初中数学基本几何图形.docx
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初中数学基本几何图形
初中数学基本几何图形
这篇帖子是关于几何基本图形的。
每一个几何压轴题,几乎都是由几个基本图形构成的,所以如果能把这些图形用熟,做几何题应该不成问题。
1、正方形与等腰直角三角形
正方形,为过正方形点B的直线且⊥,⊥,则有△≌△。
将上图进行转换,则该基本图形存在于等腰三角形中,可利用此图证明勾股定理:
令,,,S△=
c2=
()2;化简得到:
c222
2、梯形中位线
梯形中,∥,E、F分别为、中点,则有
()
结合1、2有一道经典题目,在此奉上。
△,分别以、为边向外做正方形、,连接,取中点H,作⊥,证明:
提示:
先证明等于梯形上下底边之和
【变形题1】
如图1,以△的边、为边向内作正方形和正方形,M是的中点,N是的中点,连接.探究线段与之间的关系,并加以证明.
说明:
如果你经过反复探索没有解决问题,可以从下面①、②中选取一种情况完成你的证明,选取①比原题少得6分,选取②比原题少得8分.
①如图2,将正方形绕点A旋转,使点C、E分别落在、上;
②如图3,将正方形绕点A旋转,使点B、A、C在一条直线.
答案:
解:
⊥.
证明:
连接,然后延长至H,使,连接、、、,、,延长,与相交于I,
∵,,∠∠,
∴△≌△,
∴,
∴∠180°-∠∠,
∴∠∠,∠∠,
∠∠∠,
∵∠360°-∠∠∠180°-∠180°-∠∠180°-∠∠∠,
∴△≌△,
∵四边形中∠∠90°,
∴∠∠,
∵∠∠∠∠∠90°,
∴⊥,
∵N是中点,M是中点,
∴∥,
∴⊥.
分析:
延长至H,使,连接、、、,延长,与相交于I,根据,,∠∠,可以证明∠∠,即可证明△≌△,于是证明得∠∠∠∠∠90°,故知⊥,又因为N是中点,M是中点,可得‖,于是证明出⊥.
【变形题2】
如图
(1),在△,∠90°,分别以、为一边向外作正方形、,连结、,与交于点M。
(1)求证:
△≌△;
(2)如图
(2),已知6,求四边形的面积;
(3)在△中,设=a,=b,=c,当∠≠90°时,c2≠a2 +b2。
在任意△中,c2=a2 +b2+k。
就a=3,b=2的情形,探究k的取值范围(只需写出你得到的结论即可)。
【变形题3】
已知:
如图所示,从△的两直角边,向外作正方形及,,分别交,于P,Q.求证:
.
3、角平分线出等腰。
平分∠,且∥,则,此图形常出现于菱形中,若有,则连接后有菱形。
补充一句,上一图可用于证明角分线定理。
4、双垂图。
5、一线三等角相似
,∠∠B,则△∽△
6、正方形中两垂直线段。
正方形中,⊥,则有;平移、进行推广,在正方形中,⊥,则有
7、直角三角形斜边中线。
⊥,D为中点,则,该图可从矩形中挖出,也可从圆中找到图形。
8、直角三角形共圆
9、等腰三角形线段关系
11、常见旋转型2。
12、常见旋转型3
13、四边形共圆
四边形共圆2
一道经典例题
一线三角模型的特殊形式。
补充:
一线三角相等模型中,∠∠∠°,则∠∠180°,∠∠180°所以,∠∠,又因为∠∠C,所以△相似于△,所以。
当点D为中点时,,则,又因为∠∠,所以△相似于△。
证毕
双等边三角形(正方形)模型
上一楼图形的性质
性质1:
通过证全等可知左图中,,右图中,
性质2:
证全等后,做双高可知左图中,平分∠,右图中,平分∠
性质3:
左图中,和相交所构成的其中的一个角为60°,右图中,和垂直,当扩展到正n边形时,两线相交所构成的其中的一个角等于这个正n边形的各个内角。
北京中考经典好题。
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