数学优化学案《点线面位置关系》.docx
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数学优化学案《点线面位置关系》
4.下列说法中,正确的是________.
①首尾相接的四条线段在同一个平面内;
②三条互相平行的线段在同一个平面内;
③两两相交的三条直线在同一个平面内;
④若四个点中的三个点在同一条直线上,那么这四个点在同一个平面内;
⑤若A∈l,A∈α,B∈l,B∈α,则l⊂α;
⑥若A∈α,A∈β,B∈α,B∈β,则α∩β=AB;
⑦若l⊄α,A∈l,则A∉α
【例1】根据图形,写出图形中的点、直线和平面之间的关系。
图
(1)可以用几何符号表示为:
.
图
(2)可以用几何符号表示为:
.
【例2】如右上图所示,在正方体ABCD−A1B1C1D1中,B1D与平面ACD1交于点O,BD与平面ACD1交于点M,求证:
M,O,D1三点共线。
【变式2】如图,已知 的三个顶点都不在平面α 内,它的三边AB ,BC ,AC 延长后分别交平面α 于点P ,Q ,R .求证:
P ,Q ,R 三点在同一条直线上.
【例3】证明两两相交而不共点的四条直线在同一平面内
已知:
如图所示,直线l1,l2,l3,l4两两相交且不共点。
求证:
直线l1,l2,l3,l4在同一平面内。
【例4】如图所示,△ABC与△A1B1C1不在同一平面内,如果三条直线AA1,BB1,CC1两两相交,求证:
三条直线AA1,BB1,CC1相交一点.
5.在空间内,可以确定一个平面的条件是_______.
①两两相交的三条直线;②三条直线,其中的~条与另外两条直线分别相交;
③三个点;④三条直线,它们两两相交,但不交于同一点;⑤两条直线.
6.
4、直线l与平面α有两个公共点,则()
A.l⊂αB.l∥αC.l与α相交D.l∈α
5、若M∈平面α,M∈平面β,则α与β的位置关系是()
A.平行B.相交C.异面D.不确定
10、如果一条直线经过平面内的一点,又经过平面外的一点,则此直线和平面相交.
已知:
A∈α,A∈a,B∉α,B∈a.
求证:
直线a与平面α相交.
11、已知:
直线a∥b,a∩平面α=P.求证:
直线b与平面α相交。
2、平行六面体ABCD−A1B1C1D1中,既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为( )
A.3B.4C.5D.6
4在长方体ABCD−A1B1C1D1中,与对角线AC1异面的棱共有( )
A.4条B.6条C.8条D.10条、
【例1】室内一根直尺,无论怎样放置,在地面上总有这样直线,它与直尺所在的直线( )
A.异面B.相交C.垂直D.平行
【变式3】如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上,且AB∥CD,正方体的六个面所在的平面与直线CE,EF相交的平面个数分别记为m,n,那么m+n=______.
4、两条异面直线在同一个平面上的正投影可能是:
5、下列五个命题中正确命题的序号是()
①如果a、b是两条直线,a∥b,那么a平行于经过b的任何一个平面;
②如果直线a和平面α满足a∥α,那么a与平面α内的任何一条直线平行;
③如果直线a、b满足a∥α,b∥α,则a∥b;
④如果直线a、b和平面α满足a∥b,a∥α,b⊄α,那么b∥α;
⑤如果直线a与平面α上的无数条直线平行,那么直线a必平行于平面α.
4.设a,b是异面直线,a⊂平面α,则过b与α平行的平面( )
A.不存在B.有1个
C.可能不存在也可能有1个D.有2个以上
5、如图所示,已知E,F分别是空间四边形ABCD的边AB与BC的中点,G,H分别是边CD与AD上靠近D的三等分点,求证:
四边形EFGH是梯形.
6、如图,已知E. E1分别是正方体ABCD−A1B1C1D1的棱AD、A1D1的中点,求证:
∠BEC=∠B1E1C1.
8、求证:
两条平行线中的一条与已知平面相交,则另一条也与该平面相交.
已知:
直线a∥b,a∩平面α=P,如图所示.
求证:
直线b与平面α相交.
10、一条直线经过平面内一点,又经过平面外一点,判断这条直线与平面的位置关系,并说明理由.
3、空间四边形ABCD中,E、F分别是AB和BC上的一点,若AE:
EB=CF:
FB=1:
3,则对角线AC与平面DEF的位置关系是()
A.平行B.相交C.AC在平面DEF内D.不能确定
【例1】
【变式1】如图,两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AM,M∈AC,N∈FB且AM=FN,求证:
MN∥平面BCE.
【变式2】在正方体ABCD−A1B1C1D1中,M、N、P分别是CC1、B1C1、C1D1的中点。
(1)求异面直线PN、AC所成角;
(2)求证:
平面MNP∥平面A1BD.
【变式3】
3、m,n表示两条不同直线,α,β,γ表示平面,下列说法正确的个数是()
①若α∩β=m,α∩γ=n,且m∥n,则β∥γ;
②若m,n相交且都在α,β外,m∥α,m∥β,n∥α,n∥β,则α∥β;
③若α∩β=l,m∥α,m∥β,n∥α,n∥β,则m∥n;
④若m∥α,n∥α,则m∥n.
A.0个B.1个C.2个D.3个
4、给出下列关于互不相同的直线m,n,l和平面α,β的四个命题:
①m⊂α,l∩α=A,点A∉m,则l与m不共面;
②l、m是异面直线,l∥α,m∥α,且n⊥l,n⊥m,则n⊥α;
③若l∥α,m∥β,α∥β,则l∥m;④若l⊂α,m⊂α,l∩m=点A,l∥β,m∥β,则α∥β
其中真命题个数是( )A.1B.2C.3D.4
2、直线a、b为两异面直线,下列结论正确的是( )
A.过不在a、b上的任何一点,可作一个平面与a、b都平行
B.过不在a、b上的任一点,可作一直线与a、b都相交
C.过不在a、b上任一点,可作一直线与a、b都平行
D.过a可以并且只可以作一个平面与b平行
3、
5、已知直线a和平面α,β,试利用上述三个元素并借助于它们之间的位置关系,构造出一个判断α⊥β的真命题______.
7、正方体ABCD−A1B1C1D1中,E、F.M、N分别是AB,CC1、AA1、C1D1的中点,求证:
平面CEM∥平面BFN.
12、如图,在正四棱锥P−ABCD中,PA=AB=a,点E在棱PC上。
(1)问点E在何处时,PA∥平面EBD,并加以证明;
(2)求二面角C−PA−B的余弦值。
【例1】如图所示,四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面,若截面为平行四边形。
(1)求证:
AB∥平面EFGH,CD∥平面EFGH;
(2)若AB=4,CD=6,求四边形EFGH周长的取值范围。
【变式1】如图5,A,B,C,D在同一平面内,AB∥平面α,AC∥BD,且AC,BD与α分别交于点C,D,求证:
AC=BD.
【变式3】如图所示,S为矩形ABCD所在平面外一点,E、F分别是SD、BC上的点,且SE:
ED=BF:
FC,求证:
EF∥平面SAB.
4、夹在两个平面间的若干条线段,它们互相平行且相等,则这两个平面的位置关系为____.
5、正方体ABCD-A1B1C1D1中E,F,G,H分别为AA1,CC1,C1D1,D1A1的中点,EFGH的形状()
9、平面α∥平面β,AB、CD是夹在这两个平面之间的线段,且AE=EB,CG=GD,AB、CD不共面,如图所示.求证:
EG∥平面α,EG∥平面β.
10、己知在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N分别是A1D1、A1B1的中点,在该正方体中作出与平面AMN平行的三个平面,并证明其中一个结论。
11、如图,已知四边形ABCD是平行四边形,点P是平面ABCD外的一点,则在四棱锥P-ABCD中,M是PC的中点,在DM上取一点G,过G和AP作平面交平面BDM于GH.求证:
AP∥GH.
【例1】如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P是DD1的中点,O是底面ABCD的中心.求证:
B1O⊥平面PAC.
【例2】如图所示,已知PA垂直于圆O所在的平面,AB是圆O的直径,点C是圆O上任意一点,过A作AE⊥PC于E,AF⊥PB于F,求证:
(1)AE⊥平面PBC;
(2)平面PAC⊥平面PBC;
(3)PB⊥EF.
【变式2】如图,四棱锥P−ABCD的侧面PAD是正三角形,且垂直于底面,底面ABCD是矩形,E是PD的中点,求证:
平面ACE⊥平面PCD.
【例3】如图所示,已知∠BOC在平面α内,OA是平面α的斜线,且∠AOB=∠AOC=60∘,OA=OB=OC=a,BC=2√a,求OA和平面α所成的角。
【变式4】如图,二面角α-l-β的平面角为120°,A、B∈l,AC⊂α,BD⊂β,AC⊥l,BD⊥l,若AB=AC=BD=1,则CD=()
A.
B.
C.2D.
5、四棱锥P-ABCD的底面ABCD是一个正方形,PD垂直于ABCD,则这个四棱锥的五个面中,互相垂直的平面共有 ( )
A.3对B.4对C.5对D.6对
3、如图,正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1,线段B1D1上有两个动点E,F,且EF=
则下列结论中错误的是()
A. AC⊥BEB. EF∥平面ABCD
C.三棱锥A−BEF的体积为定值D. △AEF的面积与△BEF的面积相等
4、已知直线l,m与平面α,β,γ,满足β∩γ=l,l∥α,m⊂α,m⊥γ,则必有( )
A.α⊥γ,m∥βB.α∥β,α⊥γC.m∥β且l⊥mD.α⊥γ,l⊥m
6、对于四面体ABCD,给出下列四个命题
①若AB=AC,BD=CD,则BC⊥AD;②若AB=CD,AC=BD,则BC⊥AD;
③若AB⊥AC,BD⊥CD,则BC⊥AD;④若AB⊥CD,BD⊥AC,则BC⊥AD.
其中真命题的序号是___.(写出所有真命题的序号)
8、如图所示,已知PA垂直于圆O所在平面,AB是圆O的直径,
C是圆周上一点,则图中面面垂直的共有 对.
10、
11、如图,在五面体ABCDEF中,点O是矩形ABCD的对角线的交点,面CDE是等边三角形,棱EF
BC.
⑴证明FO∥平面CDE;
⑵设BC=
CD,证明EO⊥平面CDF.
12、如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别为棱BC,CC1,C1D1,AA1的中点,O为AC与BD的交点.
(1)求证:
平面BDF∥平面B1D1H;
(2)求证:
平面BDF⊥平面A1AO;
(3)求证:
EG⊥AC.
2、设平面α⊥平面β,且α∩β=l,直线a⊂α,直线b⊂β,且a不与l垂直,b不与l垂直,那么a与b()
A.可能垂直,不可能平行B.可能平行,不可能垂直
C.可能垂直,也可能平行D.不可能垂直,也不可能平行
4、
【例1】
【变式1】
【例2】P是四边形ABCD所在平面外一点,ABCD是∠DAB=60∘且边长为a的菱形,侧面PAD为正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD.
(1)若G为AD边的中点,求证:
BG⊥平面APD;
(2)求证:
AD⊥PB.
【变式3】
2、
5、
求证:
PC⊥BC
求点A到PBC的距离。
6、△BCD中,∠BCD=90∘,BC=CD=1,AB⊥平面BCD,∠ADB=60∘,E、F分别是AC、AD上的动点,且AEAC=AFAD=λ(0<λ<1).
(Ⅰ)求证:
不论λ为何值,总有平面BEF⊥平面ABC;
(Ⅱ)当λ为何值时,平面BEF⊥平面ACD?
2、已知平面α,β和直线a,b,若α∩β=l,a⊂α,b⊂β,且平面与平面β不垂直,直线a与直线l不垂直,直线b与直线l不垂直,则()
A.直线a与直线b可能垂直,但不可能平行B.直线a与直线b可能垂直,也可能平行
C.直线a与直线b不可能垂直,但可能平行D.直线a与直线b不可能垂直,也不可能平行
5、已知m,n为异面直线,m∈平面α,n∈平面β, α∩β=l则l()
A.与m,n,都相交B.与m,n,中至少一条相交
C.与m,n都不相交D.至多与m,n中的一条相交
9、设三棱锥P-ABC的顶点P在底面ABC内射影为点O(在△ABC内部,即过点P作PO⊥底面ABC,交于点O),且点O到三个侧面的距离相等,则点O是△ABC的()
A.外心B.垂心C.内心D.重心
9、给出下列三个命题:
①有四个相邻侧面互相垂直的棱柱是直棱柱;
10、②各侧面都是正方形的四棱柱是正方体;
③底面是正三角形,各侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥。
其中真命题的个数是()
A.1B.2C.3D.0
11、从一点P引出三条射线PA、PB、PC,且两两成角60∘,则二面角A−PB−C的余弦值是( )
A.
B.
C.−
D.−
13、若二面角α-l-β是直二面角,A∈α,B∈β,AA1⊥l于A1,BB1⊥l于B1,且AA1=A1B1=1,B1B=2,M是直线l上的一个动点,则AM+BM的最小值为______.
14、已知三个命题:
①两个平面垂直,过其中一个平面内一点,作与它们交线垂直的直线,必垂直于另一个平面;②两个平面垂直,分别在两个平面内,且互相垂直的两条直线,一定分别与另一个平面垂直;③两个平面垂直,则分别在这两个平面内的两条直线互相垂直。
其中假命题的序号是______.
15、已知正四棱锥的体积为12,底面对角线长为2
则侧面与底面所成的二面角等于___∘.
16、如图,下列五个正方体图形中,I是正方体的一条对角线,点M、N、P分别为其所在棱的中点,能得出I垂直于平面MNP的图形的序号是___.
17、正方体ABCD−A1B1C1D1中,E.F.G分别是棱DA、DC、DD1的中点,试找出经过正方体的三个顶点且与平面EFG平行的平面,并证明你的结论。
19.如图所示,在△ABC中,∠BAC=60∘,线段AD⊥平面ABC,AH⊥平面DBC,H为垂足。
求证:
H不可能是△BCD的垂心。
20、如图,ABCD−A1B1C1D1是正四棱柱,侧棱长为1,底面边长为2,E是棱BC的中点。
(1)求三棱锥D1−DBC的体积;
(2)证明BD1∥平面C1DE;
(3)求面C1DE与面CDE所成二面角的正切值。
21、已知三棱柱ABC−A1B1C1中底面边长和侧棱长为a,侧面A1ACC1⊥底面△ABC,A1B=
a.
(1)求异面直线AC与BC1所成角的余弦值。
(2)求证:
A1B⊥平面AB1C.
22、已知正方形ABCD.E、F分别是AB、CD的中点,将△ADE沿DE折起,如图所示,记二面角A−DE−C的大小为θ(0<θ<π).
(Ⅰ)证明BF∥平面ADE;
(Ⅱ)若△ACD为正三角形,试判断点A在平面BCDE内的射影G是否在直线EF上,证明你的结论,并求角θ的余弦值。
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