二次函数和相似三角形的综合应用.docx
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二次函数和相似三角形的综合应用.docx
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二次函数和相似三角形的综合应用
二次函数和相似三角形的综合应用
1
1、如图,已知抛物线y=(x+2)(x﹣m)(m>0)与x轴订交于点B、C,与y轴订交
m
于点E,且点B在点C的左侧。
(1)若抛物线过点M(2,2),求实数m的值;
(2)在
(1)的条件下,求△BCE的面积;
(3)在第四象限内,抛物线上可否存在点F,使得以点B、C、F为极点的三角形与△BCE
相似?
若存在,求m的值;若不存在,请说明原由。
2、如图,已知抛物线
y
k(x2)(x4)(k为常数,且k
0)与x轴从左至右依次交
8
于A,B两点,与y轴交于点C,经过点B的直线y
3x
b与抛物线的另一交点为D。
3
(1)若点D的横坐标为-5,求抛物线的函数表达式;
(2)若在第一象限的抛物线上有点P,使得以A,B,P为极点的三角形与△ABC相似,求k
的值;
(3)在
(1)的条件下,设F为线段BD上一点(不含端点),连接AF,一动点M从点A出发,沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F,再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止。
当点F的坐标是多少时,点M在整个运动过程中用时最少?
3、如图,在直角坐标系中有素来角三角形AOB,O为坐标原点,OA=1,tan∠BAO=3,将此
三角形绕原点
O逆时针旋转
90°,获取△
DOC。
抛物线
y
ax2
bx
c经过点
A、B、C。
(1)求抛物线的剖析式;
(2)若点P是第二象限内抛物线上的动点,其横坐标为
t。
①设抛物线对称轴l与x轴交于一点E,连接PE,交CD于F,求出当△CEF与△COD相似时点P的坐标;
②可否存在一点P,使△PCD的面积最大?
若存在,求出△PCD面积的最大值;若不存在,请说明原由。
4、在平面直角坐标系中,抛物线
yax2
bx3与x轴的两个交点分别为
A(-3,0)、B
(1,0),过极点C作CH⊥x轴于点H。
(1)直接填写:
a=
,b=
,极点C的坐标为
;
(2)在y轴上可否存在点D,使得△ACD是以AC为斜边的直角三角形?
若存在,求出点D
的坐标;若不存在,说明原由;
(3)若点P为x轴上方的抛物线上一动点(点P与极点C不重合),PQ⊥AC于点Q,当△PCQ与△ACH相似时,求点P的坐标。
5、已知抛物线C1:
y=a(x+1)2﹣2的极点为A,且经过点B(﹣2,﹣1)。
(1)求A点的坐标和抛物线C1的剖析式;
(2)如图1,将抛物线C1向下平移2个单位后获取抛物线C2,且抛物线C2与直线AB订交
于C,D两点,求S△OAC:
S△OAD的值;
(3)如图2,若过P(﹣4,0),Q(0,2)的直线为l,点E在
(2)中抛物线C2对称轴右侧部分(含极点)运动,直线m过点C和点E。
问:
可否存在直线m,使直线l,m与x轴围
成的三角形和直线l,m与y轴围成的三角形相似?
若存在,求出直线m的剖析式;若不存
在,说明原由。
6、如图,已知:
如图,直线
y=-x++
与
分别从A、B两点同时出发向
O点运动(运动到
线y=a(x-k)2+h(a<0)向来经过点
E,过
x轴、y轴分别交于A、B两点,两动点D、EO点停止);对称轴过点A且极点为M的抛物E作EG∥OA交抛物线于点G,交AB于点F,
连接DE、DF、AG、BG。
设D、E的运动速度分别是1个单位长度/秒和3个单位长度/秒,
运动时间为t秒。
(1)用含t代数式分别表示BF、EF、AF的长;
(2)当t为何值时,四边形ADEF是菱形?
判断此时△AFG与△AGB可否相似,并说明原由;
(3)当△ADF是直角三角形,且抛物线的极点M恰幸好BG上时,求抛物线的剖析式。
备用图
7、如图,二次函数yax2
bx(a0)
的图象经过点(
1,4),对称轴是直线x
3
,线
平行于x轴,交抛物线于点
2
段
AD
。
在
y
轴上取一点
(
,),直线
AC
交抛物线于点
,
D
C0
2
B
连接OA,OB,OD,BD。
(1)求该二次函数的剖析式;
(2)若点P为抛物线上的一个动点(不与点
O重合),且SDBO
SDBP,求点P的坐标;
(3)在坐标平面内可否存在点E使△EOD∽△AOB?
若存在,求出点E的坐标,若不存在,
.....
请说明原由。
8、如图
1,矩形
ABCD的边
AD在
y轴上,抛物线
y=x2-4x+3
经过点
A、点
B,与
x轴交于点
E、点
F,且其极点
M在
CD上。
(1)请直接写出以下各点的坐标:
A
,B
,C
,D
;
(2)若点P是抛物线上一动点(点P不与点A、点B重合),过点P作y轴的平行线l与直线AB交于点G,与直线BD交于点H,如图2。
①当线段PH=2GH时,求点P的坐标;
②当点P在直线BD下方时,点K在直线BD上,且满足△KPH∽△AEF,求△KPH面积的最大值。
9、如图,直线y=2x+2与x轴交于点A,与y轴交于点B,把△AOB沿y轴翻折,点A落到
点C,过点B的抛物线y=﹣x2+bx+c与直线BC交于点D(3,﹣4)。
(1)求直线BD和抛物线的剖析式;
(2)在第一象限内的抛物线上,可否存在一疑点M,作MN垂直于x轴,垂足为点N,使得
以M、O、N为极点的三角形与△BOC相似?
若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明原由;
(3)在直线BD上方的抛物线上有一动点P,过点P作PH垂直于x轴,交直线BD于点H,当四边形BOHP是平行四边形时,试求动点P的坐标。
10、如图,抛物线y=ax2﹣2ax+c(a≠0)交x轴于A、B两点,A点坐标为(3,0),与y轴交于点C(0,4),以OC、OA为边作矩形OADC交抛物线于点G。
(1)求抛物线的剖析式;
(2)若点P为抛物线上一个动点,且在CD上方,过点P的直线x=m与线段CD、AC、x
轴分别交于点F、M、E,连接PC,则可否存点P,使得以P、C、F为极点的三角形和△AEM相似?
若存在,求出此时m的值;若不存在,请说明原由。
(3)在
(2)的条件下判断△PCM的形状,并说明原由。
11、平面直角坐标系中,四边形
ABCD是菱形,点
C的坐标为(﹣3,4),点A在x轴的
正半轴上,O为坐标原点,连接
OB,抛物线y=ax2
+bx+c经过C、O、A三点.
(1)直接写出这条抛物线的剖析式;
(2)如图1,对于所求抛物线对称轴上的一点
E,设△EBO的面积为S1,菱形ABCD的面
积为S,当S≤1
S2
时,求点E的纵坐标n的取值范围;
2
1
4
(3)如图2,已知D(0,﹣5)为y轴上一点,连接AD,动点P从点O出发,以
5个
2
5
单位/秒的速度沿OB方向运动,1秒后,动点Q从O出发,以2个单位/秒的速度沿折线
O﹣A﹣B方向运动,设点P运动时间为t秒(0<t<6),可否存在实数t,使得以P、Q、B
为极点的三角形与△ADO相似?
若存在,求出相应的t值;若不存在,请说明原由。
12、如图1,已知菱形ABCD的边长为23,点A在x轴负半轴上,点B在坐标原点。
点
D的坐标为(3,3),抛物线y=ax2+b(a≠0)经过AB、CD两边的中点。
(1)求这条抛物线的函数剖析式;
(2)将菱形ABCD以每秒1个单位长度的速度沿x轴正方向匀速平移(如图2),过点B作
直线BE⊥CD于点E,交抛物线于点F,连接DF、AF。
设菱形ABCD平移的时间为t秒(0<
t<3)
①可否存在这样的t,使△ADF的周长最小?
若存在,求出②若△ADF与△DEF相似,求出t的值。
t的值;若不存,请说明原由。
2
C的坐标为(0,﹣2),交x轴于A、B两点,
13、如图,二次函数y=ax+bx+c的图象的极点
其中A(﹣1,0),直线l:
x=m(m>1)与x轴交于D。
(1)求二次函数的剖析式和
B的坐标;
(2)在直线l上找点P(P在第一象限),使得以P、D、B为极点的三角形与以B、C、O
为极点的三角形相似,求点P的坐标(用含m的代数式表示);
(3)在
(2)成立的条件下,在抛物线上可否存在第一象限内的点Q,使△BPQ是以P为直
角极点的等腰直角三角形?
若是存在,央求出点Q的坐标;若是不存在,请说明原由。
14、已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过点
A(1,0),B(2,0),C(0,-2),
直线x=m(m>2)与x轴交于点D。
(1)求二次函数的剖析式;
(2)在直线x=m(m>2)上有一点E(点E在第四象限),使得E、D、B为极点的三角形
与以A、O、C为极点的三角形相似,求点E的坐标(用含m的式子表示);
(3)在
(2)成立的条件下,抛物线上可否存在一点F,使得四边形ABEF为平行四边形?
若存在,央求出m的值及四边形ABEF的面积;若不存在,请说明原由。
15、如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过A(-1,0),B(4,0),C(0,2)三点。
(1)求这条抛物线的剖析式;
(2)E为抛物线上一动点,可否存在点E使以A、B、E为极点的三角形与△COB相似?
若存在,试求出点E的坐标;若不存在,请说明原由;
(3)若将直线BC平移,使其经过点A,且与抛物线订交于点D,连接BD,试求出∠BDA的度数。
16、如图,平面直角坐标系xOy中,点A的坐标为(-2,2),点B的坐标为(6,6),抛物线经过A、O、B三点,连接OA、OB、AB,线段AB交y轴于点E。
(1)求抛物线的函数剖析式;
(2)点F为线段OB上的一个动点(不与点O、B重合),直线EF与抛物线交于M、N两点(点N在y轴右侧),连接ON、BN,当点F在线段OB上运动时,求△BON面积的最大值,并求出此时点N的坐标;
(3)连接AN,当△BON面积最大时,在坐标平面内求使得△BOP与△OAN相似(点B、O、P
分别与点O、A、N对应)的点P的坐标。
17、已知:
如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A(﹣1,0),B(2,0),交y轴
于C(0,﹣2),过A,C画直线。
(1)求二次函数的剖析式;
(2)点P在x轴正半轴上,且PA=PC,求OP的长;
(3)点M在二次函数图象上,以M为圆心的圆与直线AC相切,切点为H。
①若M在y轴右侧,且△CHM∽△AOC(点C与点A对应),求点M的坐标;
②若⊙M的半径为45,求点M的坐标。
5
2
18、如图,抛物线y=ax+b与x轴交于点A、B,且A点的坐标为(1,0),与y轴交于点
C(0,1)。
(1)求抛物线的剖析式,并求出点B坐标;
(2)如图1,过点B作BD∥CA交抛物线于点D,连接BC、CA、AD,求四边形ABCD
的周长;(结果保留根号)
(3)如图2,在x轴上方的抛物线上可否存在点P,过点P作PE垂直于x轴,垂足为点E,
使以B、P、E为极点的三角形与△CBD相似?
若存在央求出P点的坐标;若不存在,请说
明原由。
19、如图,已知抛物线
y=
1
x2
1
b
1x
b(b是实数且b>2)与x轴的正半轴分别交
4
4
4
于点A、B(点A位于点B的左侧),与
y轴的正半轴交于点C。
(1)点B的坐标为
,点C的坐标为
(
用含b的代数式表示);
(2)请你研究在第一象限内可否存在点P,使得四边形PCOB的面积等于2b,且△PBC是以点
P为直角极点的等腰直角三角形?
若是存在,求出点P的坐标;若是不存在,请说明原由;
(3)请你进一步研究在第一象限内可否存在点Q,使得△QCO、△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似(全等可看作相似的特别情况)若是存在,求出点Q的坐标;若是不存在,请说明原由。
20、已知:
如图一,抛物线
y
ax
2
bx
c
与x轴正半轴交于
A、B两点,与
y轴交于点
C,直线
y
x2经过
A、C两点,且
AB=2。
(1)求抛物线的剖析式;
(2)若直线DE平行于x轴并从C点开始以每秒1个单位的速度沿y轴正方向平移,且分别
交y轴、线段BC于点E、D,同时动点P从点B出发,沿BO方向以每秒
2个单位速度运动,
(如图二);当点P运动到原点O时,直线DE与点P都停止运动,连
DP,若点P运动时间
ED
OP
为t秒;设s
,当t为何值时,s有最小值,并求出最小值。
ED
OP
(3)在
(2)的条件下,可否存在t的值,使以P、B、D为极点的三角形与△ABC相似;若存在,求t的值;若不存在,请说明原由。
21、如图,抛物线y=﹣(x﹣1)2+c与x轴交于A,B(A,B分别在y轴的左右两侧)两点,
与y轴的正半轴交于点C,极点为D,已知A(﹣1,0)。
(1)求点B,C的坐标;
(2)判断△CDB的形状并说明原由;
(3)将△COB沿x轴向右平移t个单位长度(0<t<3)获取△QPE。
△QPE与△CDB重叠部
分(如图中阴影部分)面积为S,求S与t的函数关系式,并写出自变量t的取值范围。
2
22、如图,已知抛物线y=ax+bx+c与x轴的一个交点为A(3,0),与y轴的交点为B(0,
3),其极点为C,对称轴为x=1。
(1)求抛物线的剖析式;
(2)已知点M为y轴上的一个动点,当△ABM为等腰三角形时,求点M的坐标;
(3)将△AOB沿x轴向右平移m个单位长度(0<m<3)获取另一个三角形,将所得的三角形与△ABC重叠部分的面积记为S,用m的代数式表示S。
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