高数大一复习总结.docx
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高数大一复习总结
高等数学(本科少学时类型)
第一章函数与极限
第一节函数
O函数基础(高中函数部分相关知识)(★★★)
。
邻域(去心邻域)(★)
第二节数列的极限
。
数列极限的证明(★)
【题型示例】已知数列W,证明
!
吧代卜"
【证明示例】E-N语言
1.山|怎一《<£化简得〃,g(£),
・・・N=[g(£)]
2.即对Ve>0,mN=[g(g)],当”N时,始终有不等式|玉-〃|<£成立,
/.lim{x}=a
Xf8
第三节函数的极限
Ox-4时函数极限的证明(★)
【题型示例】已知函数/(A),证明limf(x)=A
【证明示例】£-6语言
1.由|/(A-)-A|<£-化简得
O<\X-X^\
J5=g(£)
2.即对Ve>0,m(5=g(£),当
0<卜一小|<6时,始终有不等式
-A|ve成立,
limf(x)=AXT.”
OX78时函数极限的证明(★)
【题型示例】已知函数/(X),证明
limf(x)=A
x->x
【证明示例】£-X语言
i.由|/(x)-<£化简得N>g(&),
X=g(e)
2.即对V£>0,3X=g(s),当忖,X时,始终有不等式成立,
/.limf(x)=A
X->X
第四节无穷小与无究大
O无穷小与无穷大的本质(★)
函数/(A)无穷小Olimf(x)=O
函数/(a)无穷大Olimf(x)=oo
。
无穷小与无穷大的相关定理与推论(★★)
(定理三)假设/(X)为有界函数,gW为无穷小,则lim(X)•g(x)]=。
(定理四)在自变量的某个变化过程中,若为无穷大,贝IJ/7(力为无穷小;反之,若〃力为无穷小,且/(£)工0,则广Q)为无穷大
【题型示例】计算:
1叩(力气(力](或
x->X)
L・・1/(x)|,函数0x)|在x=%的
任一去心邻域6(如。
)内是有界的;
(•・・|/(x)|WM,・,・函数|“可|在xe。
上有界;)
2.limg(x)=0即函数g(x)是x->a-0时的■WX0
无穷小;
(limg(x)=0即函数g(x)是人一>8时的X—>»
无穷小;)
3.由定理可知lim[f(x)・g(x)]=0
(也[/(x)・g(x)]=。
)
第五节极限运算法则
O极限的四则运算法则(★★)
(定理一)加减法则
(定理二)乘除法则
关于多项式p(x)、4(x)商式的极限运算
PW=g/+J+…+aml乂:
<
q(x)=boxn+btxn^1+...+bn
sn 则lim,! '? =>-n=m Eq(x)优0n>m (特别地,当lim3=9(不定型) fg(x)0 时,通常分子分母约去公因式即约去可 去间断点便可求解出极限值,也可以用 罗比达法则求解) 【题型示例】求值lim「13厂一9 【求解示例】解: 因为xf3,从而可得 -3,所以原式 x-3x-31I =Inn—=lim-=lim=- 13厂_9z3(x+3)(x_3)13工+3( 其中x=3为函数〃工)=三;的可去间 -X9 断点 二节): 能rx-31(f11 解: lim—=lim-=lim—=- 13d-9人川(__9)'T2x6 O连续函数穿越定理(复合函数的极限求解)(★★) (定理五)若函数/(五)是定义域上的连续函数,那么,粤/[夕3]=/[由y(x)] 【题型示例】求值: lim」;二 第六节极限存在准则及两个重要极限 。 夹迫准则(P53)(★★★) 第一个重要极限: lim皿=1 丁VxeI0,—,sinx 倘若运用罗比达法则求解(详见第三章第 \2 sinx. lim=1 x (特别地,limSin(V-Ao)=1) 。 单调有界收敛准则(P57)(★★★) 第二个重要极限: Iinjl+U'=e (一般地,lim[/(4T)=[lim/(x)r㈤,其中lim/(x)>0) /oav+,【题型示例】求值: lim仝二2X+\) 【求解示例】 第七节无穷小量的阶(无穷小的比较) 。 等价无穷小(★★) 1. U-sin(7-tanU~arcsinU-arctanU~ln(l+U) ~(」T) 2.1u2~1-cosU 2 (乘除可替,加减不行) 【题型示例】求值: 11nMi+、)+xin(i+. 一°r+3x 【求解示例】 第八节函数的连续性 。 函数连续的定义(★) 。 间断点的分类(P67)(★) 第二类间断编二装「甑qf”、 [无穷间断点(极限为0) (特别地,可去间断点能在分式中约去 相应公因式) r<0 【题型示例】设函数/(x)=,应 a+xx>0 该怎样选择数”,使得成为在R上的 连续函数 【求解示例】 /(0-)=产=J=e L7 由连续函数定义 八0)=" limf(x)=lim/(x)=/(0)= —o-A->0 第九节闭区间上连续函数的性质 。 零点定理(★) 【题型示例】证明: 方程f(x)=g(x)+C至少有一个根介于〃与匕之间 【证明示例】 1.(建立辅助函数)函数(p[x)=f^x)-g(x)-C在闭区间上连续; 2.V^(6/)^(/? )<0(端点异号) 3.,由零点定理,在开区间(“小)内至少有一点g,使得夕仁)=。 ,即/©-g(>)-c=0(0<<<1) 4.这等式说明方程f(x)=g(x)+C在开区间(凡与内至少有一个根自 第一节导数概念 O高等数学中导数的定义及儿何意义 (P83)(★★) X.1 【题型示例】已知函数/(x)=, ax+b x<0 在x=0处可导,求〃,b x>0 【求解示例】 ]..(£(0)=°。 =]产1+。 +1=2 (/;(0)=«,)(。 »〃 [/(0)=e°+l=2 2.由函数可导定义 N(0)=£(0)=“=i /(0-)=/(0+)=/(0)=/9=2 : •a=\,b=2 【题型示例】求,,=在X处的切线与 法线方程 (或: 过y=/(x)图像上点[",/(〃)]处的切 线与法线方程) ly'=/'(x),y'ij=/'(") 2.切线方程: = 法线方程: ),_/(a)=__1—(x-a) 第二节函数的和(差)、积与商的求导 法则 O函数和(差)、积与商的求导法则(★ ★★) 1.线性组合(定理一): (an±pv)'=an1+pv' 特别地,当a=p=\时,有 (M±V)*=ltr±VZ 2.函数积的求导法则(定理二): (〃v)'=〃,+〃/ 3.函数商的求导法则(定理三): 第三节反函数和复合函数的求导法则 【题型示例】求函数/-(、•)的导数 【求解示例】山题可得/(x)为直接函数,其在定于域。 上单调、可导,且广(力,0; •••,")] 。 复合函数的求导法则(★★★) 【题型示例】设y=ln(*wng+JE),求 【求解示例】 第四节高阶导数 o*(x)=[K)]'(或 2』曰[)(★) dxn|_加”川_ 【题型示例】求函数y=ln(l+x)的〃阶导数 【求解示例】y=—=(i+a-)-1, 。 反函数的求导法则(★) y"=[(l+x)[=(—l).(l+x尸, 2.XV^(O)=/(O)sinO=O 即0(0)=9(乃)=0 3.,由罗尔定理知 亚40,乃),使得 f(^)cos<^+广⑶sin4=0成立 O拉格朗日中值定理(★) 【题型示例】证明不等式: 当时, ex>ex 【证明示例】 1.(建立辅助函数)令函数/(力=-,则对Vx>l,显然函数/(x)在闭区间[1,同上连续,在开区间(1,力上可导,并且=; 2.由拉格朗日中值定理可得,毛41,司使得等式/一J=(x-l)J成立, 又•・•净〉》, ex-e[>(x-1)/=e-x—e, 化简得/即证得: 当x>l时.,ex>ex 【题型示例】证明不等式: 当x>0时,ln(l+x) 【证明示例】 1.(建立辅助函数)令函数/(x)=ln(l+x),则对Vx>0,函数/(X)在闭区间[0,x]上连续,在开区间(0,町上可导,并且广(力=占; 2.由拉格朗日中值定理可得,3^e[0,A-]使得等式ln(l+x)-ln(l+0)=pJ--(x-0)成立, 化简得ln(l+x)=-Lx,又♦・•e[0,x]» ・,・广团号<1,J ln(l+x) 即证得: 当X>1时, 第二节罗比达法则 (一般地,lin产。 ・(lnx)'=0,其中a.pe/? ) O运用罗比达法则进行极限运算的基 本步骤(★★) 1.*等价无穷小的替换(以简化运算) ⑵8-8型(通分构造分式,观察分母) 【题型示例】求值: 出4」一-- xT01sinxx) ( I\lanx-X) 【求解示例】 O运用罗比达法则进行极限运算的基本思路(★★) ⑴通分获得分式(通常伴有等价无穷小的替 换) ⑵取倒数获得分式(将乘积形式转化为分式形式) ⑶取对数获得乘积式(通过对数运算将指数 提前) 第三节泰勒中值定理(不作要求) 第四节函数的单调性和曲线的凹凸性 。 连续函数单调性(单调区间)(★★ ★) 【题型示例】试确定函数 f(x)=2/_9/+I2x-3的 单调区间 【求解示例】 1.•・•函数/(可在其定义域R上连续,且 可导 f,(x)=6x2—18x+12 2.令((x)=6(x—l)(x—2)=0,解得: X]=1,=2 3.(三行表) 极大 值 极小 值 4.・•・函数/(x)的单调递增区间为 单调递减区间为(1,2) 【题型示例】证明: 当x>0时,ex>x+\ 【证明示例】 1.(构建辅助函数)设o(x)=/—x—l,(x>0) 2.=(x>0) 夕(力>夕(0)=0 3.既证: 当x>0时,ex>x+\ 【题型示例】证明: 当x>0时,ln(l+x) 【证明示例】 1.(构建辅助函数)设0(x)=ln(l+x)-x,(x>0) y=-3x+6x=-3x(x-2)yff=-6x+6=-6(x-l) /=-3x(x-2)=0 u"。 解得: 3.(四行表) 4.⑴函数丫=1+3/-/单调递增区间为(0,1),(1,2)单调递增区间为(-oo,0),(2,+oo); ⑵函数y=\+3x2-x的极小值在x=0时取到,为/(0)=1, 【证明示例】 极大值在x=2时取到,为 "2)=5; (3)函数),=1+3/73在区间 (-00,0),(0,1)上凹,在区间 (1,2),(2,—)上凸; ⑷函数y=l+3x2-%3的拐点坐标为 (⑶ 第五节函数的极值和最大、最小值 。 函数的极值与最值的关系(★★★) ⑴设函数“力的定义域为0,如果天”的某个邻域U(4)u。 ,使得对 VxeU(x”),都适合不等式 我们则称函数/(X)在点[如./(均)]处有极大值/(%); 令8/€{XA/hXM2>XM3XMn}则函数〃力在闭区间心山上的最 M=11乂次{〃〃),%|,%2,%3,・・・,/加,/(0)}* ⑵设函数“X)的定义域为。 ,如果 天,”的某个邻域U(/)uO,使得对 VA-e(/(xw),都适合不等式 “X)>/'(%), 我们则称函数/(X)在点[%/(%)] 处有极小值/(.%); 令/e{%,/2,/3,・“,j} 则函数〃X)在闭区间上的最 小值〃? 满足: /〃=min{/(a),苍川,42,七”3,…,加,f(b)}9 【题型示例】求函数〃同=3工-丁在41,3] 上的最值 【求解示例】 1.・・•函数〃x)在其定义域卜1,3]上连续, 且可导 大值"满足: f,(^x)=-3x1+3 2.令尸(力=_3 (1)(1+1)=0, 解得: x1=-l,x2=1 3.(三行表) 极小 值 极大 值 4.XV/(-l)=-2,/(l)=2,/(3)=-18 /«^=/(0=2,/(^=/(3)=-18 第六节函数图形的描绘(不作要求) 第七节曲率(不作要求) 第八节方程的近似解(不作要求) 第四章不定积分 第一节不定积分的概念与性质 。 原函数与不定积分的概念(★★) ⑴原函数的概念: 假设在定义区间/上,可导函数爪X)的导函数为k(x),即当自变量时,有r(x)=/(x)或dF(x)=/(x)•八成立,则称F(x)为“X)的一个原函数 ⑵原函数存在定理: (★★) 如果函数“X)在定义区间/上连续,则在/上必存在可导函数尸")使得9(x)=/(x),也就是说: 连续函数一定存在原函数(可导必连续) ⑶不定积分的概念(★★) 在定义区间/上,函数“X)的带有任意常数项C的原函数称为/(“在定义区间/上的不定积分,即表示为: J/(a-Xv=F(a)+C (称为积分号,“X)称为被积函数, ⑴对于一次根式("O,beH): /(x)公称为积分表达式,x则称为积 分变量) 。 基本积分表(★★★) O不定积分的线性性质(分项积分公 式)(★★★) y/ax+h: 令,=yjax+b,于是 r-b a 则原式可化为, ⑵对于根号下平方和的形式(。 >0): 第二节换元积分法 yja2+x2: 令x=atanZ(), 22 O第一类换元法(凑微分)(★★★) (4v=ra)wx的逆向应用) 【题型示例】求[一//x JCT+k 【求解示例】 于是『=arctan上,则原式可化为asec/;a ⑶对于根号下平方差的形式(a>0): a.4cr-x2: 令x=asin/(~— 22 于是f=arccos^,则原式可化为atan/;x 【求解示例】 。 第二类换元法(去根式)(★★) 【题型示例】求一次根式) (dy=/'(X),的正向应用) 【求解示例】 解小,]dx.产[f,〃=/+c=" J757+1T*b) 山Ndl 【题型示例】求J7777公(三角换元) 【求解示例】 第三节分部积分法 o分部积分法(★★) ⑴设函数“=/(力,y=g(x)具有连续导数,则其分部积分公式可表示为: Judv=uv-jvdu ⑵分部积分法函数排序次序: “反、对、塞、三、指” O运用分部积分法计算不定积分的基本步骤: ⑴遵照分部积分法函数排序次序对被积函数排序; ⑵就近凑微分: (火公=小) ⑶使用分部积分公式: judv=mv-jvdu ⑷展开尾项JMu=「八udx,判断 +1+Ca.若卜"公是容易求解的不定积分,则直接计算出答案(容易表示使用基本积分表、换元法与有理函数积分可以轻易求解出结果): b.若JufNx依旧是相当复杂,无法通过a中方法求解的不定积分,则重复⑵、(3),直至出现容易求解的不定积分;若重复过程中出现循环,则联立方程求解,但是最后要注意添上常数C 【题型示例】求公 【求解示例】 [题型示例】求J•sinxdx 【求解示例】 Jex-sinxdx=—ex(sinx-cosx)+C 2 第四节有理函数的不定积分 。 有理函数(★) 设 P(%)p(x)=aoxm+qf+…+am Q(x)9(x)=%x"+幻""+...+bn 一般地: nix+ri=mx+2],则参数in) n in 则参数p=-,q=— aa 由待定系数法(比较法)求出 。 有理函数(真分式)不定积分的求解思路(★) ⑴将有理函数1的分母Q(x)分拆 成两个没有公因式的多项式的乘积: 其中一个多项式可以表示为一次因式(X-而另一个多项式可以表示为二次质因式(丁+川+4', (I)2-4ty<0); ⑶得到分拆式后分项积分即可求解 【题型示例】求f二及(构造法) JX+1 【求解示例】 第五节积分表的使用(不作要求) 第五章定积分极其应用 第一节定积分的概念与性质 即: Q(x)=0(x)・Q(x) O定积分的定义(★) (/(x)称为被积函数,/(工)公称为被积表达式,X则称为积分变量,。 称为积分下限,b称为积分上限,[四田称为积分区间) O定积分的性质(★★★) ⑵J: f(x)dx=O ⑶J=/(x>/x (4)(线性性质) ⑸(积分区间的可加性) ⑹若函数f(x)在积分区间,,可上满足了“)>o,则,/(工2>。 ; (推论一) 若函数“X)、函数g(x)在积分区间[ayb\上满足f(x)〈g(x),则J: /(%wJ: g(x丝; (推论二)口/(工叫《£|/3小 o积分中值定理(不作要求) 第二节微积分基本公式 o牛顿-莱布尼兹公式(★★★) (定理三)若果函数厂(x)是连续函数 /(M在区间[小以上的一个原函数,则 O变限积分的导数公式(★★★)(上上导一下下导) ['e-'dt 【题型示例】求lim辰J一I。 丫 【求解示例】 第三节定积分的换元法及分部积分法 。 定积分的换元法(★★★) ⑴(第一换元法) 1 【题型示例】求「--公 J°2x+l 【求解示例】 设函数f(x)eC[a,b],函数x="(f)满 足: 解: 「一! 一dx=,「一! 一c/(2x+l)=, 」。 21+12^2x+\'f2 =;[ln5-ln1]= (2)(第二换元法) ⑵若/(-X)=-/(%),则J: /(x)/x=0 第四节定积分在几何上的应用(暂时 不作要求) 第五节定积分在物理上的应用(暂时 不作要求) 第六节反常积分(不作要求) a.3a.p,使得夕 (2)=〃,9(/? )=〃; b.在区间[«夕]或[民司上, /[。 (川“(f)连续 如: 不定积分公式J[1、dx=arctanx+C的 证明。 很多同学上课时无法证明,那么在学 则: 工/(»戊=(/[夕(/)犷。 )4 期结束时.,我给出这样一种证明方法以说明 【题型示例】求 J。 5^7+1 问题: 如此,不定积分公式 【求解示例】 ⑶(分部积分法) f—r-! ―{x=-arctant+C也就很容易证明 J十厂aa 了,希望大家仔细揣摩,认真理解。 O偶倍奇零(★★) 设/(x)eC[-〃,可,则有以下结论成立: 最后,限于编者水平的限制,资料中错误和疏漏在所难免,希望同学们积极指出,以便互相学习改进。 ⑴若/(-^)=/(A) f/(xg=2j: /(今a
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