省优获奖教案8三元一次方程组2.docx
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省优获奖教案8三元一次方程组2
*5.8三元一次方程组
第一环节:
创设情景,导入新课
内容:
问题1.已知甲、乙、丙三数的和是23,甲数比乙数大1,甲数的两倍与乙数的和比丙数大20,求这三个数.
(这里有三个要求的量,直接设出三个未知数列方程组,顺理成章,直截了当,容易理解)
教师提问:
如果设这三数分别为x,y,z,用它们可以表示哪些等量关
系?
预测学生回答:
;
;
教师提问:
这个方程组和前面学过的二元一次方程组有什么区别和联系?
预测学生回答:
①未知数个数和方程都比二元一次方程组多一个;②未知数次数都是一次.
活动:
翻开书本P129,朗读三元一次方程组的概念:
在这个方程组中,
和
都含有三个未知数,并且所含未知数的项的次数都是1,这样的方程叫做三元一次方程(linearequationwiththreeunknowns).
像这样共含有三个未知数的三个一次方程所组成的一组方程,叫做三元一次方程组(systemoflinearequationswiththreeunknowns)
关注概念中的三个要点:
①未知数的个数;②未知数的次数;③未知数同时满足三个等量关系,
三元一次方程组中各个方程的公共解,叫做这个三元一次方程组的解.
目的:
通过第1个活动,希望学生能找出等量关系,设出未知数建立方程,此环节既是学习了二元一次方程组后对建立方程组基本方法的练习,也通过类比引出本节课的要解决的问题——解三元一次方程组.
教学要求与效果:
通过创设问题情境,引入新课,使学生了解三元一次方程组的概念及本节课要解决的问题,强调审题抓住的三个等量关系,从而表示成以上三个方程,这个问题的解答必须同时满足这三个条件,因此,把这三个方程联立起来,成为
,引出三元一次方程组的概念.
第二环节:
类比学习,探究新知
内容:
引导学生回顾前面所学二元一次方程组解法的基本指导思想——消元,以及消元的基本方法(代入消元、加减消元),尝试对
进行消元,从而解决问题1.
步骤
(1)选取一种方法解此三元一次方程组,由学生独立思考解决,教师注意指导学生规范表达.
步骤
(2)在学生独立选择方法解决的基础上,引导学生进行比较:
在解三元一次方程组时的消元与解二元一次方程组的消元有什么不同?
解上面的方程组时,你能先消去未知数y(或z),从而得到方程组的解吗?
(先让学生独立思考,然后在学生充分思考的前提下,进行小组讨论,在此基础上由学生代表回答,老师适时地引导与补充,力求通过学生观察、思考与讨论后能得出以下的一些要点)
1.三元一次方程组的消元可以类比二元一次方程组的消元进行;
2.用代入消元法:
由于方程组③式的特点,可将③式分别代入①②式,消去x,从而转化为关于y,z的二元一次方程组的求解;
3.用加减消元法:
由于③式中没有含z,可以将①,②式联立相加,消掉z,从而得到关于x,y的二元一次方程组的求解;
4.总结求解三元一次方程组的整体
思路——消元,实现三元二元一元的转化.在消元过程中,消“谁”都行,用那种消法(代入法、加减法)也可,但如果选择合适,可提高计算的效率.
目的:
结合情境问题中列出的方程组,类比前面所学二元一次方程组的解法,得到解三元一次方程组的整体思路——消元,并找出相应的消元方法.
教学要求与效果:
(1)教师板书用代入法消元的求解过程,强调解题的格式.求解完后引导学生总结三元一次方程组的求解思路:
三元二元一元,关键在于消元;
(2)引导学生类比一元二次方程组加减消元法对方程组进行消元.
第三环节:
理解巩固
内容:
解方程
(1)
(2)
目的:
方程组
(1)是在课本例1的基础上,改变系数所得,因为本题的意图是让学生模仿老师的做法自行操作的第一题,所以尽量让各项系数简单一些,让学生练习感觉愉悦一些.方程组
(2)的三个方程均含有三个未知数的三元一次方程组,和学生一起探求出解决的整体思路.然后让学生自行求解,使其进一步理解三元一次方程组的求解方法,培养计算能力.
教学要求与效果:
(1)引导学生观察方程组
(2)的特点,此方程组与
前面不一样,三个方程都不缺“谁”,消谁好,用什么方法消?
(2)通过对
(1)
(2)的对比,引导学生总结出消元的具体做法是:
①如果已有某个未知数的表达式,直接用代入消元,否则常用加减消元.②用加减消元时
,如果方程组中
有至少一个方程只有两个未知数,缺哪个未知数就消哪个.
(3)在前面例题和练习的基础上,对本课解过的三个方程组进行比较,谈谈解决的方法.总结求解三元一次方程组的整体思路——消元,实现三元二元一元的转化.在消元过程中,消“谁”都行,用那种消法(代入法、加减法)也可,但如果选择合适,可提高计算的效率.具体做法是:
①如果已有某个未知数的表达式,直接用代入消元,否则常用加减消元.②用加减消元时,如果方程组中有至少一个方程只有两个未知数,缺哪个未知数就消哪个.③用加减消元时,如果方程组中三个方程均含有三个未知数,通常要进行两次消元才能转化为二元一次方程组.
第四环节
:
实际应用
内容:
某校初中三个年级共有651人,八年级的学生
比九年级的学生人数多10%,七年级的学生比八年级多5%,求三个年级各有多少学生?
解:
由题意设七,八,九年级的学生人数分别为x,y,z人,得方程:
由②可将z用y表示,由③可将x用y表示,代入①可得到关于y的一元一次方程.
解得:
所以,七,八,九年级的学生人数分别为231,220,200人.
目的:
运用数学知识解决实际问题是数学教学的重要内容.本环节回归用三元
一次方程组解决实际应用问题,体现了数学来源于生活,又服务于生活,意在培养学生“用数学”的意识.
教学要求与效果:
放手让学生用已经获取的经验去解决新的问题,由学生自己完成,让两个学生在黑板上规范的板书,教师巡视:
发现学生的闪光点以及存在的问题并适时的加以辅导,以期学生在解答的过程中领会“代入消元法”的真实含义和“化归”的数学思想.
第五环节:
课堂小结
内容:
(1)三元一次方程组的概念;
(2)三元一次方程组的解法;
注意选好要消的“元”,选好要消的“法”:
代入消元、加减消元;
(3)谈谈求解多元一次方程组的思路,提炼化归的思想.
目的:
引导学生自己小结本节课的知识要点及数学方法,使这节课
知识系统化,感性认识上升为理性认识.
教学要求与效果:
学生能够在课堂上畅所欲言,并通过自己的归纳总结,进一步巩固了所学知识,教师视其情况,可以选择展示一些前面小节中用过问题情境和实际问题对学生的总结从知识、方法和思想层面去总结和提高,让学生体会到数学与生活的联系,激发学生的学习热情.
第六环节:
布置作业;
内容:
1.课本习题5.9
2.有同学说列三元一次方程组能解决的问题,一元一次方程也能解决,说一下你的看法.
目的:
课后作业设计包括了两个层面:
作业1是为了巩固基础知识而设计;作业2是为了扩展学生的知识面;拓广知识,增加学生对数学问题本质的思考而设计,通过此题可让学生进一步运用三元一次方程组解决问题.
教学设计反思
1.本节课的内容属于选修学习的内容,主要突出对数学兴趣浓厚、学有余力的同学进一步探究和拓展使用,在数学方法和思想方面需重点引导,通过引导,使学生明白解多元方
程组的一般方法和思想,理解巩固环节需多注意多种解题方法的引导,并且比较各种解题方法之间的优劣,总结出解多元方程的基本方法.
2.作为选修课,在内容上要让学生理解三元一次方程组概念的同时,要让学生理解为什么要用三元一次方程组甚至多元方程组去求解实际问题的必要性,从而掌握本堂课的基础知识.在教学的过程中,要让学生充分理解对复杂的实际问题方程中元越多,等量关系的建立就越直接;充分理解代入消元法和加减法解方程的优点和缺点,有关这一方面的题目要让学生充分讨论、交流、合作,其理解才会深刻.4.4一次函数的应用
第1课时确定一次函数的表达式
第一环节 复习引入
内容:
提问:
(1)什么是一次函数?
(2)一次函数的图象是什么?
(3)一次函数具有什么性质?
目的:
学生回顾一次函数相关知识,温故而知新.
第二环节 初步探究
内容1:
展示实际情境
提供两个问题情境,供老师选用.
实际情境一:
某物体沿一个斜坡下滑,它的速度v(米/秒)与其下滑时间t(秒)的关系如图所示.
(1)写出v与t之间的关系式;
(2)下滑3秒时物体的速度是多少?
分析:
要求v与t之间的关系式,首先应观察图象,确定函数的类型,然后根据函数的类型设它对应的
解析式,再把已知点的坐标代入解析式求出待定系数即可.
实际情境二:
假定甲、乙二人在一项赛跑中路程
与时间
的关系如图所示.
(1)这是一次多少米的赛跑?
(2)甲、乙二人谁先到达终点?
(3)甲、乙二人的速度分
别是多少?
(4)求甲、乙二人
与
的函数关系式.
目的:
利用函数图象提供的信息可以确定正比例函数的表达式,一方面让学生初步掌握确定函数表达式的方法
,即待定系数法,另一方面让学生通过实践感受到确定正比
例函数只需一个条件.情景一、二可根据学生情况进行选取,情景二几个问题有一定的梯度,学生可能更易写出函数关系式.
教学注
意事项:
学生可能会用图象所反映的实际意义来求函数表达式,如先求出速度,再写表达式,教师应给予肯定,但要注意比较两种方法异同,并突出待定系数法.
内容2:
想一想:
确定正比例函数的表达式需要几个条件?
确定一次函数的表达式呢?
目的:
在实践的基础上学生加以归纳总结。
这个问题涉及到数学对象的一个本质概念——基本量.由于一次函数有两个基本量
、
,所以需要两个条件来确定.
第三环节 深入探究
内容1:
例1在弹性限度内,弹簧的长度y(厘米)是所挂物体的质量x(千克)的一次函数,一根弹簧不挂物体时长14.5cm;当所挂物体的质量为3kg时,弹簧长16cm。
写出y与x之间的关系式,并求所挂物体的质量为4kg时弹簧的长度.
解:
设
,根据题意,得
14.5=
,①
16=3
+
,②
将
代入②,得
.
所以在弹性限度内,
.
当
时,
(厘米).
即物体的质量为
千克时,弹簧长度为
厘米.
目的:
引例中设置的是利用函数图象求函数表达式,这个例子选取的是弹簧的一个物理现象,目的在于让学生从不同的情景中获取信息求一次函数表达式,进一步体会函数表达式是刻画现实世界的一个很好的数学模型.这道例题关键在于求一次函数表达式,在求出一般情况后,第二个问题就是求函数值的问题可迎刃而解.
教学注意事项:
学生除了从函数的观点来考虑这个问题之外,还有学生是用推理的方式:
挂3千克伸长了1.5厘米,则每千克伸长了0.5厘米,同样可以得到
与
间的关系式.对此,教师应给予肯定,并指出两种方法考虑的角度和采用的方法有所不同.
内容2:
想一想:
大家思考一下,在上面的两个题中,有哪些步骤是相同的,你能否总结出求一次函数表达式的步骤.
求函数表达式的步骤有:
1.设一次函数表达式.
2.根据已知条件列出有关方程.
3.解方程.
4.把求出的k,b值代回到表达式中即可.
目的:
对求一次函数表达式方法的归纳和提升。
在此基础上,教师可指出这种先将表达式中未知系数用字母表示出来,再根据条件求出这个未知系数,这种方法称为待定系数法.
第四环节 反馈练习
内容:
1.如图,直线
是一次函数
的图象,求它的表达式.
2.若一次函数
的图象经过A(-1,1),则
,该函数图象经过点B(1,)和点C(,0).
3.如图,直线
是一次函数
的图象,填空:
(1)
,
;
(2)当
时,
;
(3)当
时,
.
4.已知直线
与直线
平行,且与y轴交于点(0,2),求直线
的表达式.
答案:
1.
2.
.
3.
(1)
;
(2)
;
(3)
.
4.
.
目的:
四个练习旨在对学生求一次函数表达式的掌握情况进行反馈,以便及时调整教学进程.
效果:
四个不同类型的问题由浅入深,学生能从不同角度掌握求一次函数的方法.对于问题4,教师可引导学生分析,并教学生要学会画图,利用图象分析问题,体会数形结合方法的重要性.学生若出现解题格式不规范的情况,教师应纠正并给予示范,训练学生规范答题的习惯.
第五环节 课时小结
内容:
总结本课知识与方法
1.本节课主要学习了怎样确定一次函数的表达式,在确定一次函数的表达式时可以用待定系数法,即先设出解析式,再根据题目条件(根据图象、表格或具体问题)求出
,
的值,从而确定函数解析式。
其步骤如下:
(1)设函数表达式;
(2)根据已知条件列出有关k,b的方程;(3)解方程,求k,b;4.把k,b代回表达式中,写
出表达式.
2.本节课用到的主要的数学思想方法:
数形结合、方程的思想.
目的:
引导学生小结本课的知识及数学方法,使知识系统化.
第六环节 作业布置
习题
4.5:
1
,2,3,4
目的:
进一步巩固当天所学知识。
教师也可根据学生情况适当增减,但难度不应过大.
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