数学试题.docx
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数学试题
1.已知二次函数y=ax2+bx+c(a>0)经过点M(-1,2)和点N(1,-2),交x轴于A,B两点,交y轴于C.则:
①b=-2;
②该二次函数图象与y轴交于负半轴;
③存在这样一个a,使得M、A、C三点在同一条直线上;
④若a=1,则OA•OB=OC2.
以上说法正确的有( )
A.①②③④
B.②③④
C.①②④
D.①②③
2.如图,直线y=kx+b(k≠0)与抛物线y=ax2(a≠0)交于A,B两点,且点A的横坐标是-2,点B的横坐标是3,则以下结论:
①抛物线y=ax2(a≠0)的图象的顶点一定是原点;
②x>0时,直线y=kx+b(k≠0)与抛物线y=ax2(a≠0)的函数值都随着x的增大而增大;
③AB的长度可以等于5;
④△OAB有可能成为等边三角形;
⑤当-3<x<2时,ax2+kx<b,
其中正确的结论是( )
A.①②④
B.①②⑤
C.②③④
D.③④⑤
3.抛物线y=ax2+bx+c上部分点的横坐标x,纵坐标y的对应值如下表:
x
…
-3
-2
0
1
…
y
…
-6
0
6
6
…
从上表可知,下列说法正确的有( )个
①抛物线与x轴的交点为(-2,0)(2,0); ②抛物线与y轴的交点为(0,6);
③抛物线的对称轴是:
直线x=
1
2
; ④在对称轴右侧,y随x增大而减少.
A.1
B.2
C.3
D.4
4.如图,抛物线y=x2-
1
2
x-
3
2
与直线y=x-2交于A、B两点(点A在点B的左侧),动点P从A点出发,先到达抛物线的对称轴上的某点E,再到达x轴上的某点F,最后运动到点B.若使点P运动的总路径最短,则点P运动的总路径的长为( )
A.
29
2
B.
29
3
C.
5
2
D.
5
3
5.如图,分别过点Pi(i,0)(i=1、2、…、n)作x轴的垂线,交y=
1
2
x2的图象于点Ai,交直线y=−
1
2
x于点Bi.则
1
A1B1
+
1
A2B2
+…+
1
AnBn
的值为( )
A.
2n
n+1
B.2
C.
2
n(n+1)
D.
2
n+1
6.如图所示,当b<0时,函数y=ax+b与y=ax2+bx+c在同一坐标系内的图象可能是( )
A.
B.
C.
D.
7.抛物线y=ax2+bx+c上部分点的横坐标x,纵坐标y的对应值如下表:
x
…
-3
-2
-1
0
1
…
y
…
-6
0
4
6
6
…
从上表可知,下列说法正确的有多少个
①抛物线与x轴的一个交点为(-2,0);
②抛物线与y轴的交点为(0,6);
③抛物线的对称轴是直线x=
1
2
;
④抛物线与x轴的另一个交点为(3,0);
⑤在对称轴左侧,y随x增大而减少.
A.2
B.3
C.4
D.5
8.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列判断中错误的是( )
A.图象的对称轴是直线x=1
B.当x>1时,y随x的增大而减小
C.一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是-1,3
D.当-1<x<3时,y<0
9.已知直线经过点A(0,2),B(2,0),点C在抛物线y=x2的图象上,则使得S△ABC=2的点有( )个.
A.4
B.3
C.2
D.1
10.已知函数f(x)=x2+λx,p、q、r为△ABC的三边,且p<q<r,若对所有的正整数p、q、r都满足f(p)<f(q)<f(r),则λ的取值范围是( )
A.λ>-2
B.λ>-3
C.λ>-4
D.λ>-5
11.如图已知A1,A2,A3,…An是x轴上的点,且OA1=A1A2=A2A3=A3A4=…=An-1An=1,分别过点A1,A2,A3,…An′作x轴的垂线交二次函数y=
1
2
x2(x>0)的图象于点P1,P2,P3,…Pn,若记△OA1P1的面积为S1,过点P1作P1B1⊥A2P2于点B1,记△P1B1P2的面积为S2,过点P2作P2B2⊥A3P3于点B2,记△P2B2P3的面积为S3,…依次进行下去,最后记△Pn-1Bn-1Pn(n>1)的面积为Sn,则Sn=( )
A.
2n−1
4
B.
n2
4
C.
(n−1)2
4
D.
2n+1
4
二.填空题(共9小题)
12.定义[a,b,c]为函数y=ax2+bx+c的特征数,下面给出特征数为[2m,1-m,-1-m]的函数的一些结论:
①当m=-3时,函数图象的顶点坐标是(
1
3
,
8
3
);
②当m>0时,函数图象截x轴所得的线段长度大于
3
2
;
③当m<0时,函数在x>
1
4
时,y随x的增大而减小;
④当m≠0时,函数图象经过x轴上一个定点.
其中正确的结论有
①②④
①②④
.(只需填写序号)
难度:
0.35真题:
10组卷:
182查看解析下载
13.给出下列两条抛物线:
y=x2+2x+1,y=2x2+4x+1请尽可能多地找出这两条抛物线的共同点:
(至少三条)①
开口方向都是向上
开口方向都是向上
②
对称轴都是直线x=-1
对称轴都是直线x=-1
③
都存在最小值,且在顶点处取得
都存在最小值,且在顶点处取得
.
14.在平面直角坐标系中,点A、B、C的坐标分别为(0,1)、(4,2)、(2,6).如果P(x,y)是△ABC围成的区域(含边界)上的点,那么当w=xy取得最大值时,点P的坐标是
(
5
2
,5)
(
5
2
,5)
15.我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”,如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点,那么这条直线叫做“蛋圆”的切线.如图,点A、B、C、D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点,点D的坐标为(0,-3)AB为半圆直径,半圆圆心M(1,0),半径为2,则“蛋圆”的抛物线部分的解析式为
y=x2-2x-3
y=x2-2x-3
.经过点C的“蛋圆”的切线的解析式为
y=
3
3
x+
3
y=
3
3
x+
3
.
16.如图,以扇形OAB的顶点O为原点,半径OB所在的直线为x轴,建立平面直角坐标系,点B的坐标为(2,0),若抛物线y=
1
2
x2+k与扇形OAB的边界总有两个公共点,则实数k的取值范围是
-2<k<
1
2
-2<k<
1
2
.
17.已知二次函数y=x2+2mx+2,当x>2时,y的值随x值的增大而增大,则实数m的取值范围是
m≥-2
m≥-2
.
18.如图是我省某地一座抛物线形拱桥,桥拱在竖直平面内,与水平桥面相交于A、B两点,拱桥最高点C到AB的距离为9m,AB=36m,D、E为拱桥底部的两点,且DE∥AB,点E到直线AB的距离为7m,则DE的长为
48
48
m.
19.如图,在平面直角坐标系xOy中,若动点P在抛物线y=ax2上,⊙P恒过点F(0,n),且与直线y=-n始终保持相切,则n=
1
4a
1
4a
(用含a的代数式表示).
20.如图,矩形ABCD的长AB=6cm,宽AD=3cm.O是AB的中点,OP⊥AB,两半圆的直径分别为AO与OB.抛物线y=ax2经过C、D两点,则图中阴影部分的面积是
9
8
π
9
8
π
cm2.
下载三.解答题(共10小题)
21.如图,二次函数y=−
1
2
x2+2与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,点P从A点出发,以1个单位每秒的速度向点B运动,点Q同时从C点出发,以相同的速度向y轴正方向运动,运动时间为t秒,点P到达B点时,点Q同时停止运动.设PQ交直线AC于点G.
(1)求直线AC的解析式;
(2)设△PQC的面积为S,求S关于t的函数解析式;
(3)在y轴上找一点M,使△MAC和△MBC都是等腰三角形.直接写出所有满足条件的M点的坐标;
(4)过点P作PE⊥AC,垂足为E,当P点运动时,线段EG的长度是否发生改变,请说明理由.
22.近期,海峡两岸关系的气氛大为改善.大陆相关部门对原产台湾地区的15种水果实施进口零关税措施,扩大了台湾水果在大陆的销售.某经销商销售了台湾水果凤梨,根据以往销售经验,每天的售价与销售量之间有如下关系:
每千克销售(元)
40
39
38
37
…
30
每天销量(千克)
60
65
70
75
…
110
设当单价从40元/千克下调了x元时,销售量为y千克;
(1)写出y与x间的函数关系式;
(2)如果凤梨的进价是20元/千克,若不考虑其他情况,那么单价从40元/千克下调多少元时,当天的销售利润W最大?
利润最大是多少?
(3)目前两岸还未直接通航,运输要绕行,需耗时一周(七天),凤梨最长的保存期为一个月(30天),若每天售价不低于32元/千克,问一次进货最多只能是多少千克?
(4)若你是该销售部负责人,那么你该怎样进货、销售,才能使销售部利润最大?
23.如图,抛物线经过A(4,0),B(1,0),C(0,-2)三点.
(1)求出抛物线的解析式;
(2)P是抛物线上一动点,过P作PM⊥x轴,垂足为M,是否存在P点,使得以A,P,M为顶点的三角形与△OAC相似?
若存在,请求出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)在直线AC上方的抛物线上有一点D,使得△DCA的面积最大,求出点D的坐标.
24.已知:
如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点,其中A点坐标为(-1,0),点C(0,5),另抛物线经过点(1,8),M为它的顶点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)求△MCB的面积S△MCB.
25.如图所示,在平面直角坐标系中,以点M(2,3)为圆心,5为半径的圆交x轴于A,B两点,过点M作x轴的垂线,垂足为D;过点B作⊙M的切线,与直线MD交于N点.
(1)求点B、点N的坐标以及直线BN的解析式;
(2)求过A、N、B、三点(对称轴与y轴平行)的抛物线的解析式;
(3)设
(2)中的抛物线与y轴交于点P,以点D,B,P三点为顶点作平行四边形,请你求出第四个顶点Q的坐标,并判断Q是否在
(2)中的抛物线上.
26.已知抛物线y=x2+bx+c的顶点为P,与y轴交于点A,与直线OP交于点B.
(1)如图1,若点P的横坐标为1,点B的坐标为(3,6),试确定抛物线的解析式;
(2)在
(1)的条件下,若点M是直线AB下方抛物线上的一点,且S△ABM=3,求点M的坐标;
(3)如图2,若点P在第一象限,且PA=PO,过点P作PD⊥x轴于点D.将抛物线y=x2+bx+c平移,平移后的抛物线经过点A、D,该抛物线与x轴的另一个交点为C,请探究四边形OABC的形状,并说明理由.
27.已知:
如图,抛物线y=ax2+bx+2与x轴的交点是A(3,0)、B(6,0),与y轴的交点是C.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)设P(x,y)(0<x<6)是抛物线上的动点,过点P作PQ∥y轴交直线BC于点Q.
①当x取何值时,线段PQ的长度取得最大值,其最大值是多少?
②是否存在这样的点P,使△OAQ为直角三角形?
若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
28.如图①,Rt△ABC中,∠B=90°∠CAB=30°,AC⊥x轴.它的顶点A的坐标为(10,0),顶点B的坐标为(5,5
3
),点P从点A出发,沿A→B→C的方向匀速运动,同时点Q从点D(0,2)出发,沿y轴正方向以相同速度运动,当点P到达点C时,两点同时停止运动,设运动的时间为t秒.
(1)求∠BAO的度数.(直接写出结果)
(2)当点P在AB上运动时,△OPQ的面积S与时间t(秒)之间的函数图象为抛物线的一部分(如图②),求点P的运动速度.
(3)求题
(2)中面积S与时间
1
2
之间的函数关系式,及面积S取最大值时点P的坐标.
(4)如果点P,Q保持题
(2)中的速度不变,当t取何值时,PO=PQ,请说明理由.
29.如图,在平面直角坐标系中,点O是原点,点A的坐标为(4,0),以OA为一边,在第一象限作等边△OAB
(1)求点B的坐标;
(2)求经过O、A、B三点的抛物线的解析式;
(3)直线y=
3
2
x与
(2)中的抛物线在第一象限相交于点C,求点C的坐标;
(4)在(3)中,直线OC上方的抛物线上,是否存在一点D,使得△OCD的面积最大?
如果存在,求出点D的坐标和面积的最大值;如果不存在,请说明理由.
30.如图,抛物线y=−
1
2
x2+bx+c与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,且OA=2,OC=3.
(1)求抛物线的解析式;
(2)作Rt△OBC的高OD,延长OD与抛物线在第一象限内交于点E,求点E的坐标;
(3)①在x轴上方的抛物线上,是否存在一点P,使四边形OBEP是平行四边形?
若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;
②在抛物线的对称轴上,是否存在上点Q,使得△BEQ的周长最小?
若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
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