《圆锥曲线解题十招全归纳》.docx
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《圆锥曲线解题十招全归纳》
《圆锥曲线解题十招全归纳》
招式一:
弦的垂直平分线问题2
招式二:
动弦过定点的问题4
招式四:
共线向量问题6
招式五:
面积问题13
招式六:
弦或弦长为定值、最值问题16
招式七:
直线问题20
招式八:
轨迹问题24
招式九:
对称问题30
招式十、存在性问题33
招式一:
弦的垂直平分线问题
例题1、过点T(-1,0)作直线I与曲线N:
y=兴交于A、B两点,在x轴上是否存在一点E(Xo,O),使得.ABE是等边三角形,若存在,求出X。
;若不存在,请说明理由。
解:
依题意知,直线的斜率存在,且不等于0。
设直线丨:
y=k(x1),k尸0,A(x-|,y1),B(x2,y2)。
由y/k(X1)消y整理,得y=x
2222
kx(2k-1)xk=0
由直线和抛物线交于两点,得
2242
.:
=(2k-1)-4k=-4k10
21
即0:
:
:
k:
:
:
-
4
由韦达定理,得:
x1x2
2k2-1
k2,X1X^1。
则线段AB的中点为卜讦,云)。
线段的垂直平分线方程为:
2
11“1-2k2
y(x-
2kk
1111
2k2)令尸0,得3泰一2,则E(泰2°)
7:
ABE为正三角形」E(27-2'0)到直线AB的距离d为23
|ab。
AB=J(为—X2)2+(%—y2)
2k
•1k2
2k2
解得k^^』39满足②式此时X。
2k130
【涉及到弦的垂直平分线问题】
这种问题主要是需要用到弦AB的垂直平分线L的方程,往往是利用点差或者韦达定理产生弦AB
的中点坐标M,结合弦AB与它的垂直平分线L的斜率互为负倒数,写出弦的垂直平分线L的方程,然
后解决相关问题,比如:
求L在x轴y轴上的截距的取值范围,求L过某定点等等。
有时候题目的条件
比较隐蔽,要分析后才能判定是有关弦AB的中点问题,比如:
弦与某定点D构成以D为顶点的等腰三
角形(即D在AB的垂直平分线上)、曲线上存在两点AB关于直线m对称等等。
例题分析1已知抛物线y=-x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A、B,则|AB|等于
\yX2:
卜3—
解:
设直线AB的方程为y=x,b,由=x2,x,b-3二0=x.x2--1,进而可求出AB
y=x+b
11112
的中点m—b),又由M—b)在直线x•y二0上可求出b=1,二x•x-2=0,由弦
2222
长公式可求出|AB=J1+12J12—4x(—2)=3渥.
例题2、已知椭圆C:
解:
(I)由已知椭圆
a=2,则得c—、3,b=1。
从而椭圆的方程为
x2
7y
=1
(II)设M(知yj,Ng,y2),直线
AM的斜率为则直线AM的方程为y=k/x2),由
”2—人(:
+2)消y整理得(1+4k;)x2
x4y=4
16k2X16k;-4=0:
-2和为是方程的两个根,
2-8k;
c16K2-4血
-2x1-2贝yX-]2,y1
1+4k121+4k12
2
冬,即点M的坐标为(彳型2,冬),
14k214k214k2
同理,设直线A2N的斜率为k2,则得点
2
N的坐标为(坠2,4k务)
、1+4k;1+4k;
:
yp二&(t2),yp二k2(t-2).
&-k2
k1
k2
---,:
直线MN的方程为:
t
y一%y2-%
X2_x-1
X_X!
■令y=0,得X严八x1y2,将点
572
N的坐标代入,化简后得:
4
又,t2,02丁椭圆的焦点为
t
(3汁3,即V
4由
故当t时,MN过椭圆的焦点。
3
招式二:
动弦过定点的问题
22
—22=1(ab0)的离心率为
ab
且在x轴上的顶点分别为Ai(-2,0),A2(2,0)。
(I)求椭圆的方程;
(II)若直线丨:
x=t(t.2)与x轴交于点T,点P为直线I上异于
点T的任一点,直线PAi,PA2分别与椭圆交于M、N点,试问直线MN是否通过椭圆的焦点?
并证明你的结论
招式三:
过已知曲线上定点的弦的问题
22
例题4、已知点A、B、C是椭圆E:
訂.乙=1a2b2
(ab.0)上的三点,其中点
A(2、、3,0)是椭圆的右顶
点,直线BC过椭圆的中心
O,且A^[bC=0,BC^2AC
,如图。
(I)求点C的坐标及椭圆
E的方程;
(II)若椭圆E上存在两点P、Q,使得直线PC与直线QC关于直线X=j3对称,求直线PQ的斜率。
解:
(I)
且BC过椭圆的中心
.OC=AC丁ACLBC=0..ACO
=2又:
A(23。
)•点C的坐标为(不3)。
VA(2.3,0)是椭圆的右顶点,.a=23,则椭圆方程为:
22
・.y_
12b2
将点C('、3,、、3)代入方程,得b2=4,椭圆E的方程为
22
124
(II)T直线PC与直线QC关于直线x»3对称,
-设直线PC的斜率为k,则直线QC的斜率为-k,从而直线PC的方程为:
y-、、3=k(x-.x
亍),即y二kx,3(1-k),由y二kx•3(1_k)消y,整理得:
22
x3y-12=0
(13k2)x26.3k(1-k)x9k2-18k-3=0:
x二3是方程的一个根,
22
•传—9k2-18k-3即x=9k-18k-3同理可得:
x=9k+18k-3
心一13k2'知.3(13k2)XQ.3(13k2)
'M-y=kx^,3(^k)kx^-.3(1k)=k(xXQ)-2.3k=~12k2
“3(1+3k)
__9k2—18k—39k2+18k—3=—36kyP_yQ1
*3(13k2)3(13k2)3(13k2)kPQ二Xp_Xq=3
1
则直线PQ的斜率为定值丄。
3
招式四:
共线向量问题
1如图所示,已知圆C:
(x1)y=8,定点A(1,0),M为圆上一动点,点P在AM上,点N在CM上,
且满足AM=2AP,NPAM=0,点N的轨迹为曲线E.I)求曲线E的方程;II)若过定点F(0,2)的直
线交曲线E于不同的两点G、H(点G在点F、H之间),且满足FG二•FH,求,的取值范围
解:
(1)AM=2AP,NPAM=0.二NP为AM的垂直平分线,二|NA|=|NM|
又|CN||NM|=2、、2,.|CN||AN|=2・..2.2.二动点N的轨迹是以点
12223
得(k2)x24kx3=0.由:
0得k2•设G(x1,y-i),H(x2,y2),
22
则x-X2
-4k
1k2
2
-8k3
r^7
(1),X1X2二口
2
212k2⑵
又FG「FH,
(X1,y1-2)='(X2,y2-2)x^-x2,
X1
J?
X2
32
32k2
2
3(12k2)
k24:
:
2
13
3(「)3
1161
vzg解得1
1
又0:
:
■:
:
1,1.
3
又当直线GH斜率不存在,方程为
x=0,FG」FH,■=-
33
11
-<■<1,即所求,的取值范围是[-,1)
33
2:
已知椭圆C的中心在坐标原点,
焦点在x轴上,它的一个顶点恰好是抛物线y二丄x2的焦点,离心率
4
25
为•
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)过椭圆C的右焦点作直线l交椭圆C于A、B两点,交y轴于
5
m点,若mAh^af,mb=?
;-2BF,求证:
i2--io.
2
x=4y,其焦点为(0,1),
22
解:
设椭圆C的方程为
冷•爲=1(a>b>0)抛物线方程化为
ab
则椭圆C的一个顶点为
c
(0,1),即b=1由e--
a
a2—b22、、5
2a
2
•••a-5,椭圆C的方程为
2
x
y-1
(2)证明:
5
X1
X[
X2
x
,所以IV122(X1X2)=一10
2—X]2—x24-2(论+x2)+XjX2
'2
X1
右焦点F(2,0),设A(xi,yi),Bg,y2),M(0,y。
),显然直线l的斜率存在,设直
2
线I的方程为y=k(x-2),代入方程xy2=1并整理,得
5
22
MA=(为,%-y°),
2、22220k20k…5
(15k)x-20kx20k—5=0•x-ix22,XjX2亍又
1+5k21+5k2
TTT
MB=(x2,y2-y0),AF=(2-X1,-y1),BF=(2-x2,-y2),
lrTI,T
而MA=AF,MB=BF,即(x1£y1-y0=@—,x-",(x2-0,y2-y0)='-2(2—x2,—y2)
3、已知△OFQ的面积s=2i6,且OF・FQ二m。
设以O为中心,F为焦点的双曲线经过Q,
62-
|OF|=c,m=
(1)c,当|OQ|取得最小值时,求此双曲线方程。
4
22
解:
设双曲线方程为笃-与=1,Q(X),y。
)。
ab
1
FQ=(x。
-c,y。
),
厂.4yf6
S^ofq=|OF||y0|=2i6,•y0:
c
——•:
6
OF・FQ=(c,O)(x0-c,y0)=c(x0—c)=
(1)c=x
4
OQ=丫Xo
y0
2
涪+斧2鹿,
当且仅当
3c2
8
=專,即c=4时,|OQ|最小,此时QC6-.6)或C6--.6),
c
所以
2丄-1
2.2—1
ab=><
a2+b2=16
2
a
b2
_422
-.故所求的双曲线方程为—1。
=12412
类型1――求待定字母的值
2
例1设双曲线C:
笃
a
-y2=1(a■0)与直线L:
X+y=1相交于两个不同的点A、B,直线L与y轴交
5
于点P,且PA=PB,求a的值
12
设A、B两点的坐标,
思路:
将向量表达式转化为坐标表达式,再利用韦达定理,通过解方程组求
的值。
解:
设A(xi,yi),B(X2,y2),
P(0,1)
'5-
TpA=/PB,.(Xi,yi
55
7兀(“2-。
•••冷=/2.
xy=1
联立x22,消去y并整理得,(1—a2)x2+2a2x—2a2=0(*)
TA、B是不同的两点,二
F2
1-a-0,
4a48a2(1
-a2)0,
a0 2a2 X1+X2=2 1-a 且X1X2=-- 1 2a2 2, 「a 即17X2 12 空T,且-X22 1-a12 2*2,消去X2得, 1-a 2a2289 2=, -a60 17厂17
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