全等三角形培优专题训练.docx
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全等三角形培优专题训练
探索三角形全等
1、一张长方形纸片沿对角线剪开,得到两张三角形纸片,再将这两张纸
片摆成如下图形式,使点 B、F、C、D
A
在同一条直线上.
⑴求证:
AB⊥ED;
⑵若 PB=BC,请找出图中与此条件有
关的一对全等三角形,并给予证明
A
E
F
C
B
D
B
E
P
M N
F C D
2、如图,在△ABC 中,AC=BC,∠ACB=90°,AD 平分∠BAC,BE⊥AD
B
交 AC 的延长线于 F,E 为垂足,则结论:
①AD=BF;②CF=CD;③AC
+CD=AB;④BE=CF;⑤BF=2BE.其中正确的是()
E
D
F
C A
3、如图,点 C 在线段 AB 上,DA ⊥AB,EB⊥AB,FC⊥AB,且 DA=BC,EB=AC,FC=AB,∠AFB=
51°,求∠DFC 的度数.
E
D
AC
B
F
4、如图,四边形 ABCD 中,AB∥CD,AD∥BC,O 为对角线 AC 的中点,过点 O
作一条直线分别与 AB、CD 交于点 M、N,点 E、F 在直线 M、N 上,且
A
OE=OF.
⑴图中共有几对全等三角形,请把它们都写下来;
E
B M
O
⑵求证:
∠MAE=∠NCF
N
D
F
C
全等三角形的应用
全等三角形常用来转移线段和角,用它来证明:
①线段和角的等量关系
②线段和角的和差倍分关系
③直线与直线的平行或垂直等位置关系
1、如图,已知 BD、CE 分别是△ABC 的边 AC 和 AB 上的高,点 P 在
BD 的延长线上,BP=AC,点 Q 在 CE 上,CQ=AB.试判断 AP 与 AQ 的关系,
A
P
并证明.
E
D
2、如图,AD 是△ABC 的高,E 为 AC 上一点,BE 交 AD 于点 F,且
BF=AC,FD=CD,
求证:
BE⊥AC
Q
B C
A
E
F
B
D C
E
A
3、如图,在△ABC 中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAC=90°.
D
B
①
C
⑴当点 D 在 AC 上时,如图①,线段 BD,CE 有怎样的数量和位置关系?
证明你猜想的结论.
⑵将图①中的△ADE 绕点 A 顺时针旋转α角(0°<α<90°) ,如图②,线段 BD、CE 有怎样的
数量关系和位置关系?
问明理由.
AE
D
B
②
C
4、在△ABC 中,AB=AC,点 D 是直线 BC 上一点(不与 B、C 重合),
以 AD 为一边在 AD 的右侧作△ADE,使 AD=AE,∠DAE=∠BAC,连接
CE.
⑴如图①,当点 D 在线段 BC 上时,若∠BAC=90°,则∠BCE=
_______度.
⑵设∠BAC=α,∠BCE=β
a、如图②,当点 D 在线段 BC 上移动时,α,β之间有
怎样的数量关系?
请说明理由.
b、当点 D 在直线 BC 上移动时,α,β之间有怎样的数
量关系?
请直接写出你的结论.
A
E
B D C
①
A
E
BDC
②
辅助线作法之连接法
在几何证明中,常通过添加辅助线来构造全等三角形.常见的添加辅助线方法有:
连接法、截
长补短法、倍长中线法、翻折法、旋转法以及利用特殊条件构造全等三角形等等.
1、如图,△ABC 的两条高 BD,CE 相交于点 P,且 PD=PE.
证明∶AC=AB
C
D
P
A E B
2、已知 AB=DE,BC=EF,∠B=∠E,AF=CD
A F
求证:
AC∥DF
B
E
CD
A
3、如图,AB 交 CD 于点 O,AD、CB 的延长线相交于点 E,且 OA=
OC,EA=EC.∠A=∠C 吗?
点 O 在∠AEC 的平分线上吗?
D
O
E
B
C
辅助线作法之倍长中线法
在题目条件中含有中线的问题,我们常用的辅助线就是将中线延长一倍,其目的是为了得一对
全等三角形,将分散的条件集中到一个三角形中去.
1、△ABC 中,AB=5,AC=3,求中线 AD 的取值范围.
A
B
D C
2、如图,在△ABC 中,AD 是∠BAC 的平分线,又是 BC 上的中
A
线
求证:
AB=AC
B
D C
3、在△ABC 中,D 是边 BC 上的一点,且 CD=AB,∠BAD=∠
BDA,AE 是△ABD 的中线.
求证∶AC=2AE
A
B
E D C
4、△ABC 中,D 为 BC 的中点,DE⊥DF 交 AB,AC 于点 E,
A
F.
F
求证:
BE+CF>EF
E
BD
C
辅助线作法之截长补短法
截长法:
在第三条线段上截下一段使其等于两条线段中的一条,再证明剩余部分与另一条相等.
补短法:
把两条线段中的一条补到另一条线段上去,证明所得新线段与第三条线段相等.
1、已知 AC∥BD,EA,EB 分别平分∠CAB 和∠DBA,点 E
在 CD 上.
求证:
AB=AC+BD
E
C
A B
D
2、在四边形 ABCD 中,AC 平分∠BAD,CE⊥AB 于点 E,且 AE= (AB+
AD).
A
求证∶∠B+∠D=180°
D
E
BC
3、如图,已知△ABC 中,∠A=90°,AB=AC,D 为 AC 的中
A
E D
B
F C
点,AE⊥BD 于 E,延长 AE 交 BC 于 F.
求证:
∠ADB=∠CDF
4、如图,∠C=90°,AC=BC,AD 是∠BAC 的角平分线.
求证∶AC+CD=AB
A
BDC
12、如图,已知 AB=CD=AE=BC+DE=2,∠ABC=∠AED=90°,
C
求五边形 ABCDE 的面积.
B
A
D
E
辅助线作法之利用特殊条件构造全等三角形
2、如图,在△ABC 中,AC=AB,AD 平分∠BAC,且 AD=BD
求证:
CD⊥AC
A
C
全等三角形在动态几何中的运用
BD
1、如图,△ABC 的边 BC 在直线 l 上,AC⊥BC,且 AC=BC.△EFP 的边 FP 也在直线 l 上,边 EF
与边 AC 重合,且 EF=FP.
⑴在图①中,请你通过观察、测量、猜想并写出 AB 与 AP 所满足的数量关系和位置关系;
⑵将△EFP 沿直线 l 向左平移到图②的位置时,EP 交 AC 于点 Q,连接 AP,BQ.猜想并写出 BQ 与
AP 所满足的数量关系和位置关系,并证明你的猜想;
⑶将△EFP 沿直线 l 向左平移到图③的位置时,EP 的延长线交 AC 的延长线于点 Q,连接 AP,BQ.
你认为⑵中所猜想的 BQ 与 AP 的数量关系和位置关系还成立吗?
若成立,给出证明;若不成立,请说明
理由.
EAE
A
A (E)
Q
F P B C l
l
BC (F)P
l
B F C P
Q
探究角平分线
1、如图,△ABC 的外角∠ACD 的平分线 CP 与内角∠ABC 的平分线 BP
相交于点 P,若∠BPC=40°,则∠CAP=_____________.
2、如图,∠B=∠C=90°,M 是 BC 的中点,DM 平分∠ADC.
求证:
AM 平分∠DAB
3、如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC,BE 平分∠ABC,CE⊥BE.
1
求证:
CE=BD
B
B
A
P
C D
D C
M
A B
A
E
D
C
A
4、如图,在△ABC 中,AD 平分∠BAC,BD=CD
求证:
∠B=∠C
B
D C
5、如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=BC,AD 是∠BAC 的平分
线,交 BC 于 D,DE⊥AB 于 E,若 AB=10cm,则△DBE 的周长是多少?
A
E
C D B
6、AD 是△ABC 的角平分线,DF⊥AB,垂足为 F,DE=DG,△ADG
和
△AED 的面积分别为 50 和 39,则△EDF 的面积为多少?
A
E
F
G
B
D C
7、如图,△ABC 中,AD 平分∠BAC,DG⊥BC 且平分 BC,DE⊥AB 于 E,DF⊥
AC 于 F.
求证:
BE=CF
A
E
BG
D
C
F
A
8、在△ABC 中,AD 是∠BAC 的平分线,E、F 分别为 AB、AC 上的点,
且∠EDF+∠BAF=180°
F
⑴求证:
DE=DF
E
⑵如果把最后一个条件改为 AE>AF,且∠AED+∠AFD=180°,那么
结论还成立吗?
B
D C
9、如图,已知 AB=AC,BE⊥AC 于 E,CF⊥AB 于 F,BE 与 CF 交于点
B
D
F
求证:
点 D 在∠BAC 的平分线上.
D
A
E C
10、如图,在四边形 ABCD 中,对角线 AC 平分∠BAD,AB>AD,下
列结论正确的是()
A.AB-AD>CB-CD
A
D
B
C
B.AB-AD=CB-CD
C.AB-AD<CB-CD
D.AB-CD 与 CB-CD 的大小关系不确定
11、如图,已知△ABC 中,∠B=60°,∠BAC,∠BCA 的平分线 AD,
CE 相交于点 O.
求证:
DC+AE=AC
A
E
O
B D C
12、如图,已知△ABC,P 为内角平分线 AD、BE、CF 的交点,过点 P
作 PG⊥BC 于 G 点。
试说明∠BPD 与∠CPG 的大小关系,并说明理由。
A
F
B
P E
DG C
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