2 第2讲 排列与组合.docx
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2第2讲排列与组合
第2讲 排列与组合
1.排列、组合的定义
排列的
定义
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素
按照一定的顺序排成一列
组合的
定义
合成一组
2.排列数、组合数的定义、公式、性质
排列数
组合数
定
义
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数
公
式
A=n(n-1)(n-2)…
(n-m+1)=
C==
性
质
A=n!
,0!
=1
C=C,C+C=C
导师提醒
1.正确辨析“排列”与“组合”
排列与组合最根本的区别在于“有序”和“无序”.取出元素后交换顺序,如果与顺序有关,则是排列;如果与顺序无关,则是组合.
2.掌握解决排列、组合问题的十种技巧
(1)特殊元素优先安排.
(2)合理分类与准确分步.
(3)排列、组合混合问题要先选后排.
(4)相邻问题捆绑处理.
(5)不相邻问题插空处理.
(6)定序问题倍缩法处理.
(7)分排问题直排处理.
(8)“小集团”排列问题先整体后局部.
(9)构造模型.
(10)正难则反,等价转化.
判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列.( )
(2)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序.( )
(3)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同.( )
(4)若组合式C=C,则x=m成立.( )
(5)A=n(n-1)(n-2)…(n-m).( )
答案:
(1)×
(2)× (3)√ (4)× (5)×
从3,5,7,11这四个质数中,每次取出两个不同的数分别为a,b,共可得到lga-lgb的不同值的个数是( )
A.6 B.8
C.12D.16
解析:
选C.由于lga-lgb=lg,从3,5,7,11中取出两个不同的数分别赋值给a和b共有A=12种,所以得到不同的值有12个.
某校开设A类选修课2门,B类选修课3门,一位同学从中选3门.若要求两类课程中各至少选一门,则不同的选法共有( )
A.3种B.6种
C.9种D.18种
解析:
选C.法一:
CC+CC=2×3+1×3=9.
法二:
C-C=-1=10-1=9.
某高三毕业班有40人,同学之间两两彼此给对方写一条毕业留言,那么全班共写了________条毕业留言.(用数字作答)
解析:
由题意知两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从40人中任选两人的排列数,所以全班共写了A=40×39=1560条留言.
答案:
1560
从1,3,5,7,9中任取三个数,从2,4,6,8中任取两个数,则可以组成没有重复数字的五位数的个数为________.
解析:
“先取元素后排列”,分三步完成:
第一步,从1,3,5,7,9中任取三个数,有C种取法;第二步,从2,4,6,8中任取两个数,有C种取法;第三步,将取出的五个数全排列,有A种排法.共有符合条件的五位数CCA=7200(个).
答案:
7200
排列问题(师生共研)
有3名男生、4名女生,在下列不同条件下,求不同的排列方法总数.
(1)选5人排成一排;
(2)排成前后两排,前排3人,后排4人;
(3)全体排成一排,甲不站排头也不站排尾;
(4)全体排成一排,女生必须站在一起;
(5)全体排成一排,男生互不相邻.
【解】
(1)从7人中选5人排列,有A=7×6×5×4×3=2520(种).
(2)分两步完成,先选3人站前排,有A种方法,余下4人站后排,有A种方法,共有A·A=5040(种).
(3)法一(特殊元素优先法):
先排甲,有5种方法,其余6人有A种排列方法,共有5×A=3600(种).
法二(特殊位置优先法):
首尾位置可安排另6人中的两人,有A种排法,其他有A种排法,共有AA=3600(种).
(4)(捆绑法)将女生看作一个整体与3名男生一起全排列,有A种方法,再将女生全排列,有A种方法,共有A·A=576(种).
(5)(插空法)先排女生,有A种方法,再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空位安排男生,有A种方法,共有A·A=1440(种).
求解排列应用问题的6种主要方法
直接法
把符合条件的排列数直接列式计算
优先法
优先安排特殊元素或特殊位置
捆绑法
把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列,同时注意捆绑元素的内部排列
插空法
对不相邻问题,先考虑不受限制的元素的排列,再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中
定序问题
除法处理
对于定序问题,可先不考虑顺序限制,排列后,再除以定序元素的全排列
间接法
正难则反、等价转化的方法
1.将7个人(其中包括甲、乙、丙、丁4人)排成一排,若甲不能在排头,乙不能在排尾,丙、丁两人必须相邻,则不同的排法共有( )
A.1108种B.1008种
C.960种D.504种
解析:
选B.将丙、丁两人进行捆绑,看成一人,将6人全排列有AA种排法;将甲排在排头,有AA种排法;乙排在排尾,有AA种排法;甲排在排头,乙排在排尾,有AA种排法.则甲不能在排头,乙不能在排尾,丙、丁两人必须相邻的不同排法共有AA-AA-AA+AA=1008(种).
2.某学校举行校庆文艺晚会,已知节目单中共有七个节目,为了活跃现场气氛,主办方特地邀请了三位老校友演唱经典歌曲,并要将这三个不同节目添入节目单,而不改变原来的节目顺序,则不同的安排方式有________种.
解析:
添入三个节目后共十个节目,故该题可转化为安排十个节目,其中七个节目顺序固定.这七个节目的不同安排方法共有A种,添加三个节目后,节目单中共有十个节目,先将这十个节目进行全排列,不同的排列方法有A种,而原先七个节目的顺序一定,故不同的安排方式共有=720(种).
答案:
720
组合问题(师生共研)
某市工商局对35种商品进行抽样检查,已知其中有15种假货.现从35种商品中选取3种.
(1)其中某一种假货必须在内,不同的取法有多少种?
(2)其中某一种假货不能在内,不同的取法有多少种?
(3)恰有2种假货在内,不同的取法有多少种?
(4)至少有2种假货在内,不同的取法有多少种?
(5)至多有2种假货在内,不同的取法有多少种?
【解】
(1)从余下的34种商品中,
选取2种有C=561种取法,
所以某一种假货必须在内的不同取法有561种.
(2)从34种可选商品中,选取3种,有C种或者C-C=C=5984种取法.
所以某一种假货不能在内的不同取法有5984种.
(3)从20种真货中选取1种,从15种假货中选取2种有CC=2100种取法.
所以恰有2种假货在内的不同的取法有2100种.
(4)选取2种假货有CC种,选取3种假货有C种,共有选取方式CC+C=2100+455=2555(种).
所以至少有2种假货在内的不同的取法有2555种.
(5)法一(间接法):
选取3种的总数为C,因此共有选取方式
C-C=6545-455=6090(种).
所以至多有2种假货在内的不同的取法有6090种.
法二(直接法):
共有选取方式C+CC+CC=6090(种).
所以至多有2种假货在内的不同的取法有6090种.
两类有附加条件的组合问题的解法
(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型:
若“含”,则先将这些元素取出,再由另外元素补足;若“不含”,则先将这些元素剔除,再从剩下的元素中去选取.
(2)“至少”或“最多”含有几个元素的组合题型:
解这类题目必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义,谨防重复与漏解.用直接法或间接法都可以求解,通常用直接法分类复杂时,用间接法求解.
1.(2019·辽宁五校协作体联考)在《爸爸去哪儿》第二季第四期中,村长给6位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务.已知:
①食物投掷地点有远、近两处;②由于Grace年龄尚小,所以要么不参与该项任务,但此时另需一位小孩在大本营陪同,要么参与搜寻近处投掷点的食物;③所有参与搜寻任务的小孩须被均分成两组,一组去远处,一组去近处.那么不同的搜寻方案有( )
A.10种B.40种
C.70种D.80种
解析:
选B.若Grace不参与任务,则需要从剩下的5位小孩中任意挑出1位陪同,有C种挑法,再从剩下的4位小孩中挑出2位搜寻远处,有C种挑法,最后剩下的2位小孩搜寻近处,因此一共有CC=30种搜寻方案;若Grace参加任务,则其只能去近处,需要从剩下的5位小孩中挑出2位搜寻近处,有C种挑法,剩下3位小孩去搜寻远处,因此共有C=10种搜寻方案.综上,一共有30+10=40种搜寻方案,故选B.
2.甲、乙两人从4门课程中各选修2门,求:
(1)甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有多少种?
(2)甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法有多少种?
解:
(1)甲、乙两人从4门课程中各选修2门,且甲、乙所选课程中恰有1门相同的选法种数共有CCC=24(种).
(2)甲、乙两人从4门课程中各选2门不同的选法种数为CC,又甲、乙两人所选的2门课程都相同的选法种数为C种,因此满足条件的不同选法种数为CC-C=30(种).
分组分配问题(多维探究)
角度一 整体均分问题
国家教育部为了发展贫困地区教育,在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生,毕业后要分到相应的地区任教.现有6名免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到3所学校去任教,有________种不同的分派方法.
【解析】 先把6名毕业生平均分成3组,有=15种方法,再将3组毕业生分到3所学校,有A=6种方法,故6名毕业生平均分到3所学校,共有·A=90种不同的分派方法.
【答案】 90
角度二 部分均分问题
有4名优秀学生A,B,C,D全部被保送到甲、乙、丙3所学校,每所学校至少去一名,则不同的保送方案共有________种.
【解析】 先把4名学生分为2,1,1共3组,有=6种分法,再将3组对应3个学校,有A=6种情况,则共有6×6=36种不同的保送方案.
【答案】 36
角度三 不等分问题
若将6名教师分到3所中学任教,一所1名,一所2名,一所3名,则有________种不同的分法.
【解析】 将6名教师分组,分三步完成:
第1步,在6名教师中任取1名作为一组,有C种取法;
第2步,在余下的5名教师中任取2名作为一组,有C种取法;
第3步,余下的3名教师作为一组,有C种取法.
根据分步乘法计数原理,共有CCC=60种取法.
再将这3组教师分配到3所中学,有A=6种分法,
故共有60×6=360种不同的分法.
【答案】 360
(1)对于整体均分,解题时要注意分组后,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后一定要除以A(n为均分的组数),避免重复计数.
(2)对于部分均分,解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数,即若有m组元素个数相等,则分组时应除以m!
.分组过程中有几个这样的均匀分组,就要除以几个这样的全排列数.
(3)对于不等分组,只需先分组,后排列,注意分组时任何组中元素的个数都不相等,所以不需要除以全排列数.
1.某校高二年级共有6个班级,现从外地转入4名学生,要安排到该年级的两个班级且每班安排2名,则不同的安排方案种数为( )
A.ACB.AC
C.AAD.2A
解析:
选B.法一:
将4人平均分成两组有C种方法,将此两组分配到6个班级中的2个班有A(种).
所以不同的安排方法有CA(种).
法二:
先从6个班级中选2个班级有C种不同方法,然后安排学生有CC种,故有CCC=AC(种).
2.第一届“一带一路”国际合作高峰论坛于2017年5月14日至15日在北京举行,为了保护各国国家元首的安全,某部门将5个安保小组全部安排到指定的三个区域内工作,且每个区域至少有一个安保小组,则这样的安排方法共有( )
A.96种B.100种
C.124种D.150种
解析:
选D.因为每个区域至少有一个安保小组,所以可以把5个安保小组分成三组,共有两种方法,一种是按照1,1,3来分,另一种是按照2,2,1来分.
当按照1,1,3来分时,不同的安排方法共有N1=·A=60(种);
当按照2,2,1来分时,不同的安排方法共有N2=·A=90(种).
根据分类加法计数原理,可得这样的安排方法共有N=N1+N2=150(种).
排列、组合的综合应用(师生共研)
(1)(2019·福州市质量检测)福州西湖公园花展期间,安排6位志愿者到4个展区提供服务,要求甲、乙两个展区各安排一个人,剩下两个展区各安排两个人,不同的安排方案共有( )
A.90种B.180种
C.270种D.360种
(2)从0,1,2,3,4,5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数,组成没有重复数字的四位数的个数为( )
A.300B.216
C.180D.162
【解析】
(1)可分两步:
第一步,甲、乙两个展区各安排一个人,有A种不同的安排方案;第二步,剩下两个展区各两个人,有CC种不同的安排方案,根据分步乘法计数原理,不同的安排方案的种数为ACC=180.故选B.
(2)分两类:
第一类,不取0,即从1,2,3,4,5中任取两个奇数和两个偶数,组成没有重复数字的四位数,根据分步乘法计数原理可知,共有C·C·A=72个符合要求的四位数;
第二类,取0,此时2和4只能取一个,再取两个奇数,组成没有重复数字的四位数,根据分步乘法计数原理可知,共有C·C·(A-A)=108个符合要求的四位数.
根据分类加法计数原理可知,满足题意的四位数共有72+108=180个.故选C.
【答案】
(1)B
(2)C
解决排列、组合综合问题的方法
(1)仔细审题,判断是组合问题还是排列问题,要按元素的性质分类,按事件发生的过程进行分步.
(2)以元素为主时,先满足特殊元素的要求,再考虑其他元素;以位置为主时,先满足特殊位置的要求,再考虑其他位置.
(3)对于有附加条件的比较复杂的排列、组合问题,要周密分析,设计出合理的方案,一般先把复杂问题分解成若干个简单的基本问题,然后应用分类加法计数原理或分步乘法计数原理来解决,一般遵循先选后排的原则.
1.(2019·成都诊断性检测)从甲、乙等8名志愿者中选5人参加周一到周五的社区服务,每天安排一人,每人只参加一天.若要求甲、乙两人至少选一人参加,且当甲、乙两人都参加时,他们参加社区服务的日期不相邻,那么不同的安排种数为________.(用数字作答)
解析:
根据题意,分2种情况讨论,若只有甲、乙其中一人参加,有C·C·A=3600(种);
若甲、乙两人都参加,有C·A·A=1440(种).
则不同的安排种数为3600+1440=5040.
答案:
5040
2.从1,2,3,4,5这五个数字中任取3个组成无重复数字的三位数,当三个数字中有2和3时,2需排在3的前面(不一定相邻),则这样的三位数有________个.
解析:
分三类:
第一类,没有2,3,由其他三个数字组成三位数,有A=6个;第二类,只有2或3,需从1,4,5中选两个数字,可组成2CA=36个;第三类,2,3均有,再从1,4,5中选一个,因为2需排在3的前面,所以可组成CA=9个.故这样的三位数共有6+36+9=51(个).
答案:
51
[基础题组练]
1.从1,3,5中取两个数,从2,4中取一个数,可以组成没有重复数字的三位数,则在这些三位数中,奇数的个数为( )
A.12B.18
C.24D.36
解析:
选C.从1,3,5中取两个数有C种方法,从2,4中取一个数有C种方法,而奇数只能从1,3,5取出的两个数之一作为个位数,故奇数的个数为CCAA=3×2×2×2×1=24.
2.某市委从组织机关10名科员中选3人担任驻村第一书记,则甲、乙至少有1人入选,而丙没有入选的不同选法的种数为( )
A.85B.56
C.49D.28
解析:
选C.由于丙不入选,相当于从9人中选派3人.甲、乙两人均入选,有CC种选法,甲、乙两人只有1人入选,有CC种选法.所以由分类加法计数原理,共有CC+CC=49种不同选法.
3.(2019·山西太原联考)高三要安排毕业晚会的4个音乐节目,2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序,要求2个舞蹈节目不连排,则不同排法的种数是( )
A.1800B.3600
C.4320D.5040
解析:
选B.先排出舞蹈节目以外的5个节目,共A种排法,再把2个舞蹈节目插在6个空位中,有A种插法,所以共有AA=3600(种).
4.六个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有( )
A.192种B.216种
C.240种D.288种
解析:
选B.第一类:
甲在最左端,有A=5×4×3×2×1=120种方法;第二类:
乙在最左端,有4A=4×4×3×2×1=96种方法.所以共有120+96=216种方法.
5.如图,∠MON的边OM上有四点A1,A2,A3,A4,ON上有三点B1,B2,B3,则以O,A1,A2,A3,A4,B1,B2,B3中三点为顶点的三角形的个数为( )
A.30B.42
C.54D.56
解析:
选B.间接法:
先从这8个点中任取3个点,有C种取法,再减去三点共线的情形即可,即C-C-C=42.
6.(2019·惠州第二次调研)旅游体验师小明受某网站邀请,决定对甲、乙、丙、丁这四个景区进行体验式旅游,若不能最先去甲景区旅游,不能最后去乙景区和丁景区旅游,则小李可选的旅游路线数为( )
A.24B.18
C.16D.10
解析:
选D.分两种情况,第一种:
最后体验甲景区,则有A种可选的路线;第二种:
不在最后体验甲景区,则有C·A种可选的路线.所以小李可选的旅游路线数为A+C·A=10.选D.
7.(2019·广州调研)某学校获得5个高校自主招生推荐名额,其中甲大学2个,乙大学2个,丙大学1个,并且甲大学和乙大学都要求必须有男生参加,学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象,则不同的推荐方法共有( )
A.36种B.24种
C.22种D.20种
解析:
选B.根据题意,分两种情况讨论:
第一种,3名男生每个大学各推荐1人,2名女生分别推荐给甲大学和乙大学,共有AA=12种推荐方法;第二种,将3名男生分成两组分别推荐给甲大学和乙大学,共有CAA=12种推荐方法.故共有24种推荐方法,故选B.
8.(2019·沈阳教学质量监测
(一))若4个人按原来站的位置重新站成一排,恰有1个人站在自己原来的位置,则不同的站法共有( )
A.4种B.8种
C.12种D.24种
解析:
选B.将4个人重排,恰有1个人站在自己原来的位置,有C种站法,剩下3人不站原来位置有2种站法,所以共有C×2=8种站法,故选B.
9.(2019·南昌调研)某校毕业典礼上有6个节目,考虑整体效果,对节目演出顺序有如下要求:
节目甲必须排在前三位,且节目丙、丁必须排在一起.则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有( )
A.120种B.156种
C.188种D.240种
解析:
选A.法一:
记演出顺序为1~6号,对丙、丁的排序进行分类,丙、丁占1和2号,2和3号,3和4号,4和5号,5和6号,其排法分别为AA,AA,CAA,CAA,CAA,故总编排方案有AA+AA+CAA+CAA+CAA=120(种).
法二:
记演出顺序为1~6号,按甲的编排进行分类,①当甲在1号位置时,丙、丁相邻的情况有4种,则有CAA=48种;②当甲在2号位置时,丙、丁相邻的情况有3种,共有CAA=36种;③当甲在3号位置时,丙、丁相邻的情况有3种,共有CAA=36种.所以编排方案共有48+36+36=120(种).
10.(2019·石家庄模拟)用数字0,1,2,3,4组成没有重复数字且大于3000的四位数,这样的四位数有( )
A.250个B.249个
C.48个D.24个
解析:
选C.①当千位上的数字为4时,满足条件的四位数有A=24(个);②当千位上的数字为3时,满足条件的四位数有A=24(个).由分类加法计数原理得所有满足条件的四位数共有24+24=48(个),故选C.
11.(2019·甘肃第二次诊断检测)某微信群中有甲、乙、丙、丁、戊五个人玩抢红包游戏,现有4个红包,每人最多抢一个,且红包被全部抢完,4个红包中有2个6元,1个8元,1个10元(红包中金额相同视为相同红包),则甲、乙都抢到红包的情况有( )
A.18种B.24种
C.36种D.48种
解析:
选C.若甲、乙抢的是一个6元和一个8元的红包,剩下2个红包,被剩下的3人中的2个人抢走,有AA=12种;若甲、乙抢的是一个6元和一个10元的红包,剩下2个红包,被剩下的3人中的2个人抢走,有AA=12种;若甲、乙抢的是一个8元和一个10元的红包,剩下2个红包,被剩下的3人中的2个人抢走,有AC=6种;若甲、乙抢的是两个6元的红包,剩下2个红包,被剩下的3人中的2个人抢走,有A=6种,根据分类加法计数原理可得,共有36种情况,故选C.
12.(2019·福建三明一模)某密码锁共设四个数位,每个数位的数字都可以是1,2,3,4中的任一个.现密码破译者得知;甲所设的四个数字有且仅有三个相同;乙所设的四个数字有两个相同,另两个也相同;丙所设的四个数字有且仅有两个相同;丁所设的四个数字互不相同.则上述四人所设密码最安全的是( )
A.甲B.乙
C.丙D.丁
解析:
选C.甲所设密码共有CCC=48种不同设法,乙所设密码共有=36种不同设法,丙所设密码共有CCA=144种不同设法,丁所设密码共有A=24种不同设法,所以丙最安全,故选C.
13.若把英语单词“good”的字母顺序写错了,则可能出现的错误写法共有________种.
解析:
把g、o、o、d4个字母排一列,可分两步进行,第一步:
排g和d,共有A种排法;第二步:
排两个o,共1种排法,所以总的排法种数为A=12(种).其中正确的有1种,所以错误的共A-1=12-1=11(种).
答案:
11
14.(一题多解)(2018·高考全国卷Ⅰ)从2位女生,4位男生中选3人参加科技比赛,且至少有1位女生入选,则不同的选法共有________种.(用数字填写答案)
解析:
法一:
可分两种情况:
第一种情况,只有1位女生入选,不同的选法有CC=12(种);第二种情况,有2位女生入选,不同的选法有CC=4(种).根据分类加法计数原理知,至少有1位女生入选的不同的选法有16(种).
法二:
从6人中任选3人,不同的选法有C=20(种),从6人中任选3人都是男生,不同的选法有C=4(种),所以至少有1位女生入选的不同的选法有20-4=16(种).
答案:
16
15.(一题多解)(2019·洛阳第一次统考)某校有4个社团向高一学生招收新成员,现有3名同学,每人只选报1个社团,恰有2个社团没有同学选报的报法有________种(用数字作答).
解析:
法一:
第一步,选2名同学报名某个社团,有C·C=12种报法;第二步,从剩余的3个社团里选一个社团安排另一名同学,有C·C=3种报法.由分步乘法计数原理得共有12×3=36种报法.
法二:
第一步,将3
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- 第2讲 排列与组合 排列 组合