机械优化设计课后习题答案.docx
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机械优化设计课后习题答案
第一章习题答案
1-1某厂每日(8h制)产量不低于1800件。
计划聘请两种不同的检验员,一级检验员的标准为:
速度为25
件/h,正确率为98%,计时工资为4元/h;二级检验员标准为:
速度为15件/h,正确率为95%,计时工资3元/h。
检验员每错检一件,工厂损失2元。
现有可供聘请检验人数为:
一级8人和二级10人。
为使总检验费用最
省,该厂应聘请一级、二级检验员各多少人?
解:
(1)确定设计变量;
根据该优化问题给定的条件与要求,取设计变量为X=1
x2二级检验员
(2)建立数学模型的目标函数;
取检验费用为目标函数,即:
f(X)=8*4*x计8*3*X2+2(8*25*+8*15*)
=40x计36X2
(3)本问题的最优化设计数学模型:
3•
minf(X)=40X1+36x2X€R
g(X)=1800-8*25X1+8*15x2^0
g2(X)=X1-8<0
g3(X)=X2-10<0
g4(X)=-X1<0
g5(X)=-X2<0
1-2
已知一拉伸弹簧受拉力
F,剪切弹性模量
G,材料重度r,许用剪切应力[],许用最大变形量[]。
欲
选择一组设计变量X[x_jx2x3]t
[dD2n]T使弹簧重量最轻,同时满足下列限制条件:
弹簧圈数
簧丝直径d0.5,弹簧中径10D2
50。
试建立该优化问题的数学模型。
k8FD2彳1
ks3,ks1-
sd32c
Cd2(旋绕比)’
解:
(1)确定设计变量;
X1
d
根据该优化问题给定的条件与要求,取设计变量为
X=x2
D2;
X3
n
注:
弹簧的应力与变形计算公式如下
8步
Gd4
(2)建立数学模型的目标函数;取弹簧重量为目标函数,即:
2
2
f(X)=rx1x2x3
4
(3)本问题的最优化设计数学模型:
2
23
minf(X)=rx1x2x3X€R
4
g(X)=w0
g2(X)=10-X2w0
g3(X)=X2-50<0
g4(X)=3-X3<0
g5(X)=(14)疇<02x2x1
3
g6(X)=8FX24X3W0
Gx,
3
8000cm的平底、无盖的圆柱形容器,
要求设计此容器消耗原材料最少,试写出这
1-3某厂生产一个容积为一优化问题的数学模型。
解:
根据该优化问题给定的条件与要求,取设计变量为
Xi
底面半径r
表面积为目标函数,即:
min
f(X)=
考虑题示的约束条件之后,
该优化问题数学模型为:
minf(X)=
2
X1+2
X2
2
X1
g1(X)=-X1W0
T2
X=[X1,X2]€R
g2(X)=-X2<0
2
X1X2=0
1(X)=8000-
3
1500m的长方形仓库,已知每平方米墙壁、屋顶和地面的造价分别为甘于美学的考虑,其宽度应为高度的两倍。
现欲使其造价最低,试导出相应优化问题的数学模型。
解:
(1)确定设计变量;
1-4要建造一个容积为
4元、6元和12
兀。
基
Xi
根据该优化问题给定的条件与要求,取设计变量为
X2
(3)
建立数学模型的目标函数;
取总价格为目标函数,即:
f(X)=8(X1X3+X2x3)+6x1x2
建立数学模型的约束函数;
+12x1x2
X3
3
仓库的容积为1500m。
即:
1500-X1X2X3=0
仓库宽度为高度的两倍。
即:
X2-2X3=0
各变量取值应大于0,即:
X1>0,x2.>0.,^U-X1W0,
本问题的最优化设计数学模型:
minf(X)=8(X1x3+X2x3)+18
X1X2
3•
X€R
g(X)=-X1<0
g2(X)=-X2w0
g3(X)=-X3<0
h1(X)=1500-x1x2x3=0
h2(X)=x2-2x3=0
1-5绘出约束条件:
222
x12x228;2x1x228;x1x24所确定的可行域
1-6试在三维设计空间中,用向量分别表示设计变量:
X1[132]T;X2[234]T;X3[414]T。
第二章习题答案
2-1请作示意图解释:
X(k1)X(k)(k)S(k)的几何意义。
2-2已知两向量P1[1220],P2[2021],求该两向量之间的夹角。
2-3求四维空间内两点(1,3,1,2)和(2,6,5,0)之间的距离。
2-4计算二元函数f(X)Xi3^x225xi6在X(0)[11]T处,沿方向S[12]t的方向导数fs'(X(0))
和沿该点梯度方向的方向导数f'(X(0))。
2-5已知一约束优化设计问题的数学模型为
minf(X)(x13)2(x24)2
X[x1,x2]T
g1(X)x1x250
g2(X)x1x22.50
g3(X)x10
g4(X)x20
求:
(1)以一定的比例尺画出当目标函数依次为f(X)1、2、3、4时的四条等值线,并在图上画出可行区的范围。
(2)找出图上的无约束最优解X1和对应的函数值f(X1),约束最优解X2和f(X2);
(3)若加入一个等式约束条件:
h(X)x1x20
求此时的最优解X3,f(X3)。
解:
下图为目标函数与约束函数(条件)设计平面X1OX2。
其中的同心圆是目标函数依次为f(X)=1、
2、3、4时的四条等值线;阴影的所围的部分为可行域。
由于目标函数的等值线为一同心圆,所以无约束最优解为该圆圆心即:
Xi*=[3,4]
函数值f(X1*)=0
而约束最优解应在由约束线gl(X)=0,g2(X)=0,g3(X)=0,g4(X)=0,组成的可行域(阴影线内侧)
内寻找,即约束曲线gi(x)=o与某一等值线的一个切点
XT,可以联立方程:
Xi
Xi
x250
x2io,解得
X;=[2,3]。
函数值f(X2*)=(2-3)
加入等式约束条件,
5
0
2+(3-4)2=2。
则X*为可行域上为hi(X)=0
上与某一条等值线的交点,
可以联立方程:
X1x2
X1x2
解得X3=[5/2,5/2]。
函数值
2-6试证明在(1,1)点处函数f(X)
证明:
求驻点:
f(X)4x「4x1X2
X1
X1
X2
2f(X)
2
12x12
4x2
2/
2f(X)
X1
x1x2
10
4
海赛矩阵
H(X)
4
2
各阶主子式:
a11
10
0,
a11a12
a21a22
由輕°,竺0,得:
驻点x
104
0
42
HX)是正定的,
4^222
X12X1X2X1X22X15具有极小值。
ccf(X)2
2x12,2X12x2
X2
[11]T,极值f(x*)4
34X1,2
x2为x2
所以驻点必定是极小点。
故在(1,1)点处函数f(X)具有极小值。
*22
f(X3)=(5/2-3)+(5/2-4)=。
解:
f(X)6x12,
f(X)4x2
1
X1
X2
由-
f(X)
0,f(X)
0,得:
极值点
x*[1/31/4]t,极值f(x*)229/24
X1
X2
2
f(X)
2
62f(X)
6,
2f(X)0,
2f(X)4
2
X1
x1x2
X2X-!
X2
海赛矩阵
6
H(X)门
0
0
4
2-7
求函数f(X)3X122X222X1
X210的极值点,并判断其极值的性质。
Astanai260
各阶壬子式:
3m60,c/0
a?
ia?
204
H(X)是正定的,所以,f(X)为凸函数。
得:
极值点X
[1/31/4]t,极值f(x*)229/24
2-8试判断函数f(X)
22
2xiX22x1X2Xi1的凸性。
解:
f(X)4为2x21,
X1
f(X)
X2
2x22x1
2f(X)
2
5,2f(X)
2,2f(X)
X1
X1X2
X2X1
2,
2f(X)
2
X2
海赛矩阵H(X)
各阶主子式:
巧
0,
a11
a22
a21
H(X)是正定的,
所以,f(X)为凸函数。
2-9试用向量及矩阵形式表示
22
f(X)x1x210x14x260并证明它在D{x1,x2
Xi
i1,2}上
是一个凸函数。
102x1X2,
X1
f(X)
X2
42x2X1
2f(X)
2
X1
2,
2f(X)
1,
2f(X)
X1
X2
2
X2
海赛矩阵H(X)
各阶主子式:
an
0,
a11
a21
^2
a22
是正定的,
所以,f(X)为凸函数。
2-10现已获得优化问题
min
f(X)
4x1
2
x22
12
s.t.
g1(X)
2
x12
2
x22
25
0
g2(X)
2x1
2x2
10x1
10x234
g3(X)
(x1
3)2
(x2
1)20
g4(X)
x1
0
0
g5(X)x20
的一个数值解X[1.000,4.900]T,试判定该解是否上述问题的最优解。
第三章习题答案
3-1函数f(X)3x38x9,当初始点分别为x00及x01.8时,用进退法确定其一维优化的搜索区间,取初始步长T00.1。
解:
当x00时
(1)取TT00.1,A10,A2T0.1
F1F(A1)f(X(0))9
XX(0)A2S=
F2F(A2)f(X(0)A2S)8.203
比较F1、F2,因F1F2,所以应作前进搜索。
⑵步长加倍:
T2T0.2,A2A2T120.3
F1F28.203
XX(0)A2S=
F2F(A2)f(X(0)A2S)6.681
再比较F1、F2,因F1F2,所以还应再向前搜索,为此应舍去上一次的A1点。
所以:
A1A2T0.30.20.1。
(3)步长加倍:
T2T0.4,A2A2T0.30.40.7
F1F26.681
XX(0)A2S=
F2F(A2)f(X(0)A2S)4.429.
比较Fj、F2,因F1F2,所以还应再向前搜索,AjA2T0.70.40.3。
(4)步长加倍:
T2T0.8,A2A2T1.5
F1F24.429
XX(0)A2S=
F2F(A2)f(x(0)A2S)7.125.
比较片、F2,因FiF2。
已找到具有“高—低—高”特征的区间
即:
Ai
0.3时,F(
1)
6.681
A2
T0.7时,
F(
2)4.429
A2
1.5时,F(
3)
7.125。
所以,F(
1)
F(
2)F(
3)
单峰区间为:
A1
0.3,B
A2
1.5。
当x01.8时
同理可得:
A
A1
1.5,B
A20.3
解:
(1)在初始区间[a,b]=[-3
5]中取计算点并计算函数值
(1)b0.618(ba)
0.056;f1
f(
(1))
0.115136
(2)a0.618(ba)
1.944;f2
f(
(2))
7.667
(2)比较函数值,缩短搜索区间
因有f1 (2) 1.944;f2f( (2)) 0.115136 (1) b0.618(ba)1. 11139;f1 f( (1)) 0.98759 (3)判断迭代终止条件 b—a>£ 不满足迭代终止条件,比较函数值 f1、f2继续缩短区间。 将各次缩短区间的有关计算数据列于下表。 表黄金分割法的搜索过程 2 3-2用黄金分割法求函数 F() 2 在区间[35]中的极小点,要求计算到最大未确定区间长度小于。 区间缩短 次数 a b (1) a (2) a f1 f2 (原区间) -3 5 1 -3 2 -3 3 4 3-3用二次插值法求函数F()83227 3的最优解。 已知搜区间为[02],选代精度 0.01。 解: 采用Matlab编程计算得: 0.6207 2 3-4函数f(X)X,x,x2 X222x,4X2,取初始点为X(0)[22]T,规定沿X(0)点的负梯度方向进行 次一维优化搜索,选代精度 105,f 10 (5-8)略 9 (1)用进退法确定一维优化搜索区间; (2)用黄金分割法求最优化步长及一维优化最优值; (3)用二次插值法求最优化步长及一维优化最优值; (4)上述两种一维优化方法在求解本题时,哪一个种方法收取更快,原因是什么? 解: 最优点X*[02]t,最优值f(X*)4 二次插值法更快 2 3-5求F() (1) (2)的极小点,选代精度 x0.1,f 0.1。 要求: (1)从0出发,T。 0.1为步长确定搜索区间; (2)用黄金分割法求极值点; (3)用二次插值法求极值点。 解: (1) ①由已知条件可得,1 0,F1F (1)4 F (2)(21)(22)2 (0.11)(0.12)2 3.971 因为F2F1,应作前进搜索。 ②步长加倍,T2T。 0.2,F1 F23.971, 22T0.10.20.3 F2F (2)(21)(22)2 (0.31)(0.32)2 3.757 因为F2F1,所以还应再向前搜索,为此应舍去上一次的 1点。 所以: 20.3 ③步长加倍, T2T0.4,F1F23.757, 22T0.30.40.7 22 F2F (2)(21)(22)(0.71)(0.72)2.873 因为F2F1,所以还应再向前搜索,为此应舍去上一次的1点。 所以: 120.7 ④步长加倍,T2T0.8,F1F22.873, T0.70.81.5 22 F2F (2)(21)(22)2(1.51)(1.52)20.625 因为F2F1,所以还应再向前搜索,为此应舍去上一次的1点。 所以: 121.5 ⑤步长加倍,T2T1.6,F1F20.625, 22T1.51.63.1 22 F2F (2)(21)(22)2(3.11)(3.12)24.961 因为F2Fi,所以已找到具有“高一低一高”特征的区间 即10.7时,F (1)2.873; 2 1.5时,F (2)0.625; 3 3.1时,F(3)4.961。 2) 由 (1)确定的搜索区间[,],利用Matlab进行黄金分割法一维优化搜索得: **24 *2.0082,f(*)(2.00821)(2.00822)22.023104 3) 由 (1)确定的搜索区间[,],利用Matlab进行二次插值法一维优化搜索得: **23 *1.9504,f(*)(1.95041)(1.95042)27.258103
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