2)如果有50名运动员参加比赛,且全部费用由运动员分摊,那么没2名运动员需要支付多少元?
4、(海南)在我省环岛高速公路上,一辆轿车和一辆货车沿相同路线从A地到B地,所经过的路程y(千米)与时间x(小时)的函数关系如图所示,试根据图象回答下列问题:
(1)货车比轿车早出发__________小时,轿车追上货车时行驶了__________千米,A地到B地的距离为_________千米.
(2)轿车追上货车需要多小时?
(3)轿车比货车早到多少时间?
5、已知点A(a+2,1-a)在函数y=2x-1的图象上,求a的值.
6、已知一次函数的图象经过点A(-3,2)、B(1,6).
①求此函数的解析式,并画出图象.
②求函数图象与坐标轴所围成的三角形面积.
7、在弹性限度内,弹簧的长度y(cm)是所挂物体的质量x(kg)的一次函数,当所挂物体的质量为1kg时,弹簧长10cm;当所挂物体的质量为3kg时,弹簧长12cm.写出y与x之间的函数关系,并求出所挂物体的质量为6kg时弹簧的长度.
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