连续时间信号的傅利叶变换及MATLAB实现.docx
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连续时间信号的傅利叶变换及MATLAB实现.docx
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连续时间信号的傅利叶变换及MATLAB实现
课程设计任务书
学生姓名:
专业班级:
电子科学与技术0803班
指导教师:
工作单位:
信息工程学院
题目:
连续时间信号的傅利叶变换及MATLAB实现
初始条件:
MATLAB软件,微机
要求完成的主要任务:
利用MATLAB强大的图形处理功能,符号运算功能和数值计算功能,实现连续时间非周期信号频域分析的仿真波形;
1、用MATLAB实现典型非周期信号的频域分析;
2、用MATLAB实现信号的幅度调制;
3、用MATLAB实现信号傅立叶变换性质的仿真波形;
4、写出课程设计报告。
时间安排:
学习MATLAB语言的概况第1天
学习MATLAB语言的基本知识第2、3天
学习MATLAB语言的应用环境,调试命令,绘图能力第4、5天
课程设计第6-9天
答辩第10天
指导教师签名:
年月日
系主任(或责任教师)签名:
年月日
目录
摘要I
AbstractII
1绪论1
2用MATLAB实现典型非周期信号的频域分析2
2.1指数信号时域波形图、频域图2
2.2偶双边指数信号时域波形图、频域图2
2.3奇双边指数信号时域波形图、频域图3
2.4直流信号时域波形图、频域图3
2.5符号函数信号时域波形图、频域图4
2.6单位阶跃信号时域波形图、频域图4
2.7单位冲激信号时域波形图、频域图5
2.8门函数信号时域波形图、频域图6
3用MATLAB实现信号的幅度调制7
4用MATLAB实现信号傅立叶变换性质的仿真波形11
4.1尺度变换特性11
4.2时移特性12
4.3频移特性15
4.4时域卷积定理16
4.5对称性17
4.6微分特性18
结束语21
参考文献22
附录23
摘要
傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数(正弦和/或余弦函数)或者它们的积分的线性组合。
在不同的研究领域,傅里叶变换具有多种不同的变体形式,如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。
最初傅里叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的。
连续时间信号与系统的时域分析是指直接在连续时间变量域内对信号和系统进行分析。
时域分析法具有直观和物理概念清晰等优点,特别是随着计算机的普及和各种算法的优化改进,时域分析法得到了越来越广泛的应用。
关键词:
傅立叶变换,连续信号处理,时域波形,频域波形
Abstract
Fouriertransformtomeetcertainconditionscanbeexpressedasafunctionoftrigonometricfunctions(sineand/orcosinefunctions)oralinearcombinationoftheirpoints.Indifferentfieldsofstudy,Fouriertransformhasmanydifferentvariations,suchasthecontinuousFouriertransformanddiscreteFouriertransform.Fourieranalysisisthefirstanalyticalprocessasathermalanalysistoolisproposed.
Continuous-timesignalsandsystemsreferstothetime-domainanalysisofvariablesdirectlyinthecontinuous-timedomainsignalandsystemanalysis.Timedomainanalysishasaclearconceptofvisualandphysicaladvantages,especiallywiththeproliferationofcomputersandvariousalgorithmstoimproveoptimization,timedomainanalysishasbeenmorewidelyused.
Keywords:
Fouriertransform,continuoussignalprocessing,timedomainwaveform,frequencydomainwaveform
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1绪论
MATLAB是矩阵实验室(MatrixLaboratory)的简称,是美国MathWorks公司出品的商业数学软件,用于算法开发、数据可视化、数据分析以及数值计算的高级技术计算语言和交互式环境,主要包括MATLAB和Simulink两大部分。
MATLAB是由美国mathworks公司发布的主要面对科学计算、可视化以及交互式程序设计的高科技计算环境。
它将数值分析、矩阵计算、科学数据可视化以及非线性动态系统的建模和仿真等诸多强大功能集成在一个易于使用的视窗环境中,为科学研究、工程设计以及必须进行有效数值计算的众多科学领域提供了一种全面的解决方案,并在很大程度上摆脱了传统非交互式程序设计语言(如C、Fortran)的编辑模式,代表了当今国际科学计算软件的先进水平。
MATLAB和Mathematica、Maple并称为三大数学软件。
它在数学类科技应用软件中在数值计算方面首屈一指。
MATLAB可以进行矩阵运算、绘制函数和数据、实现算法、创建用户界面、连接其他编程语言的程序等,主要应用于工程计算、控制设计、信号处理与通讯、图像处理、信号检测、金融建模设计与分析等领域。
本次课程设计介绍了用MATLAB实现典型非周期信号的频谱分析,用MATLAB实现信号的幅度调制以及用MATLAB实现信号傅里叶变换性质的仿真波形。
2用MATLAB实现典型非周期信号的频域分析
2.1指数信号时域波形图、频域图
指数信号的时域表达式为
,其时域波形图和频谱图如图2.1所示
其在matlab中用f=exp(-at)来实现
图2.1指数信号波形谱图
2.2偶双边指数信号时域波形图、频域图
偶双边指数信号时域表达式为
对其进行傅立叶变换为:
图1.5符号函数信号波形图
图2.2偶双边指数信号时域及频域图
2.3奇双边指数信号时域波形图、频域图
奇双边指数信号时域表达式为:
,傅立叶变换为:
其时域波形与频域波形如下图所示:
图2.3奇双边指数信号时域与频域波形
2.4直流信号时域波形图、频域图
直流信号f(t)=A
根据指标要求,画出频率采样序列的图形
图2.4直流信号时域和频域波形
2.5符号函数信号时域波形图、频域图
符号信号的时域表达式为:
,对其进行傅立叶变换为:
通过matlab实现波形如图2.5所示:
图2.5符号函数信号时域频域波形
2.6单位阶跃信号时域波形图、频域图
阶跃信号可以看作是幅度为1/2的直流信号与幅度为1/2的符号信号之和,即
显然它不满足绝对可积条件,不能直接求其FT,但可用近似的方法来求。
其傅里叶变换为:
图2.6单位阶跃信号时域和频域波形
2.7单位冲激信号时域波形图、频域图
其时域表达式:
傅里叶变换式为
图2.7单位冲激信号频谱图
2.8门函数信号时域波形图、频域图
图2.8门函数信号波形及频谱图
3用MATLAB实现信号的幅度调制
设信号f(t)的频谱为F(jw),现将f(t)乘以载波信号cos(w0t),得到高频的已调信号y(t),即:
y(t)=f(t)cos(w0t),f(t)称为调制信号。
从频域上看,已调制信号y(t)的频谱为原调制信号f(t)的频谱搬移到±w处,幅度降为原F(jw)的1/2,即
上式即为调制定理,也是傅里叶变换性质中“频移特性”的一种特别情形。
注意:
这里采用的调制方法为抑制载波方式,即y(t)的频谱中不含有cos(wot)的频率分量。
MATLAB提供了专门的函数modulate()用于实现信号的调制。
调用格式为:
y=modulate(x,Fc,Fs,'method')
[y,t]=modulate(x,Fc,Fs)
其中,x为被调信号,Fc为载波频率,Fs为信号x的采样频率,method为所采用的调制方式,若采用幅度调制、双边带调制、抑制载波调制,则'method'为'am'或'amdsd-sc'。
其执行算法为
y=x*cos(2*pi*Fc*t)
其中y为已调制信号,t为函数计算时间间隔向量。
下面举例说明如何调用函数modulate()来实现信号的调制。
例1:
设信号f(t)=sin(100πt),载波y(t)为频率为400Hz的余弦信号。
试用MATLAB实
现调幅信号y(t),并观察f(t)的频谱和y(t)的频谱,以及两者在频域上的关系。
解:
在下面的MATLAB的实现的程序中,为了观察f(t)及y(t)的频谱,在这里介绍一个MATLAB的“信号处理工具箱函数”中的估计信号的功率谱密度函数psd(),其格式是:
[Px,f]=psd(x,Nfft,Fs,window,noverlap,dflag)
其中,x是被调制信号(即本例中的f(t)),Nfft指定快速付氏变换FFT的长度,Fs为对信号x的采样频率。
后面三个参数的意义涉及到信号处理的更深的知识,在此暂不介绍。
用MATLAB完成本例的程序如下:
Fs=1000;%被调信号x的采样频率
Fc=400;%载波信号的载波频率
N=1000;%FFT的长度
n=0:
N-2;
t=n/Fs;
x=sin(2*pi*50*t);%被调信号
subplot(221)
plot(t,x);
xlabel('t(s)');
ylabel('x');
title('被调信号');
axis([00.1-11])
Nfft=1024;
window=hamming(512);
noverlap=256;
dflag='none';
[Pxx,f]=psd(x,Nfft,Fs,window,noverlap,dflag);subplot(222)
plot(f,Pxx)
xlabel('f(Hz)');
ylabel('功率谱(X)');
title('被调信号的功率谱')
grid
y=modulate(x,Fc,Fs,'am');%已调信号
subplot(223)
plot(t,y)
xlabel('t(s)');
ylabel('y');
axis([00.1-11])
title('已调信号')
[Pxx,f]=psd(y,1024,Fs,window,noverlap,dflag);
subplot(224)
plot(f,Pxx)
xlabel('f(Hz)');
ylabel('功率谱(Y)');
title('已调信号的功率谱');
grid
上述程序的运行结果如图3.1所示,其中左边上下两图为f(t)及y(t)信号,即时域波形,右边上下两图分别为对应f(t)及y(t)的功率谱。
由图可见,f(t)的功率频谱处在频域的频率f=400HZ为中心的两侧、偏移值为50HZ
的双边带。
显然,上述结果与信号与系统分析的理论结果完全一致。
图3.1被调信号、已调信号及其谱线
需要指出的是,一个信号的频谱与功率谱在数值上及定义上是有差别的,但两者的联系也是很密切的,其关系为:
其中T为信号的周期。
此外,也可以直接生成调制信号
,并用MATLAB编程求f1(t)的频谱。
用下例说明。
例2设
试用MATLAB画出f(t)、f1(t)的时域波形及其频谱,并观察傅里叶变换的频移特性。
解:
实现该过程的MATLAB命令程序如下:
R=0.005;t=-1.2:
R:
1.2;
f=Heaviside(t+1)-Heaviside(t-1);
f1=f.*cos(10*pi*t);%已调信号
subplot(221)
plot(t,f)
xlabel('t');
ylabel('f(t)');
subplot(222);
plot(t,f1);
xlabel('t');
ylabel('f1(t)=f(t)*cos(10*pi*t)');
W1=40;
N=1000;
k=-N:
N;
W=k*W1/.N;
F=f.*exp(-j*t'*W)*R;%求F(jw)
F=real(F);
F1=f1.*exp(-j*t'*W)*R;%求F1(jw)
F1=real(F1);
subplot(223);
plot(W,F);
xlabel('w');
ylabel('F(jw)');
subplot(224);
plot(W,F1);
xlabel('w');
ylabel('F1(jw)');
程序运行结果如图所示。
由图3.2可见,f1(t)的频谱F1(jw)即是将f(t)的频谱F(jw)搬移到±10π处,且幅度为F(jw)的幅度的一半。
图3.2原信号f(t)、调制信号f1(t)的波形及其频谱F(jw)、F1(jw)
4用MATLAB实现信号傅立叶变换性质的仿真波形
4.1尺度变换特性
若
,则傅立叶变换的尺度变换特性为:
(4-1)
下面举例说明傅立叶变换的尺度特性。
例3:
设
,用MATLAB求
的频谱
,并与
的频谱
进行比较。
解:
实现该过程的MATLAB程序如下:
R=0.02;t=-2:
R:
2;
f=Heaviside(2*t+1)-Heaviside(2*t-1)
W1=2*pi*5;
N=500;k=0:
N;W=k*W1/N;
F=f*exp(-j*t'*W)*R;
F=real(F);
W=[-fliplr(W),W(2:
501)];
F=[fliplr(F),F(2:
501)];
subplot(2,1,1);plot(t,f);
xlabel('t');ylabel('f(t)');
title('f(t)=u(t+1)-u(t-1)');
subplot(2,1,2);plot(W,F);
xlabel('w');ylabel('F(w)');
title('f(2t)的付氏变换F(w)');
图4.1.1f(2t)的频谱图
将程序中2*t改为t并运行即可得一下频谱图:
图4.1.2f(t)的频谱图
4.2时移特性
若
,则傅立叶变换的时移特性为:
(4-2)
下面举例说明傅立叶变换的时移特性。
例4:
设
,
试用MATLAB绘出
,
及其频谱(幅度谱和相位谱),并对二者频谱进行比较。
解:
求解
程序命令如下:
r=0.02;
t=-5:
r:
5;
N=200;
W=2*pi*1;
k=-N:
N;
w=k*W/N;
f1=1/2*exp(-2*t).*Heaviside(t);
F=r*f1*exp(-j*t'*w);
F1=abs(F);
P1=angle(F);
subplot(311);
plot(t,f1);
grid;
xlabel('t');
ylabel('f(t)');
title('f(t)');
subplot(312);
plot(w,F1);
xlabel('w');
grid;
ylabel('F(jw)');
subplot(313);
plot(w,P1*180/pi);
grid;
xlabel('w');
ylabel('P(度)');
运行结果如图4.2所示。
将求解
频谱的程序进行适当修改,即可得到求解
频谱的程序,即将t=-5:
r:
5修改为t=-2:
r:
2;f1修改为f1=1/2*exp(-2*(t-0.3)).*Heaviside(t-0.3);将ylabel(‘f(t)’)修改为ylabel(‘y(t)’);将title(‘f(t)’)修改为title(‘y(t)’)。
修改后程序运行结果如图4.3所示。
4.3频移特性
若
,则傅立叶变换的频移特性为:
下面举例说明傅立叶变换的频移特性。
例5:
设
,试用MATLAB绘出
及
的频谱
和
,并与
的频谱
进行比较。
解:
R=0.02;t=-2:
R:
2;
f=Heaviside(t+1)-Heaviside(t-1);
f1=f.*exp(-j*20*t);
f2=f.*exp(j*20*t);
W1=2*pi*5;
N=500;k=-N:
N;W=k*W1/N;
F1=f1*exp(-j*t'*W)*R;
F2=f2*exp(-j*t'*W)*R;
F1=real(F1);
F2=real(F2);
subplot(121);
plot(W,F1);
xlabel('w');
ylabel('F1(jw)');
title('F(w)左移到w=20处的频谱F1(jw)');
subplot(122);
plot(W,F2);
xlabel('w');
ylabel('F2(jw)');
title('F(w)右移到w=20处的频谱F2(jw)');
运行结果如下图所示:
4.4时域卷积定理
若
,则:
(4-3)
例6:
设
,
,试用MATLAB绘出
,
,
,
及
,验证式(4-3)。
解:
MATLAB程序如下:
R=0.05;t=-2:
R:
2;
f=Heaviside(t+1)-Heaviside(t-1);
subplot(321)
plot(t,f)
xlabel('t');
ylabel('f(t)');
y=R*conv(f,f);
n=-4:
R:
4;
subplot(322);
plot(n,y);
xlabel('t');
ylabel('y(t)=f(t)*f(t)');
axis([-33-13]);
W1=2*pi*5;
N=200;
k=-N:
N;
W=k*W1/N;
F=f*exp(-j*t'*W)*R;
F=real(F);
Y=y*exp(-j*n'*W)*R;
Y=real(Y);
F1=F.*F
subplot(323);
plot(W,F);
xlabel('w');
ylabel('F(jw)');
subplot(324);
plot(W,F1);
xlabel('w');
ylabel('F(jw).F(jw)');
axis([-202004]);
subplot(325);
plot(W,Y);
xlabel('w');
ylabel('Y(jw)');
axis([-202004]);
运行结果如下:
图4.5时域卷积验证示例图
4.5对称性
若
,则傅立叶变换的对称性为:
(4-4)
例7:
设
,已知信号
的傅立叶变换为
,利用MATLAB求
的傅立叶变换
,验证对称性。
解:
MATLAB程序为:
r=0.01;
t=-15:
r:
15;
f=sin(t)./t;
f1=pi*(Heaviside(t+1)-Heaviside(t-1));
N=500;
W=5*pi*1;
k=-N:
N;
w=k*W/N;
F=r*sinc(t/pi)*exp(-j*t'*w);
F1=r*f1*exp(-j*t'*w);
subplot(221);
plot(t,f);
xlabel('t');
ylabel('f(t)');
subplot(222);
plot(w,F);
axis([-22-14]);
xlabel('w');
ylabel('F(w)');
subplot(223);
plot(t,f1);
axis([-22-14]);
xlabel('t');
ylabel('f1(t)');
subplot(224);
plot(w,F1);
axis([-2020-37]);
xlabel('w');
ylabel('F1(w)');
运行结果如下:
图4.6傅立叶变换对称性
4.6微分特性
傅里叶变换的时域微分特性为:
若
,则:
下面举例说明傅里叶变换的一阶微分特性。
例7:
已知f(t)的波形如图9.13所示,试用MATLAB求f(t)及df(t)/dt的傅里叶变换,
F(jw)及F1(jw),并验证时域微分特性。
图4.7f(t)的波形
解:
在MATLAB中,有专门的三角波形生成函数sawtooth(),其格式为:
f=sawtooth(t,width)
其中width(0 f从-1上升到+1,然后当t从2π´width至2π时f(t)又线性地从+1下降到-1,周而复始。 当 width=0.5时,可产生一对称的标准三角波。 利用此三角波与一门信号g2π(t)相乘,再进 行必要的幅度调整(乘系数2/π),并时移(左移π)可得到f(t): 又设f1(t)=df(t)/dt,其波形为: 图4.8f1(t)波形图 f1(t)可用阶跃函数Heaviside()生成: 即验证: r=0.01; t=-5: r: 5; f1=Heaviside(t+pi)-Heaviside(t-pi); f2=Heaviside(t+pi)-2*Heaviside(t)+Heaviside(t-pi); f=pi/2*(sawtooth(t+pi,0.5)+1).*f1; w1=2*pi*5; N=200; k=-N: N; w=k*w1/N; F=r*f*exp(-j*t'*w); F2=r*f2*exp(-j*t'*w) F3=F2./(j*w); subplot(411); plot(t,f2); set(gca,'box','off') xlabel('t'); ylabel('f2(t)'); subplot(412); plot(t,f); set(gca,'box','off') xlabel('t'); ylabel('f(t)'); subplot(413); plot(w,F); set(gca,'box','off') xlabel('w'); ylabel('F(jw)'); subplot(414); plot(w,F3); set(gca,'box','off') xlabel('w'); ylabel('F3(jw)'); 程序运行结果如图4.8所示。 结果表明,F(jw)与 一致
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- 连续 时间 信号 傅利叶 变换 MATLAB 实现