整理平面向量基本概念与运算法则含基础练习题.docx
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整理平面向量基本概念与运算法则含基础练习题
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平面向量11.数量和向量的区别:
数量只有大小,是一个代数量,可以进行代数运算、比较大小;向量有方向、大小,不
能比较大小。
2.向量的表示方法:
①用有向线段表示;②用字母a,b等表示;③用有向线段的起点与终点字母表示:
AB;向量AB
的大小——长度称为向量的模,记作|AB|。
3.有向线段:
具有方向的线段叫做有向线段,三要素:
起点、方向、长度。
向量与有向线段的区别:
⑴向量只有大小和方向两个要素,与起点无关,只要大小和方向相同,这两个向量就是相
同的向量;
⑵有向线段有起点、大小和方向三个要素,起点不同,尽管大小和方向,也是不同的有向
线段。
4.零向量、单位向量概念:
①长度为0的向量叫零向量,记作0。
②长度为1个单位长度的向量,叫做单位向量。
说明:
零向量、单位向量的定义都只是限制了大小。
5.相等向量的定义:
长度相等且方向相同的向量叫相等向量。
说明:
⑴向量a与b相等,记作a=b;
⑵零向量与零向量相等;
⑶任意两个相等的非零向量,都可用同一条有向线段表示,并且与有向线段的起点无
关。
6.平行向量的定义:
①方向相同或相反的非零向量叫平行向量;
②我们规定0与任一向量平行。
说明:
⑴综合①②才是平行向量的完整定义;
⑵向量a、b、c平行,记作a//b//c。
二、向量的运算法则
三角形法则四边形法则
1.向量的加法
某人从A到B,再从B到C,则两次的位移和:
ABBCAC;
⑴向量的加法:
求两个向量和的运算,叫做向量的加法。
⑵三角形法则:
abABBCAC
⑶四边形法则:
abOAOBOAACOC
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练习:
化简
(1)(ABBC)CD
(2)(ABMB)BOOM(3)OAOCBOCO
7.向量的减法
⑴相反向量:
与a长度相等,方向相反的向量,叫做a的相反向量,记作a。
①(a)a;
②任一向量与其相反向量的和是零向量,即:
a(a)(a)a0;
③如果a,b是互为相反的向量,则:
ab,ba,ab0。
⑵向量的减法:
向量a加上b的相反向量,叫做a和b的差。
即aba(b)
向量减法法则:
两向量起点相同,则差向量就是连结两向量终点,指向被减向量终点的向
量。
注意:
①起点相同;②指向被减向量的终点。
练习:
(1)ABAC
(2)ODOA(3)OAODAD(4)ABADDC
例1.平行四边形ABCD中,ADa,ABb,用a、b表示向量AC,DB。
例2.已知一点O到平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的向量分别为a、b、c,试用向
量a、b、c表示OD。
8.向量的数乘运算
实数与向量a的积是一个向量,记作a,它的长度和方向规定如下:
⑴|a||||a|;
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⑵当>0时,a的方向与a的方向相同;当<0时,a的方向与a的方向相反;特别的,
当=0或a=0时,a=0。
注意:
实数与向量a,可以做积,但不可以做加减法,即+a,-a是无意义的。
实数与向量的积的运算律:
设a、b为任意向量,,为任意实数,则有:
①(a)()a;
②()aaa
③(ab)ab
例1.计算
(1).(3)4a;
(2).3(ab)2(ab)a;(3).2(a3bc)(3a2bc)
例2.计算
(1).3(ab)2(a2b);
(2).2(2a6b3c)3(3a4b2c)
结论:
向量b与非零向量a共线,当且仅当有唯一一个实数,是的b=a。
例3.向量
ae1e,b2e2e是否共线?
212
例4.平行四边形ABCD的两条对角线相交于点M,且ABa,ADb,你能用a,b表示
MA,MB,MC,MD吗?
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二、向量运算法则的应用
向量的加法、减法、数乘运算统称为响亮的线性运算,对任意实数
、1、,恒有
2
(1b)a。
ab
212
9.有关向量共线问题
a3bab1
例1.已知向量a、b满足(32)
ab
525
,求证:
向量a和b共线。
例2.已知AD3AB,DE3BC,试判断AC与AE是否共线?
定理的应用:
(1).有关向量共线问题;
(2).证明三点共线:
ABBC(BC0)A、B、C三点共线;
(3).证明两直线平行问题。
例3.已知任意两个非零向量a、b,试作OAab,OBa2b,OCa3b,你能判断
A、B、C三点间的位置关系吗?
为什么?
例4.在四边形ABCD中,ABa2b,BC4ab,CD5a3b,求证:
四边形ABCD为
梯形。
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高中数学必修4同步练习
二.填空题(每题5分)
(2.1-2.2平面向量的概念及线性运算)
11.把平面上一切单位向量归结到共同的始点,那么这
些向量的终点所构成的图形是______
姓名______班级______学号______
一.选择题(每题5分)
2.设b是a的相反向量,则下列说法错误的是()
A.a与b的长度必相等B.ab
C.abD.ab与一定不相等是的相反向量
12.ABCD的两条对角线相交于点M,且
ABa,ADb,则MA______,
MB______,MC______,MD______.
2.已知一点O到平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C
13.已知向量a和b不共线,实数x,y满足
的向量分别为a、b、c,则向量OD等于()
(2xy)a4b5a(x2y)b,则xy______A.abcB.abcC.ab-cD.a-b-c
3.(如图)在平行四边形ABCD中,下列正确的是().
4.14.化简:
①ABBCCD______;
A.ABCDB.ABADBD
②ABADDC______;
C.ADABACD.ADBC0
③(ABCD)(ACBD)______
A
DC
B
15.化简下列各式:
(1)ABDFCDBCFA______;
(2)(ABMB)(BOBC)OM______.
16.在ABCD中,ABa,ADb,则
AC______,DB______.
4.OAOCBOCO等于()
A.ABB.BAC.ACD.CA
17.在四边形ABCD中有ACABAD,则它的形状一
定是______
5.化简OPQPPSSP的结果等于()
A、QPB、OQC、SPD、SQ
6.(如图)在正六边形ABCDEF中,点O为其中心,则下列
判断错误的是()
18.已知四边形ABCD中,AB1DC
2
则四边形ABCD的形状是______.
且ADBC
AABOCBAB∥DE
CADBEDADFC
19.化简:
(ACDPBA)(CPBD)______.
7.下列等式中,正确的个数是()
20.在△ABC中,设BCa,CAb,则AB=______①abba②a-bb-a③0aa
④⑤(a)aa(a)0
三解答题每题分.(10)
21.10m,,某人从点出发向西走了到达点然后改变AB
A.5B.4C.3D.2
60C
方向按西偏北走了到达点最后又向东走了15m,
8.在△ABC中,ABa,ACb,如果|a||b|,
10D米到达点.
那么△ABC一定是().
ABBCCD
(1),,(1cm10m);作出向量用长线段代表长
A.等腰三角形B.等边三角形
C.直角三角形D.钝角三角形
(2)求DA
9.在ABC中,BCa,CAb,则AB等于()
A.abB.(ab)C.abD.ba
10.已知a、b是不共线的向量,ABab,
ACab(、R),当且仅当()时,
A、B、C三点共线.
A1B1C1D1
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10.如图,在梯形ABCD中,对角线AC和BD交于点
11.O,E、F分别是AC和BD的中点,分别写出
24.在ABC所在平面上有一点P,
(1)图中与EF、CO共线的向量;
使得PAPBPCAB,试判断P点的位置.
(2)与EA相等的向量.
12.在直角坐标系中,画出下列向量:
(1)a2,a的方向与x轴正方向的夹角为60,与y
3.如图所示,在平行四边形ABCD中,点M是AB边
轴正方向的夹角为30;
(2)a4,a的方向与x轴正方向的夹角为30,与y
轴正方向的夹角为120
;
1
中点,点N在BD上且BNBD
3
三点共线.
求证:
M、N、C
(3),135a42ax的方向与轴正方向的夹角为,
与y轴正方向的夹角为135.
D
C
N
AB
M
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参考答案
一.选择题(每题5分)
13.C
14.B
15.C
16.B
17.B
18.D
19.C
20.A
21.B
22.D
二.填空题(每题5分)
23.圆
24.
111
(ab),(ab),(ab)
222
1
2
(ba)
25.1
26.①AD;②CB;③0
27.
(1)0
(2)AC
28.ab,a-b
29.平行四边形
30.等腰梯形
31.0
32.ab
三.解答题(每题10分)
33.【解答】
(1)如图,
4.【解答】
PAPBPCAB
PAPAABPCAB,故2PAPC
(2)∵ABCD,A、P、C三点共线,
故四边形ABCD为平行四边形,且P是线段AC的三分点中靠近A的那一个
∴BCDA15(m)
5.【解答】提示:
可以证明MC3MN
D
13.【解答】与EF共线的向量有AB、CD;
14.C
与CO共线的向量有CE,CA,OE,OA,EA;
与EA相等的向量是CE
N
AB
M23.【解答】
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