初二题型总结.docx
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初二题型总结.docx
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初二题型总结
题型一、勾股定理中分类讨论思想
1.在
中,三边长为
,且
,
,则
_____
2.已知△ABC中,AB=20,AC=15,BC边上的高为12,求△ABC的面积.
题型二、特殊四边形折叠问题(用勾股定理建立方程)
1.矩形折叠问题:
如图所示,把一张矩形纸片沿对角线折叠,重合部分是什么图形,试说明理由.
(1)若AB=4,BC=8,求AF.
(2)若对折使C在AD上,AB=6,BC=10,求AE,DF的长.
2.动手操作:
如图,在矩形纸片ABCD中,AB=3,AD=5.如图所示折叠纸片,使点A落在BC边上的A′处,折痕为PQ,当点A′在BC边上移动时,折痕的端点P、Q也随之移动.若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动.
求:
(1)当点Q与点D重合时,A′C的长是多少?
(2)点A′在BC边上可移动的最大距离是多少?
3.如图,矩形ABCD中,AB=8,AD=10.
(1)求矩形ABCD的周长;
(2)E是CD上的点,将△ADE沿折痕AE折叠,使点D落在BC边上点F处.
①求DE的长;
②点P是线段CB延长线上的点,连接PA,若△PAF是等腰三角形,求PB的长.
(3)M是AD上的动点,在DC 上存在点N,使△MDN沿折痕MN折叠,点D落在BC边上点T处,求线段CT长度的最大值与最小值之和.
题型三、线段和最短与线段差最大问题
1.如图,正方形ABCD中,AB=4,E是BC的中点,点P是对角线AC上一动点,则PE+PB的最小值为.
2.如图,菱形ABCD中,∠BAD=60º,M是AB的中点,P是对角线AC上的一个动点,若PM+PB的最小值是3,则AB长为.
3.在锐角三角形ABC中,BC=
,∠ABC=45°,BD平分∠ABC,M、
N分别是BD、BC上的动点,则CM+MN的最小值是
4.如图,钝角三角形ABC的面积为15,最长边AB=10,BD平分∠ABC,点M、N分别是BD、BC上的动点,则CM+MN的最小值为_____.
5.如图,已知菱形ABCD中,∠ABC=60°,AB=8,过线段BD上的一个动点P(不与B、D 重合)分别向直线AB、AD作垂线,垂足分别为E、F.
(1)BD的长是______;
(2)连接PC,当PE+PF+PC取得最小值时,此时PB的长是______.
6.已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8,M、N分别是边BC、CD的中点,P是对角线BD上一点.
(1)求菱形ABCD的面积.
(2)求PM+PN的最小值.
(3)分别求四边形PMCN、
的周长最小值.
(4)四边形PMCN的面积是否为定值,若是,求出定值,若不是,说明理由.
7.如图,菱形ABCD中,AB=2,∠A=120°,点P,Q,K分别为线段BC,CD,BD上的任意一点,则PK+QK的最小值为________
8.在矩形ABCD中,AB=3,BC=
∠ABC=90°,BD为矩形的对角线,M、N分别是BD、BC上的动点,则CM+MN的最小值是_______
9.点
均在由面积为1的相同小正方形组成的网格的格点上,建立平面直角坐标系如图所示.若P是x轴上使得
的值最大的点,Q是y轴上使得QA十QB的值最小的点,则
= .
题型四、等面积法的应用(勾股定理的证明中用过等面积法)
1.如下图,在∆ABC中,
,AB=8cm,BC=15cm,P是到∆ABC三边距离相等的点,求点P到∆ABC三边的距离.
2.如图,点E是矩形ABCD边AD上一点,且BE=DE,点P是对角线BD上任意一点,PF
BE,PG
AD,垂足分别为点F,G,则PF+PG=AB成立吗?
为什么?
3.如图,在矩形ABCD中,AB=3,AD=4,P是AD上一动点,PE⊥AC于E,PF⊥BD于F,则PE+PF=______
4.大家在学完勾股定理的证明后发现运用“同一图形的面积不同表示方式相同”可以证明一类含有线段的等式,这种解决问题的方法我们称之为面积法.学有所用:
在等腰三角形ABC中,AB=AC,其一腰上的高为h,M是底边BC上的任意一点,M到腰AB、AC的距离分别为h1、h2.
(1)请你结合图形来证明:
h1+h2=h;
(2)当点M在BC延长线上时,h1、h2、h之间又有什么样的结论.请你画出图形,并直接写出结论不必证明;
(3)利用以上结论解答,如图在平面直角坐标系中有两条直线l1:
y=
x+3,l2:
y=-3x+3,若l2上的一点M到l1的距离是
.求点M的坐标.
题型五、一次函数的综合应用
①过矩形、菱形、平行四边形、正方形中心的任何一条直线都可以将该图形的面积平分.
1.如图,在直角坐标系中,矩形OABC的顶点B的坐标为(24,6),直线
恰好将矩形OABC分成面积相等的两部分,求b的值.
2.如图,多边形OABCDE在平面直角坐标系中,O为坐标原点,点A和点E分别在y轴和x轴上,其中AB∥CD∥x轴,DE∥BC∥y轴,已知点B(4,6),点D(6,4),若直线
经过点M(2,3),且将多边形OABCDE分割成面积相等的两部分,则直线
的函数表达式是________________.
②三角形面积转化
1.如图,直线y=
x+1与x轴、y轴分别交于点A、B,以AB为直角边在第一象限内作等腰Rt△ABC,∠BAC=90°,若点P(1,a)为坐标系中的一个动点.
(1)求Rt△ABC的面积;
(2)说明不论a取任何实数,△BOP的面积都是一个常数;
(3)要使得△ABC和△ABP的面积相等,求实数a的值.
2.如图,直线y=kx+2与x轴、y轴分别交于A、B两点,OA:
OB=
.以线段AB为边在第二象限内作等腰Rt△ABC,∠BAC=90°.
(1)求点A的坐标和k的值;
(2)求点C坐标;
(3)直线y=
x在第一象限内的图象上是否存在点P,使得△ABP的面积与△ABC的面积相等?
如果存在,求出点P坐标;如果不存在,请说明理由.
3.已知:
如图,平面直角坐标系xOy中,A(1,0),B(0,1),C(-1,0),过点C的直线绕点C旋转,交y轴于点D,交线段AB于点E.
(1)求∠OAB的度数及直线AB的解析式;
(2)若△OCD与△BDE的面积相等,
①求直线CE的解析式;
②若y轴上的一点P满足∠APE=45°,请你直接写出P点的坐标.
题型六、一次函数实际应用(行程问题)
1.A,B两城相距600千米,甲、乙两车同时从A城出发驶向B城,甲车到达B城后立即返回.如图是它们离A城的距离y(千米)与行驶时间x(小时)之间的函数图象.
(1)求甲车行驶过程中y与x之间的函数解析式,并写出自变量x的取值范围;
(2)当它们行驶7了小时时,两车相遇,求乙车速度.
2.在一条直线上依次有A、B、C三个港口,甲、乙两船同时分别从A、B港口出发,沿直线匀速驶向C港,最终达到C港.设甲、乙两船行驶x(h)后,与B港的距离分别为
、
(km),
、
与x的函数关系如图所示.
(1)填空:
A、C两港口间的距离为km,
;
(2)求图中点P的坐标,并解释该点坐标所表示的实际意义;
(3)甲、乙两船同在行驶途中,若两船距离不超过10km时能够相互望见,求甲、乙两船可以相互望见时x的取值范围.
3.一列快车从甲地匀速驶往乙地,一列慢车从乙地匀速驶往甲地.设先发车辆行驶的时间为xh,两车之间的距离为ykm,图中的折线表示y与x之间的函数关系.根据图象解决以下问题:
(1)慢车的速度为km/h,快车的速度为km/h;
(2)解释图中点D的实际意义并求出点D的坐标;
(3)求快车出发多少时间时,两车之间的距离为300km?
4.甲、乙两车同时从A地出发,以各自的速度匀速向B地行驶.甲车先到达B地,停留1小时后按原路以另一速度匀速返回,直到两车相遇.乙车的速度为每小时60千米.下图是两车之间的距离y(千米)与乙车行驶时间x(小时)之间的函数图象.
(1)两车行驶3小时后,两车相距______千米;
(2)请在图中的括号内填上正确的值,并直接写出甲车从A到B的行驶速度;
(3)求从甲车返回到与乙车相遇过程中y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围.
(4)求出甲车返回时的行驶速度及A、B两地之间的距离.
5.如图①,在矩形ABCD中,AB=30cm,BC=60cm.点P从点A出发,沿A→B→C→D路线向点D匀速运动,到达点D后停止;点Q从点D出发,沿D→C→B→A路线向点A匀速运动,到达点A后停止.若点P、Q同时出发,在运动过程中,Q点停留了1s,图②是P、Q两点在折线AB-BC-CD上相距的路程S(cm)与时间t(s)之间的函数关系图象.
(1)请解释图中点H的实际意义?
(2)求P、Q两点的运动速度;
(3)将图②补充完整;
(4)当时间t为何值时,△PCQ为等腰三角形?
请直接写出t的值.
题型七、特殊图形
一个平行四边形、两条角平分线、三个特殊三角形(两个等腰三角形、一个直角三角形)
1.在□ABCD中,AE、BF分别平分∠DAB和∠ABC,交CD于点E、F,AE、BF相交于点M.
(1)试说明:
AE⊥BF;
(2)判断线段DF与CE的大小关系,并予以说明.
(3)若
,那么□ABCD应满足的条件是()
A.
B.
C.
D.
一个矩形、一条角平分线、三个特殊三角形(一个等边、一个等腰、一个等腰直角)
2.如图,矩形ABCD中,AE平分∠BAD交BC于E,∠CAE=15°,下面结论不正确的是()
A、△ODC是等边三角形B、BC=2ABC、∠AOE=135°D、S△AOE=S△COE
3.矩形ABCD中,AC、BD相交于点O,且∠ADB=30°,∠ADC的平分线交BC于E,连接OE.
(1)求∠COE的度数.
(2)若AB=4,求OE的长
三个等边三角形、一个平行四边形
4.如图,以△ABC三边为边,分别作三个等边三角形,即△ABD、△BCE、△ACF.
(1)求证:
四边形ADEF是平行四边形;
(2)当∠BAC=______时,四边形ADEF是矩形;
(3)当∠BAC=______时,以A、E、F、D为顶点的四边形不存在.
(4)当△ABC满足什么条件时,平行四边形ADEF是菱形?
请说明理由.
(5)当△ABC满足什么条件时,平行四边形ADEF是正方形?
不必说出理由.
一个任意四边形引出一个平行四边形,当改变这个任意四边形的形状时,引出的平行四边形会发生相应的变化.
5.如图,任意四边形ABCD,对角线AC、BD交于O点,过各顶点分别作对角线AC、BD的平行线,四条平行线围成一个四边形EFGH.试想当四边形ABCD的形状发生改变时,四边形EFGH的形状会有哪些变化?
完成以下题目.
(1)当ABCD为任意四边形时,EFGH为________________;
当ABCD为矩形时,EFGH为________________;
当ABCD为菱形时,EFGH为________________;
当ABCD为正方形时,EFGH为________________;
当EFGH是矩形时,ABCD为________________;
当EFGH是菱形时,ABCD为________________;
当EFGH是正方形时,ABCD为________________.
(2)请选择
(1)中任意一个你所写的结论进行证明.
两个等腰直角三角形(一个已知、一个通过证明三角形全等得到)
6.如图所示,△ABC是等腰直角三角形,AB=AC,D是斜边BC的中点,E、F分别是AB、AC边上的点,且DE⊥DF,若BE=12,CF=5.求线段EF的长.
7.在Rt△POQ中,OP=OQ=4,M是PQ的中点,把一三角尺的直角顶点放在点M处,以M为旋转中心,旋转三角尺,三角尺的两直角边与△POQ的两直角边分别交于点A、B.
(1)求证:
MA=MB;
(2)连接AB,探究:
在旋转三角尺的过程中,△AOB的周长是否存在最小值?
若存在,求出最小值;若不存在,请说明理由.
题型八、已知两个一次函数的交点在某个象限,求其中字母的范围(有两种方法:
代数法和几何法,其中几何法计算量小)
1.已知直线
与直线
的交点在第三象限内,则
的取值范围是.
2.已知直线
与直线
的交点在第三象限内,则
的取值范围是.
题型九、探究线段平方之间的关系(一般少不了勾股定理)(有时旋转或者翻折)
1.如图,△ABC为等腰直角三角形,∠BAC=90°,E、F是BC上的点,且∠EAF=45°试探究
间的关系,并说明理由.
2.如图,在△ABC中,AB=AC=6,P为BC上任意一点,请用学过的知识试求PC·PB+PA2的值.
3.在
中,
边上有2006个不同的点
记
则
=_____.
题型十、勾股定理中规律及探究
1.已知△ABC是边长为1的等腰直角三角形,以Rt△ABC的斜边AC为直角边,画第二个等腰Rt△ACD,再以Rt△ACD的斜边AD为直角边,画第三个等腰Rt△ADE,…,依此类推,第n个等腰直角三角形的斜边长是.
2.如图所示,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的边长为5,则正方形A,B,C,D的面积的和为
3.如图,在直线l上依次摆放着七个正方形,已知斜放置的三个正方形的面积分别为1.0,1.21,1.44,正放置的四个正方形的面积为S1、S2、S3、S4,则S1+S2+S3+S4=_______
4..观察下面表格中所给出的三个数a,b,c,其中a,b,c为正整数,且a
(1):
试找给他们的共同点,并证明你的结论.
(2):
当a=21时,求b,c的值.
3,4,5
3
+4
=5
5,12,13
5
+12
=13
7,24,25
7
+24
=25
9,40,41
9
+40
=41
……..
……
21,b,c
21
+b
=c
5.小明学了勾股定理后很高兴,兴冲冲的回家告诉了爸爸:
在△ABC中,若∠C=90°,BC=a,AC=b,AB=c,如下图,根据勾股定理,则a2+b2=c2.爸爸笑眯眯地听完后说:
很好,你又掌握了一样知识,现在考考你,若不是直角三角形,那勾股定理还成不成立?
若成立,请说明理由;若不成立,请你类比勾股定理,试猜想a2+b2与c2的关系,并证明你的结论.〔下图备用)
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