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一次函数相关决策问题整理
(供各位老师参考及选择使用)
一、文字信息类
一、购买方案决策题
1、(彭4)小王大学毕业后去两家超帀应聘•:
A超帀底薪为1000元再加上每月销售额的10%;
B超M底薪为600元再加上每月销售额的20%;如果你是小王该选择去哪家超
解答:
设刀销售额为x,则yA=1000+10%xyB=600+20%x
(1)当yA>yB时.即xV4000时,选A超市
(2)当yA=yB时.即x=4000时,选A超市B超市都一样
(3)当yA
2、(岭南)电视台在某天晚上黄金时段的3分钟内插播时长为20秒和40秒的两种广告,20秒广告每次收费6000元,40秒广告每次收费10000元,若要求每种广告播放不少于2次,且电视台选择收益最大的播放方式,则在这一天黄金时段的3分钟内插播广告的最大收益是多少元?
解:
这一天黄金时段的3分钟内20秒,40秒的广告分别播5次、2次,电视台最大收益为50000ylo3、(易错集1)某市移动通讯公司开设了两种通讯业务:
“全球通”使用者先缴50元/月基础费,然后每通话I分钟,再付电话费0.4元,“神州行”不缴月基础费,每通话1分钟,付电话费0.6元,若一个月通话x分钟,两种通讯方式的费用分别为yl元和y2元.
(1)分别写出yl、y2与x之间的函数关系式(不要求写出定义域);
(2)一个月内通话多少分钟,两种通讯方式的费用相同?
(3)若某人预计一个月内通话费200元,则应选择哪种通讯方式鮫合算?
解答:
(1)yl=50+0.4xy2=0.6x
(2)50+0.4x=0.6x,所以x=250
(3)x=200时,yl=I30,y2=120,故此时“神州行”比较合算
4、新知中学初二年级准备购买10只米奇品牌的笔袋,每只笔袋配x(x>3)支水笔作为奖品,己知人B两家超市都有这个牌子的笔袋和水笔出售,而且每只笔袋的标价都为20元,每支水笔的标价都为1元,现两家超市正在促销,A超市所有商品均打九折销售,而3超山买1只笔袋送3支水笔,若仅考虑购买笔袋和水笔的费用,请解答下列问题:
(1)如果只在某一家超市购买所霊笔袋和水笔,那么去4超市还是3超市买更合算?
(2)当x=12时,请设计最省钱的购买方案.
解
(1)去A超市购买所需费用:
儿=°・9(20乂10+10兀),即:
为=9兀+180。
分)
去3超市购买所需费用儿=20x10+10(—3),即=10x4-170仆分)
去人超市购买更合算.;
当)Sv时,即9x+180<10x4-170,x>10
当九二)。
时,up9^+180=10^+170,兀=10.去A超市或B超市购买_样;
当)1>儿时,即9无+180>10x+170,x<10,当3WxvlO时,去B超市购买更合算
综上所述:
当兀>10时,去4超市购买更合算;
当x=\0时,去A超市或B超市购买—•样;
当3Wjc<10时,去B超市购买更合算.(3分)
(2)当x=l2时,即购买10只笔袋应配120支水笔.
设总费用为6在A超市买"只笔袋,则在B超市买(10—g)只笔袋,送3(10—°)支水笔.因为4超市所有商品均打九折销售,所以剩下[120-3(10-。
)]支水笔应在4超市买
・・・b=0.9[20a+120-3(10-6/)]+20(10-6/)(1分)
・・・b=0.7d+281(0<6/<10)
当g=0时,Z?
=281为最小.
・・・最佳方案为:
只在B超市购买10只笔袋,同时获得送30支水笔,然后去A超市按九折购买90支水笔.(1分)5、某服装厂生产一种西装和领带,西装每套定价200元,领带每条定价40元.厂方在开展促销期间,向客户提供两种优惠方案:
(1)买一套西装送一条领带;
(2)西装和领带均按定价的90%付款.某商丿占老板现要到该服装厂购买西
装20套,领带(x>20)条.请你根据X的不同情况帮助商丿占老板选择最省钱的购买方案.
解析:
这是一道取材于实际牛活的商品经济问题,对此,同学们并不陌牛.关键问题在于根据两种优惠方案构建一次函数模型.然后.根据口变量的取值范围,通过解不等式去确定最优购买方案.
解答:
按优惠方案⑴购买,应付款:
200X20+(x-20)X40=40x+3200(元);按优惠方案
(2)购买,应付款:
(200X20+40x)X90%=36x4-3600(元).
设y=(40x+3200)-(36x+3600)=4x-400(元).当yvO,即20 选择方案⑴比方案⑵省钱;当y=O时,即X=100时,选择方案 (1)与方案 (2)同样省钱;当y>O,即x>100时,选择方案⑵比方案⑴省钱.如果同时选择方案⑴与方案 (2),那么为了获得厂家赠送领带的数量最多,同时享受九折优惠,可综合设计方案(3): 先按方案 (1)购买20套西装并获赠送的加条领带,然后余下的(x-20)条领带按优惠方案⑵购买,应付款: 200X20+(x-20)X40X90%=36x+3280(元).力案(3)与方案⑵比较.显然按方案⑶购买较省钱.方案⑶与方案⑴比较,当36x+3280<40x+3200时,解得x>20,即当x>20时,方案(3)比方案 (1)省饯.综上所述,当x>20时.按方案(3)购买最省饯. 6、(闸北八中)“五一”黄金周,国美、苏宁两家商场以同样的价格出售同样的电器,但是各口推出的优惠方案不同.国美规定: 凡购买超过2000元电器的,超出的金额按80%实收;苏宁规定: 凡购买超过1000元电器的,超岀的金额按90%实收.问: 顾客应怎样选择商场,使得购买的电器能获得更大的优惠? 解: 解: 设顾客所购买电器的金额为天元,由题意得: 1分 当0VxWlOOO时,可任意选择国美、苏i两商场;1分 当10002000吋,可选择苏宁商场;1分 当x>2000时, 国美实收金额为: y甲=2000+(x-2000)X0.8(元) 苏宁实收金额为: y乙=1000+(x—1000)X0.9(元)1分 1若),甲Vy乙时,即: 2000+(%-2000)X0.8<1000+(x-1000)X0.9 0.8x+400<0.9x+100 0.1Q300 Q3000 所以,当x>3000时,可选择国美商场.1分 2若y甲=『乙时,即: 2000+(x-2000)X0.8=1000+(x-1000)X0.9 0.8x+400=0.9x+l00 0.1x=300 兀=3000 所以,当x=3000时,可任意选择国美、苏宁两商场.1分 3若歹甲>),乙时,即: 2000+(%-2000)X0.8>1000+(x~1000)X0.9 0.8x+400>0.9x+100 0.1x>300 x<3000 所以,当x<3000时,可选择苏宁商场.1分 综上所述,顾客对于商场的选择可参考如门 (1)当0VxWlOOO或x=3000时,可任意选择国美、苏宁两商场; (2)当1000 (3)当兀>3000时,可选择国美商场. 7、小刚家装修,准备安装照明灯.他和爸爸到帀场进行调查,了解到某种优质品牌的一盏40瓦白炽灯的售价为1.5元,一盏8瓦节能灯的售价为22.38元,这两种功率的灯发光效果相当•假定电价为0.45元/度,设照明时间为x(小时),使用一盏白炽灯和一盏节能灯的费川分别为yl(元)和y2(元)[耗电量(度)=功率(千瓦)x用电时间(小时),费用二电费+灯的售价]. (1)分别求出yl、y2与照明时I'可x之间的函数表达式; (2)你认为选择哪种照明灯合算? (3)若一盏白炽灯的使用寿命为2000小时,一盏节能灯的使用寿命为6000小时,如果不考虑其他因素,以6000小时计算,使用哪种照明灯省钱? 省多少钱? 分析: 本题是一道一次函数与不等式联合应用的实际问题.要说明选择哪种照明灯合算.需要根据实际问题列出函数关系式,进而列出不等式,通过解不等式來解决问题. 一40 解 (1)根据题意,得v】=0.45Xx+1.5,即yi=0.018x+l.5; 1000 8 yz=O.45Xx+22.38,即y2=0.0036x+22.38. 1000 (2)由yi=y2,得0.018x+l.5=0.0036x+22.38,解得x=1450; 由y>y2,得0.018x+l.5>0.0036x+22.38,解得x>1450; lljyi 所以当照明时间为1450小时时,选择两种灯的费用相同;当照明时间超过1450小时时,选择节能灯合算;当照明时间少于1450小时时,选择白炽灯合算. (3)由⑵知当x>1450小时时,使用节能灯省钱. 当x=2000时,71=0.018X2000+1.5=37.5(元); 当x=6000时,y2=0.0036X6000+22.38=43.98(元), 所以3X37.5-43.98=68.52(元). 所以按6000小时计算,使用节能灯省钱,省68.52元 二、利润最大决策题 8、(华灵)某商场计划投资一笔资金采购-批紧俏商品,经M场调查发现,如果月初售出,可获利15%,并可用木利和在投资其他商品,到月末乂可获利10%;如果月末出售可获利30%,但要付出仓储费700元。 请问商场如何购销获利较多? 当$甲=歹乙时,x二200000(元),两种方案一•样多。 当丫沁乙时,x<200000(元),选甲方案。 当$甲°乙时,x>200000(元),选乙方案。 9、(和山)某牛奶加工厂现有鲜牛奶9吨,若在市场上直接销售鲜奶,每吨可获収利润500元,制成酸奶销售,每吨可获取利润1200元,制成奶片销售,每吨可获取利润2000元。 该工厂的牛产能力是: 如制成酸奶,每天可加工3吨,制成奶片,每天可加工1吨,受人员限制,两种方式不可同时进行,受气温条件限制,这批牛奶必须在4天内全部销售或加工完毕,为此该厂设计了两种可行方案: 方案一: 尽对能多的制成奶片,其余直接销售鲜牛奶。 方案二: 将部分制成奶片,其余制成酸奶销售并恰好4天完成。 你认为哪种方案获利最多,为什么? 解答: 方案一: 加工4天,奶片4吨,剩余5吨鲜牛奶直接销售,所得利润为: 4X2000+5X500=10500(元) 方案二: 奶片一天,耗1吨牛奶,还剩8吨牛奶制酸奶需要三天,止好一共加工四天奶片两天。 耗2吨丫奶,还剩7吨丫奶制酸奶需要三天,四天不能加工完,舍。 奶片三天。 耗3吨牛奶,还剩6吨牛奶制酸奶需要两天,四天不能加工完,舍。 所以方案二利润为: 2000+8X1200=11600(元) 所以方案二获利多。 10、某水产晶养殖加工厂有200名工人,每名工人每天平均捕捞水产品50kg,或将当日所捕捞的水产品40kg进行精加工.已知每T克水产品直接岀售要获利润6元,秸加工后再出售,可获利润18元.设每天安排X名工人进行水产品耕加工. (1)求每天做水产品精加工所得利润y元与X的函数关系式; (2妆口果每天梢加工的水产品和未来得及梢加工的水产品全部出售,那么如 何安排生产使一天所获利润最大? 最大利润是多少? 解析: 只要建立起一次苗数模型,根据增减性质即可求解. 解答: (l)y=18X40x=720x (2)设一天所获利润为w元,则: w=720x+6[50(200-x)-40xJ=l80x4-60000,3®为50(200-x) 111丄 >40x,-90xN10000,所以xW9,而w是x的一次惭数,k=180>0,所以w随x的增大而增大,因为x为整数,当x=lll吋,利润最大,w最大=180X111+60000=79980元.即安排Ill名工人进行水产品精加工,安排89名工人捕捞水产品,所获利润最大,最大利润为79980元 11、(03|=|-肃)某工厂生产某种产品,每件产品的出厂价为1万元,其原材料成木价(含设备损耗等)为0.55万元,同吋在生产过程中平均每生产一件产品有1吨的废渣产生.为达到国家坏保耍求,需耍对废渣进行脱硫、脱氮等处理.现有两种方案对供选择. 方案一: rh工厂对废渣直接进行处理,每处理1吨废渣所用的原料费为0.05万元,并>1•每月设备维护及损耗费为20万元. 方案二: 工厂将废渣集中到废渣处理厂统一处理.每处理1吨废渣需付0」万元的处理费. (1)设工厂每月生产x件产品,每月利润为y万元,分别求出川方案一和方案二处理废渣时,y与x之间的函数关系式(利润二总收入-总支出); (2)如果你作为工厂负责人,那么如何根据月生产量选择处理方案,既可达到环保要求又最合算. 解析先建立两种方案中的函数关系式,然后根据月生产量的多少通过分类讨论求解. (1)yl=x-0.55x-0.05x-20 =0.4x-20; y2=x~0.55x-0.lx=0.35x. (2)若yl>y2,则0.4x-20>0.35x,解得x>400; 若yl=y2,则0.4x-20=0.35x,解得x=400; 若yl 故当月生产量大于400件时,选择方案一所获利润较人;当月生产量等于400件时, 两种方案利润一样;当月生产量小于400件时,选择方案二所获利润较大 12、(06湛江).某工厂现有甲种原料280kg,乙种原料190kg,计划用这两种原料生产人B两种产品50件,已知生产一件4产品需甲种原料7kg、乙种原料3kg,口J获利400元;生产一件B产品需甲种原料3kg,乙种原料5kg,可获利350元. (1)请问工厂有哪儿种牛产方案? (2)选择哪种方案可获利最大,最大利润是多少? 解 (1)设生产4产品x件,生产B产品(50-x)件,则 J7x+3(50—x)W280 [3x+5(50-%)^190 解得: 30W系32.5・ ・・・兀为正整数,・"可取30,31,32. 当兀=30时,50—兀=20, 当兀=31时,50—兀=19, 当x=32时,50-x=18, 所以工厂可有三种生产方案,分别为: 方案一: 生产4产品30件,生产B产品20件; 方案二: 牛产A产品31件,生产B产品19件; 方案三: 生产A产品32件,生产B产品18件; (2)方案一的利润为: 30x400+20x350=19000元; 方案二的利润为: 31x400+19x350=19050元; 方案三的利润为: 32x400+18x350=19100元. 因此选择方案三可获利最多,最大利润为19100元. 【说明】)本题没有明显的不等关系的条件,因此很容易误认为是利用二元一次方程组来解。 由于题II屮并没有交代两种材料必须全部川完,因此只要A、B所川的材料的量之和不要超过甲乙原材料总量即可,这就是本题条件所隐含的两个不等关系,列出不等式组,根据不等式组即可求出x的取值范围,确定出相应的方案 13、(06鸡西)基公司经营卬、乙两种商品,每件卬种商品进价12万元,售价14.5万元;每件乙种商品进价8万元,售价10万元,口它们的进价和售价始终不变.现准备购进甲、乙两种商品共20件,所用资金不低于190万元,不高于200万元. (1)该公司有哪儿种进货方案? (2)该公司采川哪种进货方案可获得最人利润? 最人利润是多少? (3)若川 (2)屮所求得的利润再次进货,请直接写出获得最人利润的进货方案. 【解】: (1)设购进甲种商品茗件,乙种商品(20・x)件. 190<12x+8(20-x)^200解得7.5 •・•x为非负整数,・•・x取8,9,10 有三种进货力案: 购甲种筒品8件,乙种商品12件 购甲种商品9件,乙种商品11件 购甲种商品1O件,乙种商品10件 (2)购rp种商品10件,乙种商品10件时,可获得最大利润 最大利润是45万元 (3)购甲种商品1件,乙种商品4件时,可获得最大利润 【说明】列不等式(组)解决实际问题与列方程(组)解决实际问题的步骤、方法基本类似,可类比复习.在运用不等式(组)解决实际问题时,关键分析问题中的数量关系,特别注意抓住问题屮的关键字,如“不超过”、“至少”等.找出不等关系,从而列出不等式. 14、(06烟台)小亮妈妈下岗后开了一家糕点店.现有1°・2千克而粉,1°・2千克鸡蛋,计划加工一般糕点和粘制糕点两种产品共50盒.已知加工一盒一般糕点需°・3千克面粉和0」千克鸡蛋;加工一盒粘•制糕点需「克面粉和千克鸡蛋. (1)有哪儿种符合题意的加工方案? 请你帮助设计出来; (2)若销售一盒一般糕点和一盒精制糕点的利润分别为L5元和2元,那么按哪一个方案加工,小亮妈妈对获得最大利润? 故大利润是多少? 解: (1)设加工一•般糕点兀盒,则加工精制糕点(50-%)盒. 根据题意,兀满足不等式组: J0.3兀+0.1(50—兀)0102 〔0.1兀+0.3(50—_r)W102 解这个不等式组,得24W菜26. 因为兀为整数,所以x=24,2526・ 因此,加工方案有三种: 加工一般糕点24盒、粘制糕点26盒;加工一般糕点25盒、精制糕点25盒;加工一般糕点26盒、精制糕点24盒. (2)山题意知,显然精制糕点数越多利润越大,故当加工-•般糕点24盒、精制糕点26盒时,可获得瑕大利润. 最人利润为: 24x1.5+26x2=88(元) 【说明】在实际问题中,存在的不等关系可能比较隐蔽,需要我们认真审题,从问题中挖掘出不等关系,进而解决问题。 三、运输问题决策题 15、(青云07)荆门火车站现有甲种货物1530吨,乙种货物1150吨,安排用一列火车将这批货物运往广州,这列火车可挂A、B两种不同规格的货厢50节,已知用一节A型货厢的费川是0.5万元,川一节B型车厢的运费是0.8万元。 (1)设运输这批货物的总运费为y(万元),用A型货厢的节数为x(节),试写出y与x之间的函数关系式; (2)3知甲种货物35吨和乙种货物15吨,可装满一节A型车厢,甲种货物25吨和乙种货物35吨町装满一节B型货厢,按此要安排A、B两种货厢的节数,有哪几种运输方案? 请设计出来; (3)利用函数的性质说明,在这些方案中,哪种方案运费最少? 最少运费是多少万元? 解析: (1)A型X节,则B型(50-X)节,y=0.5x+0.8(50-x)=40-0.3x(0WxW50且X为整数) (2)r35x+25(50-x)>1530 Y J15x4-35(50-%)>1150 所以: 28WXW30,所以X=28或X=29或X=30,即A型28,B型22或者A型29,B型21或者A型30,B型20 (3)因为y二-O.3X+40,—次项系数为-0.3<0,所以X越人,Y值越小,所以A型30节,B型20节时运费最少,最少运费为31(万元) 16、(06张家界)我市某生态果园今年收获了15吨李子和*吨桃子,要租用甲、乙两种货车共6辆,及时运往外地,甲种货车可装李子4吨和桃子1吨,乙种货车可装李子1吨和桃子3吨. (1)共有几种租车方案? (2)若叩种货车每辆需付运费1()°°元乙种货车每辆需付运费70()元,请选出最佳方案,此方案运费是多少. 解 (1)设安排甲种货车兀辆,乙种货车(6-对辆, [4兀+(6-捋[x3 根据题意,得: \.・.3W系5 [兀+3(6-兀)2杀[x5 x取整数有: 3,4,5,共有三种方案. (2)租车方案及其运费计算如下表.(说明: 不列表,用其他形式也叮) 方案 甲种车 乙种车 运费(元) —■ 3 3 1000x3+700x3=5100 二 4 2 1000x4+700x2=5400 二 5 1 1000x5+700x1=5700 答: 共有三种租车方案,其中第一种方案最佳,运费是5100元. 四、其他费用最少决策题 17、(易错集1)某单位计划10月份组织员工到外地旅游,估计人数在6〜15人Z间,甲、乙两旅行社的服务质量相同,口对外报价都是200元.该单位联系时,甲旅行社表示,可给予每位游客八折优惠;乙旅行社表示,可先免出一位游客的旅游费川,其余游客九折优惠. (1)分別写出两旅行社所报旅游费用y与人数x的函数关系式; (2)若有11人参加旅游,应选择哪家旅行社? (3)人数为多少时可随意选择? 解答: (1)甲: y)=200X0.8x乙: y2=200X0.9(x-l)(6WxW15且x为整数) (2)当x二11时。 y1=1760,y2=1800.所以选甲旅行社 (3)yi二y2,所以200X0.8x=200X0.9(x・l),解得: x=9,所以人数为9时,可随意选择 用不等式组的正整数解确定最佳方案 18、(哈尔滨)双蓉服装店老板到厂家选购A、B两种型号的服装,若购进A种型号服装9件,B种型号服装10件,需要1810元;若购进A种型号服装12件,B种型号服装8件,需要1880元。 (1)求A、B两种型号的服装每件分别为多少元? (2)若销售1件A型服装可获利18元,销售1件B型服装可获得30元,根据市场需求,服装店老板决定,购进A型服装的数量耍比购进B型服装数暈的2倍还多4件,HA型服装最多可购进28件,这样服装全部售完后,可使总的获得不少于699元,问有儿种进货方案? 如何进货? 解: (1)设A型号服装每件为x元,B型号服装每件为y元, 根据题意得: 9x+10y=1810 12x+8y=1880 x=90 y=100 故A、B两种型号服装每件分别为90元、100元。 (2)设B型服装购进m件,则A型服装购进(2m+4)件, 根据题意得: 18(2m+4)+30m>699 2m+4<28 解不等式组得— 2 Tm为正整数,・・・m=10,11,12,2m+4=24,26,28。 ・••有三种进货方案: B型号服装购买10件,A型号服装购买24件;或B型号服装购买M件,A型号服装购买26件;或B型号服装购买12件,A型号服装购买28件。 二、表格信息类 一、花费最少决策题 19、(07泰安)市园林处为了对一•段公路进行绿化,计划购买4,B两种风景树共900棵,A,B两种树的相关信息如下表: 品种 单价(元/棵) 成活率 A 80 92% B 100 98% 若购买A种树x棵,购树所需的总费用为y元. (1)求y-UxZ间的函数关系式; (2)若购树的总费用82000元,则购A种树不少于多少棵? (3)若希塑这批树的成活率不低于94%,且使购树的总费用最低, 应选购A,B两种
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