有理数培优题有答案.docx
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有理数培优题有答案
有理数培优题
基础训练题
一、填空:
1在数轴上表示一2的点到原点的距离等于()。
2、若IaI=—a,则a()0.
3、任何有理数的绝对值都是()。
4、如果a+b=O,那么a、b一定是()。
5、将0.1毫米的厚度的纸对折20次,列式表示厚度是()。
6、已知|a|3,|b|2,|ab|ab,则ab()
7、|x21|x3|的最小值是()。
8在数轴上,点AB分别表示1」,贝U线段AB的中点所表示的数是()。
42
ab2010
9、若a,b互为相反数,m,n互为倒数,P的绝对值为3,贝Umnp2()。
P
10、若abcM0,则旦単也的值是().
abc
11、下列有规律排列的一列数:
1、3、2、5、3、…,其中从左到右第100个数是(八
4385
二、解答问题:
1、已知x+3=0,|y+5|+4的值是4,z对应的点到-2对应的点的距离是7,求x、y、z这三个数两两之积的和。
3、若2x|45x||13x|4的值恒为常数,求x满足的条件及此时常数的值
4、若a,b,c为整数,且|ab|2010|ca|20101,试求|ca||ab||bc|的值
+5-
丄+
9—
11+13
15,17
1
6
12
20
30
42
56
72
1
5、计算:
一—
2
6、应用拓展:
将七只杯子放在桌上,使三只口朝上,四只口朝下。
现要求每次翻转其中任意
四只,使它们杯口朝向相反,问能否经有限次翻转后,让所有杯子杯口朝下?
能力培训题
知识点一:
数轴
例1:
已知有理数a在数轴上原点的右方,有理数b在原点的左方,那么()
A.abbB.abbC.ab0D.ab0
拓广训练:
1如图a,b为数轴上的两点表示的有理数,在ab,b2a,ab,ba中,负数的个数有()("祖
冲之杯”邀请赛试题)
A.1B.2C.3D.4
3、把满足2a5中的整数a表示在数轴上,并用不等号连接。
2、利用数轴能直观地解释相反数;
例2:
如果数轴上点A到原点的距离为3,点B到原点的距离为5,那么A、B两点的距离为。
拓广训练:
1、在数轴上表示数a的点到原点的距离为3,则a3.
2、已知数轴上有AB两点,AB之间的距离为1,点A与原点0的距离为3,那么所有满足条件的点B与原点0的距离之和等于。
(北京市“迎春杯”竞赛题)
3、禾U用数轴比较有理数的大小;
例3:
已知a0,b0且ab0,那么有理数a,b,a,b的大小关系是。
(用“”
号连接)(北京市“迎春杯”竞赛题)
拓广训练:
1、若m0,n0且mn,比较m,n,mn,mn,nm的大小,并用“”号连接。
例4:
已知a5比较a与4的大小
拓广训练:
1、已知a3,试讨论a与3的大小
2、已知两数a,b,如果a比b大,试判断a与b的大小
4、利用数轴解决与绝对值相关的问题。
例5:
有理数a,b,c在数轴上的位置如图所示,式子ababbc化简结果为()
A.2a3bcB.3bcC.bcD.cb
-1aO
拓广训练:
1、有理数a,b,c在数轴上的位置如图所示,
则化简abb1ac1c的结果为
a0①bb0②a0a③b0b④a
3、已知有理数a,b,c在数轴上的对应的位置如下图:
则c1acab化简后的结果是()
(湖北省初中数学竞赛选拨赛试题)
-1cOab
A.b1b.2a
b
1C.
1
2ab2cD
.12cb
三、培优训练
1、已知是有理数,且
x
122y
1
2
0,
那以
x
y的值是(
)
13
1亠
3
3
A.B.
C
或
D
1或
22
2
2
2
B,再向右移动5个单位长度到达点C.若
BIFaI〔C・
01
2、(07乐山)如图,数轴上一动点A向左移动2个单位长度到达点点C表示的数为1,则点A表示的数为()
A.7B.3C.3D.2
1个单位,点A、B、CD对应的数分别是整数a,b,c,d
:
:
:
:
:
==—
ABCD
3、如图,数轴上标出若干个点,每相邻两点相距
且d2a10,那么数轴的原点应是()
A.A点B.B点C.C点D.D点
4、数a,b,c,d所对应的点A,B,C,D在数轴上的位置如图所示,那么ac与bd的大小关系是()
A.acbdB.acbdC
5、不相等的有理数a,b,c在数轴上对应点分别为
A.在A、C点右边B.在A、C点左边C
6、设y
A
D
0
C
B
—>
.a
c
b
d
D
.不确定的
A,B,
C,
若
a
b
bc
ac,那么点B(
)
.在A
c点之间
D
.以上均有可能
)(全国初中数学联赛题)
x1,则下面四个结论中正确的是(
A.y没有最小值
C.有限个x(不止一个)使
.只一个x使y取最小值
.有无穷多个x使y取最小值
y取最小值D
11
-和一,则线段AB的中点所表示的数是
35
8、若a0,b0,则使
x
a
xb
9、x是有理数,则x100
x
95
221
221
7、在数轴上,点AB分别表示
ab成立的x的取值范围是
的最小值是
且6a6b3c4d6,求3a2d3b2a2bc的值。
11、(南京市中考题)
(1)阅读下面材料:
点A、B在数轴上分别表示实数a,b,A、B两点这间的距离表示为AB,当AB两点中有一点在原点时,
O(A)
不妨设点A在原点,如图1,AB
OB
;当
B两点都不在原点时,
①如图
占
八、、
B都在原点的右边
AB
OB
OA
b
B
oab
BAO
②如图
占
八、、
B都在原点的左边
AB
OB
OA
③如图
占
八、、
B在原点的两边ABOA
OBab
综上,数轴上
B两点之间的距离AB
(2)回答下列问题:
1数轴上表示2和5两点之间的距离是,数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是,数轴
上表示1和-3的两点之间的距离是;
2数轴上表示x和-1的两点A和B之间的距离是,如果AB2,那么x为
3当代数式x1x2取最小值时,相应的x的取值范围是;
4求x1x2x3x1997的最小值。
聚焦绝对值
一、阅读与思考
绝对值是初中代数中的一个重要概念,引入绝对值概念之后,对有理数、相反数以及后续要学习的算术根可以有进一步的理解;绝对值又是初中代数中一个基本概念,在求代数式的值、代数式的化简、解方程与解不等式时,常常遇到含有绝对值符号的问题,理解、掌握绝对值概念应注意以下几个方面:
1、脱去绝值符号是解绝对值问题的切入点。
脱去绝对值符号常用到相关法则、分类讨论、数形结合等知识方法。
去绝对值符号法则:
aa0
a0a0
aa0
2、恰当地运用绝对值的几何意义
从数轴上看a表示数a的点到原点的距离;ab表示数a、数b的两点间的距离。
3、灵活运用绝对值的基本性质
②a2
③ab
二、知识点反馈
1去绝对值符号法则
例1:
已知a5,b
a那么a
拓广训练:
已知a1,b
2,c
3,且a
c,那么
。
(北京市“迎春杯”竞赛题)
2、
8,b
5,且ab0,那么a
b的值是(
2、
A.3或13
B.13或-13C.
恰当地运用绝对值的几何意义
X1的最小值是(
A.2B.0C.
.-1
3或-3
D.-3或-13
解法1、分类讨论
X1时,
2x2;
1X1时,
2x
比较可知,
1的最小值是
2,故选A。
解法2、由绝对值的几何意义知
X1表示数X所对应的点与数1所对应的点之间的距离;
X1表示数X
所对应的点与数-1所对应的点之间的距离;
X1的最小值是指X点到1与-1两点距离和的最小
值。
如图易知
当1X1时,
x1的值最小,
最小值是
>
X-1X1X
2故选Ao
拓广训练:
1、已知X3
X2的最小值是a,
2的最大值为b,求ab的值。
三、培优训练
1、如图,有理数
a,b在数轴上的位置如图所示:
-2a-10b1
则在a
b,b2a,ba,ab,a
2,b4中,
负数共有(
)(湖北省荆州市竞赛题)
A.3个B.1个C.4个D.2个
2、若m是有理数,则mm—定是()
A零B.非负数C.正数D.负数
3、如果x2x20,那么x的取值范围是()
A.x2B.x2C.
4、a,b是有理数,如果ab
b,那么对于结论
(1)a一定不是负数;
(2)b可能是负数,
其中()
(第15届江苏省竞赛题)
5、
6、
7、
A.只有(
已知
A.
已知
已知
1)正确B.只有(
a,则化简
a4,那么
2)正确C.
(1)
(2)都正确D.
(1)
(2)都不正确
所得的结果为(
2a3
D.32a
的最大值等于(
a,b,c都不等于零,且x
cabc
—,根据a,b,c的不同取值,
abc
X有(
A.唯一确定的值B.3种不同的值
.4种不同的值D.8种不同的值
9、
满足a
A.ab
10、右ab
b成立的条件是(
0b.ab1C.ab
5,则代数式
x52x
0,则一一
ab
兰的值等于
ab
)(湖北省黄冈市竞赛题)
D.ab1
—的值为
x
a
11、已知a,b,c是非零有理数,且abc0,abc0,求同
abc
abc
的值。
12、已知a,b,c,d是有理数,
ab9,cd16,且
25,求
c的值。
13、阅读下列材料并解决有关问题:
我们知道x
xx0
0x0,现在我们可以用这一个结论来化简含有绝对值的代数式,如化简代数式
xx0
x1x2时,可令x10和x2
0,分别求得x
1,x2(称1,2分别为x1与x2的
零点值)。
在有理数范围内,零点值x
1和x2可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下
3种情况:
(2)当1x2时,原式=x1
(3)当x2时,原式=x
22x
1。
2x1
综上讨论,原式
2x1
通过以上阅读,请你解决以下问题:
(1)分别求出x2和x
4的零点值;
(2)化简代数式x
14、
(1)当x取何值时,
x3有最小值?
这个最小值是多少?
(2)当x取何值时,5
这个最大值是多少?
(3)求x4
x5的最小值。
(4)求x
x2有最大值?
x9的最小值。
15、某公共汽车运营线路AB段上有AD、C、B四个汽车站,如图,现在要在AB段上修建一个加油站M,
为了使加油站选址合理,要求A,B,C,D四个汽车站到加油站M的路程总和最小,试分析加油站M在何
处选址最好?
ADC
16、先阅读下面的材料,然后解答问题:
在一条直线上有依次排列的nn1台机床在工作,我们要设置一个零件供应站
P,使这n台机床到供应
站P的距离总和最小,要解决这个问题,先“退”至吐匕较简单的情形:
A1A2(P)D
A1
A2
"乙
如图①,如果直线上有
2台机床(甲、乙)时
很明显P设在A1和A2之间的任何地方都行,因为甲和乙分
别到P的距离之和等于
A1到A2的距离.
如图②,如果直线上有
3台机床(甲、乙、丙)时,不难判断,P设在中间一台机床A2处最合适,因为如果
P放在A2处,甲和丙分别到P的距离之和恰好为A1到A3的距离;而如果P放在别处,例如D处,那么甲
和丙分别到P的距离之和仍是A1到A的距离,可是乙还得走从A2到D近段距离,这是多出来的,因此P
放在A2处是最佳选择。
不难知道,如果直线上有4台机床,P应设在第2台与第3台之间的任何地方;有5台机床,P应设在第3台位置。
问题
(1):
有n机床时,P应设在何处?
问题
(2)根据问题
(1)的结论,求x1x2x3x617的最小值。
有理数的运算
、阅读与思考
在小学里我们已学会根据四则运算法则对整数和分数进行计算,当引进负数概念后,数集扩大到了有理数范围,我们又学习了有理数的计算,有理数的计算与算术数的计算有很大的不同:
首先,有理数计算每一步要确定符号;其次,代数与算术不同的是“字母代数”,所以有理数的计算很多是字母运算,也就
是通常说的符号演算。
数学竞赛中的计算通常与推理相结合,这不但要求我们能正确地算出结果,而且要善于观察问题的结构特点,将推理与计算相结合,灵活选用算法和技巧,提高计算的速成度,有理数的计算常用的技巧与方法有:
1利用运算律;2、以符代数;3、裂项相消;4、分解相约;5、巧用公式等。
、知识点反馈
1利用运算律:
加法运算律
加法交换律abba
加法结合律abcab
乘法运算律
c
乘法交换律abba
乘法结合律abcabc
乘法分配律abcabac
例1:
计算:
23
2
2
4-
2.75
7
—
5
3
3
解:
原式=4.64
2
2.75
72
4.6
2.753
3
3
拓广训练:
1计算
(1)
0.60.08
2
27
0.92
2?
5
11
11
例2:
计算:
9
24
50
25
解:
原式=
10
1
50
10
50—
-50
25
25
拓广训练:
1、计算:
2
1
11
1
3
4
5
2
34
5
2、裂项相消
/、ab
1
1
1
1
1/、
(1)—
(2)
;(3)
ab
a
b
n
n1
nn
1
4.65.751.15
31
59
c1
c7
c1
9
(2)
3-
6—
9-
4
11
4
11
4
4
5002498
m
1
1
nnm
n
nm
2
1
(4)——
nn
1n
2
n
n1
例3、计算
1
1
1
12
2
3
34
解:
原式=
11
1
1
2
2
3
1
20092010
1
1
1
1
3
4
2009
2010
11
111
=
1
22
334
1
2009
=
1
2010
2010
拓广训练:
11
1
1、计算:
133557
11
20092010
1
20072009
7
1
37
12
17
38
例4:
计算:
17-
2711
13—
85
27
17
39
17
27
39
7
341
24
37
76
解:
分析:
17
16,27—
26
11—
10—
27
2717
仃
39
39
人A12
17
38小
7
1
37
34
24
76
令A=13-
8-
5,则17
27—
1116-
26
102A
17
27
39
27
17
39
27
17
39
原式=2A
A
2
拓广训练:
1
1
1
1
1
1
1
1
11
1
1、计算:
1
1
2
3
2006
2
3
2005
2
3
20062
3
4、分解相约
12
4248
n2n
2
4n
例5:
计算:
13
92618
n3n
9n
3、以符代数
2
2
1
2005
解:
原式=
n124
n139
=12412
13912
n
n
=124264
139729
三、培优训练
1、
a是最大的负整数,
b是绝对值最小的有理数,则
a2007
.2009
b
2008
2、
1
计算:
(1)—
35
1
1997
1999
4
(2)0.25
1
32
1898a299b2
1997ab
1
1
3
1
3
5
丄
3
97
4、计算:
一
2
4
4
6
6
6
98
98
98
3、若a与b互为相反数,则
的值(“希望杯”邀请赛试题)
13、计算
(1)5.70.000360.190.0065700
2
4314
(2)0.2583
313
14、已知m,n互为相反数,
a,b互为负倒数,
x的绝对值等于3,
求x31mnabx2
2001
mnx
.2003
ab的值
5、计算:
2222324252627
6、I"7,£!
I"8,聖这四个数由小到大的排列顺序是
199898199999
7、(
“五羊杯”
)计算:
3.1431.4628
0.686
68.66.86=(
)
A.
3140B
.628
C.1000
D.1200
1
234
14
15“
8、(
“希望杯”
)-
等于
()
2
468
28
30
1f
1
1
1
A.
B.
-C
D.
4
4
2
2
9、(
“五羊杯”
)计算:
564
2.53
2=(
)
2
9
81
4.54
人5f
10厂20
40
A.B
C.
D.
2
39
9
10、(2009
鄂州中考)为了求
1
22
2322008的值,可令S=12223
2008er
2,则2S=
22
23
24
22009,因此2S-S
=220091,所以122
2322008=220091仿照以上推理
计算出1
5253
52009的值是(
)
A、
520091
B520101
2009/
c、51D
2010
51
4
4
11
、a
>1,a2,a3,
a2004都是正数
如杲Ma〔a?
a2003a2a3a2004,
N
a1
a2
a2004a2a3
a2003,那么M,N的大小关系是()
A.
MN
B.MNC.
MND•不确定
12、设三个互不相等的有理数,既可表示为1,ab,a的形式,又可表示为0,-,b的形式,求a1999b2000
a
0.000000164(2009年第二十届“五羊杯”竞赛题)
41
6.5262(北京市“迎春杯”竞赛题)
32
1
a2006b2006
的值
1
15、已知ab2a20,求——
ab
(香港竞赛)
以下各层均比上一层多一个圆圈,一共堆了n层•将图1倒置后与原图1拼成图2的形状,这样我们可以
算出图
中所有圆圈的个数为123L
n(n1)n
2
00-00
图2
oo-oo
oo-oo
图3图4
1
n(nk)
1
n(n1)(n2)
111
1[R(T^]
1
(n1)(n1)
[例4】(第18届迎春杯)计算:
1111
L
2481024
【例5】计算:
1121
2(32)(
_234
444)(5555)
1
(60
6060
L
5859
如果图1中的圆圈共有12层,
(1)我们自上往下,在每个圆圈中都按图3的方式填上一串连续的正整数
1,2,3,4,L,则最底层最左边这个圆圈中的数是;
(2)我们自上往下,在每个圆圈中都按
图4的方式填上一串连续的整数23,22,21,L,求图4中所有圆圈中各数的绝对值之和.
【专题精讲】
【例1】计
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- 有理数 培优题有 答案