八年级平行四边形.docx
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八年级平行四边形
八下第1讲旋转、中心对称、平四概念全梳理
八下第2讲矩形菱形正方形典题汇总
八下第1讲旋转、中心对称、平四概念全梳理
一、知识梳理
1、图形的旋转
定义:
在平面内,将一个图形绕一个定点旋转一定的角度,这样的图形运动叫做图形的旋转.
三要素:
旋转中心,旋转角,旋转方向.
2、旋转的性质
(1)旋转前后的图形全等.
(2)对应点到旋转中心的距离相等.
(3)两组对应点分别与旋转中心连线,所成的角(旋转角)相等.
3、中心对称
定义:
一个图形绕某一点旋转180°,如果它能够与另一个图形重合,那么称这两个图形关于这点对称,也称这两个图形成中心对称.
4、中心对称的性质
(1)具有图形旋转的一切性质.
(2)成中心对称的两个图形,对应点的连线经过对称中心,且被对称中心平分.
5、中心对称与轴对称的区别联系
6、中心对称图形
定义:
把一个图形绕着某一个点旋转180°,如果旋转后的图形能够和原来的图形重合,那么这个图形叫做中心对称图形.
7、中心对称与中心对称图形的区别联系
8、平行四边形
(1)定义:
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
(2)符号表示:
记作:
口ABCD读作:
平行四边形ABCD
(3)对角线:
不相邻的两个顶点连成的线段叫对角线.
9、平行四边形性质
10、平行四边形判定方法
(1)两组对边分别平行.
(2)一组对边平行且相等.
(3)两组对边分别相等.
(4)对角线互相平分.
二、典例剖析
例1:
若两个图形成中心对称,则下列说法:
①对称点的连线必过对称中心;
②这两个图形的形状和大小完全相同;
③这两个图形的对应线段一定互相平行;
④将一个图形围绕对称中心旋转某个角度后必与另一个图形重合,
其中正确的有________.
分析:
本题主要考查了中心对称的概念及性质,强调的是两个图形,注意,若对称中心在图形的某
一条边上,则对应线段在同一直线上.
解答:
对于①,对称点的连线必然经过对称中心,正确;
对于②,如果两个图形成中心对称,那么它们的大小和形状不发生改变,只是旋转了180°,故正确;
对于③,这两个图形的对应线段除了平行,还有可能在同一直线上,故错误;
对于④,将一个图形围绕对称中心旋转180°后必与另一个图形重合,而不是任意角度,故此说法错误.
综上,①②正确;
例2:
如图,将△ABC绕点B逆时针旋转α,得到△EBD,若点A恰好在ED的延长线上,则∠CAD的度数为______.
分析:
根据旋转的性质和四边形的内角和是360°,可以求得∠CAD的度数,本题得以解决.
解答:
由题意得,∠CBD=α,∠ACB=∠EDB,
∵∠EDB+∠ADB=180°,∴∠ADB+∠ACB=180°,
∵∠ADB+∠DBC+∠BCA+∠CAD=360°,∠CBD=α,
∴∠CAD=180°−α.
例3:
如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC=
,将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置,连接C′B.
(1)请你判断BC′与AB′的位置关系,并说明理由;
(2)求BC′的长.
分析:
(1)如图,连接BB′,根据旋转的性质得AB=AB′,∠BAB′=60°,可判断△ABB′是等边三角形,则AB=BB′,而C′B′=C′A′,可判断BC′与AB′的位置关系;
(2)延长BC′交AB′于D,如图,在Rt△AC′B′中,利用等腰直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,求出C′D,再根据等边三角形的性质,求得BD长,然后计算BD-C′D即可.
解答:
(1)BC垂直平分AB′.理由如下:
如图,连接BB',∵△ABC绕点A顺时针方向旋转60°得到△AB′C′,CB′=CB,CA=C′A′,CB′=C′A′,
点C′在AB′的垂直平分线上.∴AB=AB',∠BAB′=60°,∴△ABB′是等边三角形,
∴AB=BB′,点B在AB′的垂直平分线上.∴BC′垂直平分AB′.
(2)如图,延长BC′交AB于D,在Rt△AC′B′中,AB'=AB=
AC=2,∵BC′垂直平分AB',
∴C′D=AD=
AB′=1,∵BD⊥AB′,∴BD=
=
∴BC′=BD-C′D=
-1.
例4:
如图,线段AB绕点O顺时针旋转一定的角度得到线段A1B1.请用直尺和圆规作出旋转中心O(不写作法,保留作图痕迹);
分析:
根据旋转的性质,对应点到旋转中心的距离相等,我们可以知道AO=A1O,BO=B1O,则点O分别在AA1,BB1的中垂线上,则作出AA1,BB1的中垂线交点即可.
解答:
如图,点O即为所求.
例5:
图1、图2均为7×6的正方形网格,点A、B、C在格点上.
(1)在图1中确定格点D,并画出以A、B、C、D为顶点的四边形,使其为轴对称图形.
(2)在图2中确定格点E,并画出以A、B、C、E为顶点的四边形,使其为中心对称图形.
分析:
(1)根据轴对称的性质,我们可以先画对称轴,再画出轴对称图形.
(2)根据中心对称的性质,我们可以先确定对称中心,再画出中心对称图形.
解答:
(1)如图所示;
(2)如图所示;
例6:
在下面给出的条件中,能判定四边形ABCD是平行四边形的是_______.
①AB=BC,AD=CD;②AB∥CD,AD=BC;③AB∥CD,AB=CD;
④∠A=∠B,∠C=∠D;⑤AB∥CD,AD∥BC;⑥AB=CD,AD=BC;
⑦AO=CO,BO=DO;
分析:
平行四边形的判定定理共有四条,但不代表只有这四种,我们要结合已知条件转换,看看能不能转化为常见的四种.有时,还要根据条件,尝试画画反例.
解答:
①不能判定四边形ABCD是平行四边形,反例为筝形;
②不能判定四边形ABCD是平行四边形,反例为等腰梯形;
③能判定四边形ABCD是平行四边形,一组对边平行且相等;
④不能判定四边形ABCD是平行四边形,反例为等腰梯形;
⑤能判定四边形ABCD是平行四边形,两组对边分别平行;
⑥能判定四边形ABCD是平行四边形,两组对边分别相等;
⑦能判定四边形ABCD是平行四边形,对角线互相平分;
反例:
故答案为:
③⑤⑥⑦.
例7:
如图,EF过□ABCD对角线的交点O,交AD于E,交BC于F,若□ABCD的周长为18,OE=1.5,则四边形EFCD的周长为_______.
分析:
先利用平行四边形的性质,可知AB=CD,BC=AD,AD+CD=9,再证明△AEO≌△CFO,可得AE=CF,OE=OF,即可求出四边形的周长.
解答:
∵□ABCD,周长为18,∴AB=CD,BC=AD,OA=OC,∴CD+AD=9,∵AD∥BC,
∴∠OAE=∠OCF,在△AEO和△CFO中,∠AOE=∠COF,OA=OC,∠AOE=∠COF,
∴△AEO≌△CFO(ASA),∴OE=0F=1.5,AE=CF,
∴四边形EFCD周长=ED+CD+CF+OE+OF=(DE+CF)+CD+EF=AD+CD+EF=9+3=12
例8:
在平面直角坐标系中,已知三点坐标A(-2,1),B(-1,-1),C(0,2),若以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形,则点D的坐标是________.
分析:
拿到这类题目,我们可在草稿纸上随意画出A、B、C三个点的位置,再作出点D的三种位置.显然,过给定的三个点A、B、C,作对边的平行线,三条平行线的交点即为点D的三个位置.
只要抓住一个点,其与另外三个点的连线,都能作为对角线,以对角线AD为例,结合平行四边形的性质,对角线互相平分,我们不难发现,对角线AD和BC的交点,既是AD的中点,又必然是BC的中点,运用中点公式坐标,不难得到交点坐标是
我们可以设第四个点的坐标为(x,y),从已知的3个点中选定一个点作为对角顶点,利用这三个公式,联立方程组即可求解,无需画图,不易漏解.
解答:
例9:
如图,四边形ABCD为平行四边形,∠BAD的角平分线AE交CD于点F,交BC的延长线于点E.
(1)求证:
BE=CD;
(2)连接BF,若BF⊥AE,∠BEA=60°,AB=4,求平行四边形ABCD的面积.
分析:
(1)由平行加角平分线构造等腰三角形,可得∠BAE=∠BEA,即AB=BE,再结合平行四边形对边相等即可得证;
(2)易证△ABE是等边三角形,得出AE=AB=4,AF=EF=2,由勾股定理求出BF,再证△ADF≌△ECF,得出△ADF的面积=△ECF的面积,因此平行四边形ABCD的面积=△ABE的面积,即可得出结果.
解答:
八下第2讲矩形菱形正方形典题汇总
知识梳理
1、矩形
定义:
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
矩形是中心对称图形,对称中心是对角线的交点.
矩形是轴对称图形,一共有2条对称轴,对边中点连线所在直线.
2、矩形的性质
(1)矩形的四个角都是直角.
(2)矩形的对角线相等.
3、矩形的判定
(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形.
(2)对角线相等的平行四边形是矩形.
(3)有三个角是直角的四边形是矩形.
4、两条平行线之间的距离
定义:
两条平行线中,一条直线上任意一点到另一条直线的距离.
性质:
两条平行线之间的距离处处相等.
5、菱形
定义:
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
菱形是中心对称图形,对称中心是对角线的交点.
菱形是轴对称图形,一共有2条对称轴,对角线所在直线.
6、菱形的性质
(1)菱形的四条边都相等.
(2)菱形的对角线互相垂直,每一条对角线平分一组对角(补充结论,仅填空选择用).
(3)菱形的面积公式:
对角线乘积的一半.
7、菱形的判定
(1)有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
(2)对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
(3)四条边都相等的四边形是菱形.
8、正方形
定义:
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.
正方形是中心对称图形,对称中心是对角线的交点.
正方形是轴对称图形,一共有4条对称轴,对边中点连线所在直线与对角线所在直线.
9、正方形的性质
(1)四条边都相等,四个角都是直角.
(2)对角线相等且垂直,每一条对角线平分一组对角.
10、正方形的判定
(1)有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.
(2)有一个角是直角的菱形是正方形.
(3)对角线相等的菱形是正方形.
(4)有一组邻边相等的矩形是正方形.
(5)对角线垂直的矩形是正方形.
(二)典例剖析
例1:
如图,在矩形ABCD中,对角线AC的中点为O,点G,H在对角线AC上,AG=CH,直线GH绕点O逆时针旋转α角,与边AB、CD分别相交于点E、F(点E不与点A、B重合).
(1)求证:
四边形EHFG是平行四边形;
(2)若∠α=90°,AB=9,AD=3,求AE的长.
分析:
(1)由“ASA”可证△COF≌△AOE,可得EO=FO,且GO=HO,可证四边形EHFG是平行四边形;
(2)连接CE,由题意可得,EF垂直平分AC,则AE=CE,由勾股定理列方程,可求AE的长.
解答:
例2:
如图,点P是矩形ABCD的边AD上的一动点,矩形的两条边AB、BC的长分别是6和8,则点P到矩形的两条对角线PE与PF的距离之和为________.
分析:
首先连接OP,由矩形的两条边AB、BC的长分别为6和8,可求得OA=OD=5,及△AOD的面积,然后由等积法,可求得高之和.
解答:
例3:
矩形ABCD与CEFG如图放置,点B,C,E共线,点C,D,G共线,连接AF,取AF的中点H,连接GH.若BC=EF=2,CD=CE=1,则GH=_________.
分析:
看到中点,你能想到什么?
中线?
中位线?
显然,这里不能直接求GH的长,但我们看到中点,可以采用“倍长中线”的方法,构造全等啊.有同学说,这里没有三角形啊,那连接了AG,GH不就是△AGF的中线了嘛.这样,可以求出GH长的两倍,再除以2即可.
当然,本题也可直接上解析法,以点B为原点,表示出各点的坐标,求出点G,点H的坐标,用距离公式解决.
解答:
例4:
如图,平行四边形ABCD中,以AC为斜边作Rt△ACE,且∠BED=90°,试说明:
四边形ABCD是矩形.
分析:
本题中,∠AEC和∠BED都为90°,则含有两个直角三角形,由于O为AC,BD中点,AC,BD为斜边,想到直角三角形斜边中线等于斜边的一半,则连接OE,从而可推出AC=BD,问题得证.
解答:
例5:
如图,点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上一个动点,点M、N分别是AB、BC边上的中点,则MP+NP的最小值是______.
分析:
先作点M关于AC的对称点M′,连接M′N交AC于P,此时MP+NP有最小值.然后证明四边形ABNM′为平行四边形,即可求出MP+NP=M′N=AB=1.
解答:
例6:
如图,在△ABC中,∠ABC=90°,BD为AC的中线,过点C作CE⊥BD于点E,过A作BD的平行线,交CE的延长线与点F,在AF的延长线上截取FG=BD,连接BG,DF.若AF=8,CF=6,则四边形BDFG的周长为多少?
分析:
首先可判断四边形BGFD是平行四边形,再由直角三角形斜边中线等于斜边一半,可得BD=FD,则可判断四边形BGFD是菱形,求出BD的长,菱形的周长即可求.
解答:
例7:
如图,矩形ABCD中,AB=4,BC=2,点E、F分别在AB、CD上,且BE=DF=1.5.
(1)求证:
四边形AECF是菱形;
(2)求线段EF的长.
分析:
(1)根据菱形的性质得到CD=AB=4,AD=BD=2,CD∥AB,∠D=∠B=90°,求得CF=AE=4-1.5=2.5,根据勾股定理求得AF=CE=2.5,结论得证;
(2)过F作FH⊥AB于H,得到四边形AHFD是矩形,根据矩形的性质得到AH=DF=1.5,FH=AD=2,根据勾股定理即可得到结论.
解答:
例8:
如图,△ABC中,AB=AC=1,∠BAC=45°,△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的,连接BE、CF相交于点D.
(1)求证:
BE=CF;
(2)当四边形ACDE为菱形时,求BD的长.
分析:
(1)先由旋转的性质得AE=AB,AF=AC,∠EAF=∠BAC,则∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF,即∠EAB=∠FAC,利用AB=AC可得AE=AF,可证△AEB≌△AFC,结论得证.
(2)由菱形的性质得到DE=AE=AC=AB=1,AC∥DE,根据等腰三角形的性质得∠AEB=∠ABE,根据平行线得性质得∠ABE=∠BAC=45°,所以∠AEB=∠ABE=45°,于是可判断△ABE为等腰直角三角形,于是利用BD=BE-DE=BE-AC求解.
解答:
例9:
如图,已知正方形ABCD的边长为5,点E,F分别在AD,DC上,AE=DF=2,BE与AF相交于点G,点H为BF的中点,连接GH,则GH的长为____.
分析:
根据正方形的四条边都相等可得,AB=AD,每一个角都是直角,可得∠BAE=∠D=90°,然后利用“边角边”证明△ABE≌△DAF,得∠ABE=∠DAF,进一步得∠AGE=∠BGF=90°,从而知GH为BF的一半,利用勾股定理求出BF的长,即可得出GH长.
解答:
例10:
如图,P为正方形ABCD的对角线BD上任一点,过点P作PE⊥BC于点E,PF⊥CD于点F,连接EF.求证:
AP=EF.
分析:
首先连接AC,PC,由四边形ABCD是正方形,可得BD垂直平分AC,即可证得AP=PC,又由PE⊥BC,PF⊥CD,证得四边形PECF是矩形,可判定EF=PC,继而证得结论.
解答:
例10:
如图,分别以△ABC的三边为边,在BC的同侧作三个等边三角形:
△ABD,△BCE,△ACF.
探索AF、DE关系,并说明理由.
分析:
显然,探究两条边的关系,要从数量关系和位置关系入手,AF=AC,则考虑证明DE=AC,不难发现△ABC和△DBE全等,同理,可证△FEC和△ABC全等,从而AB=EF=AD,即可证明四边形ADEF为平行四边形,问题也迎刃而解.
解答:
【课时精讲】《平行四边形、矩形》概念剖析与经典反例
一、判断命题的对错
例1:
下列图形是平行四边形吗?
是,请证明;不是,请画图举反例.
(1)一组对边平行且另一组对边相等的四边形
(2)两组对角分别相等的四边形
(3)有两对邻角互补的四边形
(4)一组对边平行且一组对角相等的四边形
(5)一组对边平行,一组邻角互补的四边形
(6)两条边相等,并且另外的两条边也相等的四边形
(7)对角线相等的四边形
(8)一条对角线平分另一条对角线的四边形
(9)一组对边相等,且一条对角线平分另一条对角线的四边形
(10)一组对边相等,一组对角(锐角)相等的四边形
分析:
平行四边形的判定方法,课本中介绍了四种,分别是:
①两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
③两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
④对角线互相平分的四边形是平行四边形.
我们在证明一个图形是平行四边形,只能先根据题目的条件,将其转化为用以上四种中的一种进行证明.而有些命题,我们如何来判定其是假命题呢?
其实很简单,我们都知道平行四边形是中心对称图形,那么其中一条对角线将其分成的两个三角形,必然是全等的,而且关于对角线的交点成中心对称.而在有些命题中,按条件画出四边形后,作出一条对角线分得的两个三角形,却不全等,而且,十有八九是SSA型,我们下面逐个作图解析.
解答:
(1)假命题
反例:
如图,AD∥BC,AB=CD,四边形ABCD不是平行四边形.
反例画法:
先画平行四边形ABCD’,以C为圆心,CD’为半径画弧,交AD’于点D,则四边形ABCD是等腰梯形.
解答:
(2)真命题
原因:
∵∠A=∠C,∠B=∠D,∠A+∠C+∠B+∠D=360°,则2∠A+2∠B=360°,
∠A+∠B=180°,AD∥BC,同理∠A+∠D=180°,AB∥DC,四边形ABCD是平行四边形.
解答:
(3)假命题
反例:
如图,∠A+∠B=180°,∠C+∠D=180°,四边形ABCD不是平行四边形.
原因:
两个条件都只能推得AD∥BC.
反例画法:
任意梯形即可.
解答:
(4)真命题
原因:
∵∠A=∠C,AD∥BC,∴∠A+∠B=180°,∴∠C+∠B=180°,
AB∥DC,四边形ABCD是平行四边形.
解答:
(5)假命题
反例:
如图,AD∥BC,∠A+∠B=180°,四边形ABCD不是平行四边形.
原因:
∠A+∠B=180°与AD∥BC是重复条件.
反例画法:
任意梯形即可.
解答:
(6)假命题
反例:
如图,AB=AD,BC=DC,四边形ABCD不是平行四边形.
原因:
虽然连接AC后,可以证明△ABC≌△ADC,但不是成中心对称,而是成轴对称.
反例画法:
尺规作图,过直线外一点作已知直线的垂线,连接四个点,构造筝形.
解答:
(7)假命题
反例:
如图,AC=DB,四边形ABCD不是平行四边形.
原因:
无全等可以证明.反例画法:
任意画两条相交且相等长度的线段,顺次连接两条线段的四个端点.
解答:
(8)假命题
反例:
如图,AC平分DB,四边形ABCD不是平行四边形.
原因:
无全等可以证明.反例画法:
画一条线段,取中点,过中点画中点两侧不等长的线段,顺次连接两条线段的四个端点.
解答:
(9)经典假命题(详见2013年无锡中考24题)
反例:
如图,AD=BC,AO=CO,四边形ABCD不是平行四边形.
原因:
△AOD和△COB中,AD=BC,AO=CO,∠AOD=∠COB,两个三角形又是SSA,无法证明全等.
反例画法:
与
(1)类似,先画平行四边形AB’CD,以C为圆心,CB’为半径画弧,交DB’于点B,四边形ABCD符合条件,但不是平行四边形.
解答:
(10)经典假命题
反例:
如图,AB=CD,∠B=∠D,四边形ABCD不是平行四边形.
原因:
连接AC,△ABC和△CDA中,AB=CD,AC=CA,∠B=∠D,又是SSA,不能构造全等.
反例画法:
可以先了解左侧两种,以后学了圆会加深理解.重点掌握右上,构造等腰△ABD’,在底边BD’上任取非中点C,连接AC,将△ACD’沿着AC中垂线翻折到△ACD,则四边形ABCD符合条件,不是平行四边形.右下,先构造平行四边形ABC’D’,将△AC’D’绕点A旋转,使C’再次落在BC’上,即为C,则D’旋转后的位置即为D,四边形ABCD符合条件,但不是平行四边形.
例2:
下列图形是矩形吗?
是,请证明;不是,请画图举反例.
(1)有两个角是直角的四边形
(2)对角线相等且有一个角是直角的四边形
(3)对角线相等且互相垂直的四边形
(4)一组邻角相等的平行四边形
(5)一条对角线是一条边长2倍的平行四边形
分析:
矩形的判定,有两大类思路,第一类:
间接证明,即先证明平行四边形,再证矩形;第二类直接证明,即证明四边形是矩形.
课本中介绍了3种,分别是:
①有一个角是直角的平行四边形是矩形.
②对角线相等的平行四边形是矩形.
③有三个角是直角的四边形是矩形.
前两种是间接证明,第三种是直接证明.这道题,只画反例,或说出反例图形的名称,相信大家都能理解.
解答:
(1)假命题
反例:
直角梯形
(2)假命题
反例:
画法:
构造Rt△ABC,∠ABC=90°,以B为圆心,AC长为半径画弧,在弧上选一点D,连接AD,CD,四边形ABCD符合对角线相等且有一个角是直角,不是矩形.
(3)假命题
反例:
画法:
任意画两条互相垂直且相等的相交线段AC,BD,顺次连接四个顶点,四边形ABCD符合条件,但不是矩形.
(4)真命题
原因:
∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,∠A+∠B=180°,
又∵∠A=∠B,∴∠A=90°,平行四边形ABCD是矩形.
(5)假命题
反例:
画法:
CD=1,BD=2,且∠BDC≠60°即符合要求.
平行四边形存在性思考题:
(2016·无锡)如图,已知平行四边形OABC的顶点A、C分别在直线x=1和x=4上,O是坐标原点,则对角线OB长的最小值为_________.
【专题突破】八下斜边中线、中位线重难点整理
一、想不到的斜边中线
例1:
如图,DE为△ABC的中位线,点F在DE上,且∠AFB=90°,若AB=6,BC=8,则EF的长为________.
分析:
根据DE是中位线,可知DE长是第三边BC长的一半,点D是AB的中点.由∠AFB=90°,则Rt△ABF中,可知DF作为斜边中线,长度等于斜边AB长的一半,将DE的长减去DF的长,即可得到EF的长.
解答:
例2:
如图,在△ABC中,点D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,AH是边BC上的高.
(1)求证:
四边形ADEF是平行四边形;
(2)求证:
∠DHF=∠DEF.
分析:
(1)根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半,可得DE∥AC,EF∥AB,两组对边分别平行
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