冀教版七年级数学下册全章热门考点整合应用.docx
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冀教版七年级数学下册全章热门考点整合应用
全章热门考点整合应用
名师点金:
本章学习的主要知识是三角形,其中三角形中主要学习了与三角形有关的线段和三角形内角、外角的知识,一般考查的题型包括三角形的计数,三角形的三边关系,三角形的角平分线、中线、高,三角形内角和及外角性质等,其核心考点可概括为:
一个概念、两个关系、三种线段、两种计算、两个技巧、四种思想.
一个概念——与三角形有关的概念
1.如图,在△ABC中,D是BC边上一点,E是AD边上一点.
(1)以AC为边的三角形共有________个,它们是____________________________;
(2)∠1是△________和△________的内角;
(3)在△ACE中,∠CAE的对边是________.
(第1题)
(第3题)
两个关系
三角形的三边关系
2.现有2cm,4cm,5cm,8cm长的四根木棒,任取三根组成一个三角形,那么可以组成三角形的个数为( )
A.1B.2C.3D.4
3.已知:
如图,四边形ABCD是任意四边形,AC与BD交于点O.试说明:
AC+BD>
(AB+BC+CD+DA).
解:
在△OAB中有OA+OB>AB,
在△OAD中有______________,
在△ODC中有______________,
在△________中有______________,
∴OA+OB+OA+OD+OD+OC+OB+OC>AB+AD+CD+BC,
即________________________.
∴AC+BD>
(AB+BC+CD+DA).
4.已知a,b,c是三角形的三边长,试化简:
|b+c-a|+|b-c-a|+|c-a-b|-|a-b+c|.
三角形内角、外角的关系
5.如图,在△ABC中,AB>AC,∠AEF=∠AFE,EF与BC的延长线交于点G,试说明:
∠G=
(∠ACB-∠B).
(第5题)
6.已知:
如图,在△ABC中,∠C>∠B,AD,AE分别是△ABC的高和角平分线.
(1)若∠B=30°,∠C=50°,求∠DAE的度数;
(2)∠DAE与∠C-∠B有何关系?
(第6题)
三种线段
三角形的角平分线
7.如图所示,D是△ABC的角平分线BD和CD的交点,若∠A=50°,则∠D=( )
(第7题)
A.120° B.130° C.115° D.110°
三角形的中线
8.如图,在△ABC中,E是边BC上一点,EC=2BE,点D是AC的中点.连接AE,BD交于点F.已知S△ABC=12,则S△ADF-S△BEF=( )
(第8题)
A.1B.2C.3D.4
三角形的高
9.如图,D为△ABC中AC边上一点,AD=1,DC=2,AB=4,E是AB上一点,且△DEC的面积等于△ABC面积的一半,求EB的长.
(第9题)
两种计算
三角形中边的计算
10.【中考·资阳】等腰三角形的两边长a,b满足|a-4|+(b-9)2=0,求这个等腰三角形的周长.
三角形中角的计算
11.如图,在△ABC中,AD是高,AE是∠BAC的平分线,∠B=20°,∠C=60°,求∠DAE的度数.
(第11题)
两个技巧
巧用面积法解决问题
12.如图,在△ABC中,CE⊥AB于点E,AD⊥BC于点D,且AB=3,BC=6,则CE与AD有怎样的数量关系?
(第12题)
巧用整体法解决问题
13.如图,∠DBC=2∠ABD,∠DCB=2∠ACD,试说明∠A与∠D之间的数量关系.
(第13题)
四种思想
分类讨论思想
14.阅读两名同学对下题的解答过程.一个等腰三角形的周长为28cm,其中一边长为8cm,则这个三角形另外两边的长分别是多少?
李明说应这样解:
设腰长为xcm,则2x+8=28,解得x=10,所以这个三角形的另外两边的长均为10cm.张钢说应这样解:
设底边长为xcm,则2×8+x=28,解得x=12,所以这个三角形的另外两边的长分别为8cm,12cm.
试判断李明与张钢两人的解答过程是否正确,若正确,请写出判断的依据;若不正确,请你写出正确的解答过程.
方程思想
15.在△ABC中,∠B=20°+∠A,∠C=∠B-10°,求∠A的度数.
建模思想
16.如图,A点在B点的北偏东40°方向,C点在B点的北偏东75°方向,A点在C点的北偏西50°方向.
(第16题)
(1)试说明△ABC为直角三角形;
(2)求∠ACB的度数.
从特殊到一般的思想
17.如图所示,在△ABC中,分别延长△ABC的边AB,AC到D,E,∠CBD与∠BCE的平分线相交于点P,爱动脑筋的小明在写作业时发现如下规律:
①若∠A=50°,则∠P=65°=90°-
;
②若∠A=90°,则∠P=45°=90°-
;
③若∠A=100°,则∠P=40°=90°-
.
(1)根据上述规律,若∠A=150°,则∠P=________;
(2)请你用数学表达式写出∠P与∠A的关系;
(3)请说明
(2)中结论的正确性.
(第17题)
答案
1.
(1)3;△ACE,△ACD,△ACB
(2)BCE;CDE
(3)CE
2.B
3.OA+OD>AD;OD+OC>CD;
OBC;OB+OC>BC;2(AC+BD)>AB+BC+CD+DA
4.解:
∵a,b,c是三角形的三边长,
∴b+c-a>0,b-c-a<0,c-a-b<0,a-b+c>0,
∴|b+c-a|+|b-c-a|+|c-a-b|-|a-b+c|
=b+c-a-b+c+a-c+a+b-a+b-c
=2b.
5.解:
因为∠AEF=∠AFE,∠AFE=∠GFC,
所以∠AEF=∠GFC.
因为∠AEF=∠B+∠G,
所以∠GFC=∠B+∠G.
又因为∠ACB=∠GFC+∠G,
所以∠ACB=∠B+2∠G.
所以∠G=
(∠ACB-∠B).
6.解:
(1)∵∠B+∠C+∠BAC=180°,∠B=30°,∠C=50°,
∴∠BAC=180°-30°-50°=100°.
∵AE是△ABC的角平分线,
∴∠BAE=
∠BAC=50°.
∵∠AEC为△ABE的外角,
∴∠AEC=∠B+∠BAE=30°+50°=80°.
∵AD是△ABC的高,
∴∠ADE=90°.
∴∠DAE=90°-∠AEC=90°-80°=10°.
(2)由
(1)知,
∠DAE=90°-∠AEC=90°-
.
又∵∠BAC=180°-∠B-∠C.
∴∠DAE=90°-∠B-
(180°-∠B-∠C)=
(∠C-∠B).
7.C
8.B 点拨:
连接CF.设S△BEF=x,因为EC=2BE,点D是AC的中点,所以S△ADF=S△CDF,S△ABD=S△BCD=
S△ABC=6,S△CEF=2S△BEF=2x,所以S△ABF=S△BCF=3x.S△ADF=S△CDF=6-3x.由图形,得S△AEC=2S△ABE,即2x+(6-3x)+(6-3x)=2(x+3x),解得x=1,所以6-3x=6-3×1=3,所以S△ADF-S△BEF=2.故选B.
(第9题)
9.解:
如图,过点E作EF⊥AC于点F,
则
=
=
=
.
过点C作CG⊥AB于点G,
则
=
=
=
.
∴
·
=
×
,即
=
.
又∵
=
,∴
=
,∴AE=3,
∴BE=AB-AE=1,即BE的长为1.
点拨:
同(等)高的两个三角形的面积比等于底边长的比.
10.解:
∵|a-4|+(b-9)2=0,∴|a-4|=0,(b-9)2=0.
∴a=4,b=9.
若腰长为4,则4+4<9,不能构成三角形.
若腰长为9,则9+4>9,能构成三角形,
∴这个等腰三角形的周长为9+9+4=22.
11.解:
在△ABC中,∠B=20°,∠C=60°,
所以∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-20°-60°=100°.
又因为AE是∠BAC的平分线,
所以∠BAE=
∠BAC=
×100°=50°.
在△ABD中,∠B+∠BAD+∠BDA=180°.
又因为AD是高,所以∠BDA=90°,
所以∠BAD=180°-∠B-∠BDA=180°-20°-90°=70°.
所以∠DAE=∠BAD-∠BAE=70°-50°=20°.
点拨:
灵活运用三角形内角和为180°,结合三角形的高及角平分线是求有关角的度数的常用方法.
12.解:
根据△ABC的面积=
AB·CE=
BC·AD,
得
×3·CE=
×6·AD,
所以CE=2AD.
13.解:
因为∠DBC=2∠ABD,∠DCB=2∠ACD.
所以∠ABC=
∠DBC,∠ACB=
∠DCB.
所以∠A=180°-(∠ABC+∠ACB)
=180°-(
∠DBC+
∠DCB)
=180°-
(∠DBC+∠DCB)
=180°-
(180°-∠D)
=180°-270°+
∠D
=
∠D-90°.
即∠A=
∠D-90°.
14.解:
李明、张钢两人的解法均不全面.正确的解答过程如下:
当该等腰三角形的底边长为8cm时,腰长为(28-8)×
=10(cm).
当该等腰三角形的腰长为8cm时,底边长为28-2×8=12(cm).
根据三角形三边关系可验证这两种情况均成立.
所以这个三角形的另外两边的长是10cm,10cm或8cm,12cm.
点拨:
本题中没有明确8cm是等腰三角形的底边长还是腰长,需对其进行分情况讨论,并用三角形的三边关系进行验证.
15.解:
∠C=∠B-10°=20°+∠A-10°=10°+∠A,
所以∠A+∠B+∠C=∠A+20°+∠A+10°+∠A=3∠A+30°=180°,所以∠A=50°.
16.解:
(1)过点A作AF∥BD,交BC于点F,则AF∥EC.
∵∠ABD=40°,∴∠BAF=∠ABD=40°.
∵∠ACE=50°,∴∠CAF=∠ACE=50°.
∴∠BAC=∠BAF+∠CAF=40°+50°=90°.
∴△ABC为直角三角形.
(2)∵∠DBC=75°,∠DBA=40°,
∴∠ABC=∠DBC-∠DBA=75°-40°=35°.
∴在△ABC中,∠ACB=180°-90°-∠ABC=90°-35°=55°.
点拨:
本题主要考查了数学建模思想,即把方位角建模成几何图形中的角,同时应用了平行线的性质,三角形的内角和定理及直角三角形的定义等.
17.解:
(1)15°
(2)∠P=90°-
∠A.
(3)因为∠DBC是△ABC的一个外角,
所以∠DBC=∠A+∠ACB.
因为BP是∠DBC的平分线,
所以∠PBC=
∠A+
∠ACB.
同理可得∠PCB=
∠A+
∠ABC.
因为∠P+∠PBC+∠PCB=180°,
所以∠P=180°-(∠PBC+∠PCB)
=180°-
=180°-
=90°-
∠A.
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