最新中考数学专题训练函数综合题分类.docx
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最新中考数学专题训练函数综合题分类
最新中考数学专题训练--
函数综合题分类
类型一 一次函数与反比例函数综合题
1.如图,一次函数y1=k1x+b与反比例函数y2=(x<0)的图象相交于A,B两点,且与坐标轴的交点为(-6,0),(0,6),点B的纵坐标为2.
(1)试确定反比例函数的解析式;
(2)求△AOB的面积;
(3)直接写出不等式k1x+b<的解.
第1题图
解:
(1)∵一次函数与坐标轴的交点为(-6,0),(0,6),
∴,解得,
∴一次函数的解析式为y1=x+6,
∵点B的纵坐标为2,∴B(-4,2),
将B(-4,2)代入y2=,得k2=-4×2=-8,
∴反比例函数的解析式为y=
-;
(2)∵点A与点B是反比例函数与一次函数的交点,
∴x+6=-,解得x=-2或x=-4,
∴A(-2,4),
∴S△AOB=
=6;
(3)观察图象知,k1x+b<的解集为:
x<-4或-2<x<0.
2.如图,直线y=2x与反比例函数y=(k≠0,x>0)的图象交于点A(m,8),AB⊥x轴,垂足为B.
(1)求k的值;
(2)点C在AB上,若OC=AC,求AC的长;
(3)点D为x轴正半轴上一点,在
(2)的条件下,若S△OCD=S△ACD,求点D的坐标.
第2题图
解:
(1)∵直线y=2x与反比例函数y=(k≠0,x>0)的图象交于点A(m,8),则2m=8,
解得m=4,
∴A(4,8),
∴k=4×8=32;
(2)设AC=x,则OC=x,BC=8-x,
在Rt△OBC中,由勾股定理得:
OC2=OB2+BC2,
即x2=42+(8-x)2,解得x=5,∴AC=5;
(3)设点D的坐标为(x,0).分两种情况:
①当x>4时,如解图①,∵S△OCD=S△ACD,
∴OD·BC=AC·BD,
∴3x=5(x-4),解得x=10;
②当0<x<4时,如解图②,同理得:
3x=5(4-x),解得x=.
∴点D的坐标为(10,0)或(,0).
第2题解图
3.如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,菱形OABC的顶点A在x轴的正半轴上,顶点C的坐标为(1,).
(1)求图象过点B的反比例函数的解析式;
(2)求图象过点A、B的一次函数的解析式;
(3)在第一象限内,当以上所求一次函数的图象在所求反比例函数的图象下方时,请直接写出自变量x的取值范围.
第3题图
解:
(1)如解图,过点C作CD⊥OA于点D,则OD=1,CD=,
第3题解图
在Rt△OCD中,由勾股定理得OC==2,
∵四边形OABC为菱形,
∴BC=AB=OA=OC=2,
则点B的坐标为(3,),
设反比例函数的解析式为y=(k≠0),
∵其图象经过点B,
∴将B(3,)代入,得=,
解得k=3,
∴该反比例函数的解析式为y=;
(2)∵OA=2,
∴点A的坐标为(2,0),
由
(1)得B(3,),
设图象经过点A、B的一次函数的解析式为y=k′x+b(k′≠0),
将A(2,0),B(3,)分别代入,
得,解得,
∴该一次函数的解析式为y=x-2;
(3)由图象可得,满足条件的自变量x的取值范围是2<x<3.
4.如图,直线y1=-x+4,y2=x+b都与双曲线y=交于点A(1,m).这两条直线分别与x轴交于B,C两点.
(1)求y与x之间的函数关系式;
(2)直接写出当x>0时,不等式x+b>的解集;
(3)若点P在x轴上,连接AP,且AP把△ABC的面积分成1∶3两部分,求此时点P的坐标.
第4题图
解:
(1)∵直线y1=-x+4,y2=x+b都与双曲线y=交于点A(1,m),
∴将A(1,m)分别代入三个解析式,得
, 解得,
∴y2=x+,y=;
(2)当x>0时,不等式x+b>的解集为x>1;
(3)将y=0代入y1=-x+4,得x=4,
∴点B的坐标为(4,0),
将y=0代入y2=x+,得x=-3,
∴点C的坐标为(-3,0),
∴BC=7,
又∵点P在x轴上,AP把△ABC的面积分成1∶3两部分,且△ACP和△ABP等高,
∴当PC=BC时,=,
此时点P的坐标为(-3+,0),
即P(-,0);
当BP=BC时,
=,
此时点P的坐标为(4-,0),即P(,0),
综上所述,满足条件的点P的坐标为(-,0)或(,0).
类型二 一次函数与二次函数综合题
5.如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=-x2+bx+c经过点
A(-2,0),B(8,0).
(1)求抛物线的解析式;
(2)点C是抛物线与y轴的交点,连接BC、AC,设点P是抛物线上在第一象限内的点,PD⊥BC,垂足为点D.
①是否存在点P,使线段PD的长度最大,若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;
②当△PDC与△COA相似时,求点P的坐标.
第5题图
解:
(1)将A(-2,0),B(8,0)代入y=-x2+bx+c得,
,解得,
∴抛物线的解析式为y=-x2+x+4;
(2)由
(1)知C(0,4),又∵B(8,0),易知直线BC的解析式为y=-x+4.
①如解图①,过点P作PG⊥x轴于点G,PG交CB于点E,
第5题解图①
∵OB=8,OC=4,
∴BC=
.
在Rt△PDE中,PD=PE·sin∠PED=PE·sin∠OCB=PE·
=PE,
∴当线段PE最长时,PD的长度最大.
设P(t,-t2+t+4),
则E(t,-t+4),即PG=-t2+t+4,EG=-t+4,
∴PE=PG-EG=-t2+2t=-(t-4)2+4(0 当t=4时,PE有最大值4,此时点P坐标为(4,6), 即当P点坐标为(4,6)时,PD的长度最大; ②由A(-2,0),B(8,0),C(0,4),易知∠ACB=90°, ∴△COA∽△BOC, 当Rt△PDC与Rt△COA相似时,就有Rt△PDC与Rt△BOC相似, ∵相似三角形对应角相等, ∴∠PCD=∠CBO或∠PCD=∠BCO. (i)如解图②,若∠PCD=∠CBO(Rt△PDC∽Rt△COB),此时有CP∥OB, 第5题解图② ∵C(0,4), ∴yP=4, ∴-x2+x+4=4, 解得x=6或x=0(舍去), 即Rt△PDC∽Rt△COB时,P(6,4); (ii)若∠PCD=∠BCO (Rt△PDC∽Rt△BOC), 如解图③,过点P作x轴的垂线,与x轴交于点G,与直线BC交于F, 第5题解图③ ∵PF∥OC,∴∠PFC=∠BCO, ∴∠PCD=∠PFC,∴PF=PC, 设P(n,-n2+n+4),依题意,易知n≠0, 由 (1)可知PF=-n2+2n, 过点P作y轴的垂线,垂足为N,在Rt△PNC中, PC2=PN2+NC2=n2+[(-n2+n+4)-4]2=n4-n3+n2, ∵PF=PC, ∴PF2=PC2,解得n=3, 即Rt△PDC∽Rt△BOC时,P(3,); 综上所述,当Rt△PDC与Rt△COA相似时,点P的坐标为(6,4)或(3,). 6.如图,在平面直角坐标系中,直线y=x+m与x轴、y轴分别交于点A、点B(0,-1),抛物线y=x2+bx+c经过点B,交直线AB于点C(4,n). (1)分别求m、n的值; (2)求抛物线的解析式; (3)点D在抛物线上,且点D的横坐标为t(0<t<4),DE∥y轴交直线AB于点E,点F在直线AB上,且四边形DFEG为矩形(如图),若矩形DFEG的周长为p,求p与t的函数关系式和p的最大值. 第6题图 解: (1)∵直线y=x+m与y轴交于点B(0,-1),∴m=-1, ∴直线解析式为y=x-1, ∵直线经过点C(4,n), ∴n=×4-1=2; (2)∵抛物线经过点C和点B, ∴, 解得, ∴抛物线的解析式为y=x2-x-1; (3)∵点D的横坐标为t(0<t<4),DE∥y轴交直线AB于点E, ∴D(t,t2-t-1),E(t,t-1), ∴DE=t-1-(t2-t-1)=-t2+2t, ∵DE∥y轴, ∴∠DEF=∠ABO,且∠EFD=∠AOB=90°, ∴△DFE∽△AOB, ∴==, 在y=x-1中,令y=0可得x=, ∴A(,0), ∴OA=, 在Rt△AOB中,OB=1, ∴AB=,∴==, ∴DF=DE,EF=DE, ∴p=2(DF+EF)=2×(+)DE=DE=(-t2+2t)=-t2+t=-(t-2)2+(0<t<4), ∵-<0,∴当t=2时,p有最大值. 7.如图,△ABC的三个顶点坐标分别为A(-1,0)、B(3,0)、C(0,-),抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过A、B、C三点. (1)求直线AC的解析式; (2)求抛物线的解析式; (3)若抛物线的顶点为D,在直线AC上是否存在一点P,使得△BDP的周长最小? 若存在,求出P点的坐标;若不存在,请说明理由. 第7题图 解: (1)设直线AC的解析式为y=kx+b(k≠0), 把A(-1,0),C(0,-)代入解析式得,解得, ∴直线AC的解析式为y=-x-; (2)把A(-1,0)、B(3,0)、C(0,-)三点代入抛物线y=ax2+bx+c得, ,解得, ∴所求抛物线的解析式为y=x2-x-; (3)存在满足条件的点P. ∵抛物线的解析式为y=(x-1)2-, ∴顶点D的坐标为(1,-), 要使△BDP的周长最小,只需DP+PB最小, 如解图,延长BC到点B′,使B′C=BC,连接B′D交直线AC于点P, 第7题解图 ∵A(-1,0),B(3,0),C(0, -), ∴AB=4,AC=2,BC=2, ∴AC2=4,BC2=12,AB2=16, ∴AB2=AC2+BC2, ∴BC⊥AC, ∴B′P=BP, ∴DP+BP=DP+B′P=B′D最小,则此时△BDP的周长最小, ∴点P就是所求的点,过点B′作B′H⊥AB于点H, ∵OC∥B′H,B′C=BC, ∴OH=BO=3,B′H=2OC=2, ∴B′(-3,-2), 设直线B′D的解析式为y=mx+n, ∵D(1,-),B′(-3,-2)在直线B′D上, ∴, 解得, ∴y=x-, 联立, 解得, ∴P(,-), ∴在直线AC上存在点P,使得△BDP的周长最小,此时P(,-). 类型三 一次函数、反比例函数与二次函数综合题 8.如图,直线y=2x+6与反比例函数y=(k>0)的图象交于点A(m,8),与x轴交于点B,平行于x轴的直线y=n(0<n<6)交反比例函数的图象于点M,交AB于点N,连接BM. (1)求m的值和反比例函数的解析式; (2)观察图象,直接写出当x>0时不等式2x+6->0的解集; (3)直线y=n沿y轴方向平移,当n为何值时,△BMN的面积最大? 最大值是多少? 第8题图 解: (1)∵直线y=2x+6经过点A(m,8), ∴2×m+6=8,解得m=1, ∴A(1,8), ∵反比例函数经过点A(1,8),∴k=8, ∴反比例函数的解析式为y=; (2)不等式2x+6->0的解集为x>1; (3)由题意,点M,N的坐标为M(,n),N(,n), ∵0<n<6,∴<0,∴->0, ∴S△BMN=|MN|×|yM|=×(-)×n=-(n-3)2+, ∴n=3时,△BMN的面积最大,最大值为. 9.如图,一次函数y=kx+b(k≠0)与y轴交于点B(0,9),与x轴的负半轴交于点A,且tan∠BAO=1.反比例函数y=与一次函数y=kx+b的图象交于C、D两点,且BD2+BC2=90. (1)求一次函数的解析式; (2)求反比例函数的解析式; (3)某二次函数的图象经过线段CD的中点,且以B点为顶点,求此二次函数的解析式. 第9题图 解: (1)∵tan∠BAO=1,∴OA=OB, ∵点B(0,9),∴点A(-9,0), ∴,解得, ∴一次函数的解析式为y=x+9; (2)联立得x2+9x-m=0, 设点C、D的横坐标分别为x1、x2, ∵BD2+BC2=90, ∴(x2)2+(x1)2=90即2(x+x)=90, ∴x+x=(x1+x2)2-2x1x2= (-9)2-2(-m)=45, 即81+2m=45,解得m=-18, ∴反比例函数解析式为y=-; (3)设所求的二次函数的解析式为y=ax2+9(a≠0), 由 (1)和 (2)得, 解得或, 则线段CD的中点为(,)即(-,), 代入y=ax2+9得=(-)2a+9, 解得a=-, 故所求的二次函数的解析式为y=-x2+9. 二次函数综合题 10.如图,抛物线y=ax2+2x+c(a≠0)经过点A(0,3),B(-1,0).请回答下列问题: (1)求抛物线的解析式; (2)抛物线的顶点为D,对称轴与x轴交于点E,连接BD,求BD的长; (3)在抛物线的对称轴上是否存在点M,使得△MBC的面积是4? 若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由. 第10题图 解: (1)∵抛物线y=ax2+2x+c经过点A(0,3),B(-1,0), ∴, 解得, ∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3; (2)∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,B(-1,0), ∴点D的坐标是(1,4),点E的坐标是(1,0), ∴DE=4,BE=2, ∴BD===2, 即BD的长是2; (3)假设在抛物线的对称轴上存在点M,使得△MBC的面积是4, 设点M的坐标为(1,m), ∵B(-1,0),E(1,0), ∴点C的坐标为(3,0), ∴BC=4, ∵△MBC的面积是4, ∴S△MBC===4, 解得m=±2, 即点M的坐标为(1,2)或(1,-2).
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