第二十七章 相似.docx
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第二十七章相似
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第二十七章相似
在前面,已经研究图形的全等,也研究了一些图形的变换,如平移、轴对称、旋转等,本章将在前面的基础上进一步研究一种变换──相似。
研究相似变换的性质,相似三角形的判定等,并进一步研究一种特殊的相似变换──位似。
结合一些图形性质的探索、证明等,进一步发展学生的探究能力,培养学生的逻辑思维能力等。
本章共安排三个小节,教学时间大约需要13课时,具体安排如下(仅供参考):
27.1 图形的相似 2课时
27.2 相似三角形 6课时
27.3 位似 3课时
小结 2课时 一、本章内容和学习目标
(一)本章知识结构框图
本章知识结构如下图所示:
(二)本章内容
在前面,我们已经学过了图形的全等和全等三角形的有关知识,也研究了几种图形的全等变换,“全等”是图形间的一种关系,具有这种关系的两个图形叠合在一起,能够完全重合,也就是它们的形状、大小完全相同。
“相似”也是指图形间的一种相互关系,但它与“全等”不同,这两个图形仅仅形状相同,大小不一定相同,其中一个图形可以看成是另一个图形按一定比例放大或缩小而成的,这种变换是相似变换。
当放大或缩小的比例为1时,这两个图形就是全等的,全等是相似的一种特殊情况。
从这个意义上讲,研究相似比研究全等更具有一般性,所以这一章所研究的问题实际上是前面研究图形的全等和一些全等变换基础上的拓广和发展。
在后面,我们还要学习“锐角三角函数”和“投影与视图”的知识,学习这些内容,都要用到相似的知识。
在物理中,学习力学、光学等,也都要用到相似的知识。
因此这一章的内容也是今后学习所必须的基础知识。
另外,在实际生活中,在建筑设计、测量、绘图等许多方面,也都要用到相似的有关知识。
因此这一章内容对于学生今后从事各种实际工作也具有重要作用。
本章共有三小节内容。
第1小节“图形的相似”主要介绍相似图形、相似多边形的概念,并探索出相似多边形的性质;第2小节“相似三角形”主要研究相似三角形的判定方法、相似三角形在测量中的应用以及相似三角形的周长与面积;第3小节“位似”研究了一种特殊的相似──位似,研究了位似图形的画法以及平面直角坐标系中的位似变换。
在“27.1图形的相似”中,首先结合生活中常见的相似图形的形象,给出了相似图形的概念。
接下来,证明了相似的正三角形、正六边形、以至正多边形的对应边成比例、对应角相等,从而给出相似多边形对应边成比例、对应角相等的性质。
接下来在第27.2进一步深入的研究了相似三角形,它分为相似三角形的判定和相似三角形的应用举例以及相似三角形的周长与面积三部分。
在相似三角形的判定中,介绍了四种判定方法,这些方法都是先通过学生探究,再进行证明得到,这四种方法的地位作用以及证明方法也有区别和联系。
对于第一个判定方法,也就是“平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似”,根据学生当前的知识储备,学生还不能证明,因此教科书仅就它的一种特殊情况进行了证明,并直接把这个定理告诉学生,它可以作为后三个判定定理的预备定理。
后三个判定方法,则要通过构造全等三角形,利用前面的预备定理来证明。
相似三角形的判定和性质在实际生活中应用很多,主要在测量方面,接下来的第2小节安排了几个例子,举例说明了它的应用。
在第3小节中,则重点研究了相似多边形的周长和面积的问题。
教科书首先证明了相似三角形周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方,进而利用分割的方法,得到相似多边形周长比等于相似比、面积也等于相似比的平方。
位似变换是一种特殊的相似变换,此时对应顶点的连线交于一点,对应边也是互相平行的。
在第27.3重点研究了这种变换,教科书在给出位似变换概念的基础上,重点研究了如何利用位似变换将一个图形放大或缩小,以及在平面直角坐标系下位似图形的对应点坐标的变化。
最后简单对学生学过的四种变换进行了总结,要求学生在一个图形中辨析这些变换,并能综合利用这些变换进行一些图案设计。
这一章主要研究相似多边形,因此相似多边形的有关性质以及相似三角形的判定是本章的重点内容。
对于相似三角形的判定方法,定理的证明涉及到要构造一个全等的三角形作为中介,再应用前面的定理进行证明,学生不太习惯,这也是本章教学的难点。
教学中要注意引导学生分析证明思路,引导学生进行转化,帮助学生克服难点。
(三)学习目标
1.了解比例的基本性质,了解线段的比、成比例线段;
2.通过具体实例认识图形的相似,探索相似图形的性质,理解相似多边形对应角相等、对应边成比例、周长的比等于相似比、面积的比等于相似比的平方,探索并掌握相似三角形的判定方法,并能利用这些性质和判定方法解决生活中的一些实际问题;
3.了解图形的位似,能够利用位似将一个图形放大或缩小,在同一直角坐标系中,感受位似变换后点的坐标的变化;
4. 结合相似图形性质和判定方法的探索和证明,进一步培养学生的合情推理能力,发展学生的逻辑思维能力和推理论证的表达能力;通过这一章的教学,进一步培养学生综合运用知识的能力,运用学过的知识解决问题的能力,同时对学生进行辩证唯物主义世界观的教育。
二、本章教学建议
1.突出图形性质的探索过程,重视实验操作和逻辑推理的有机结合
相似也是生活中常见的一种现象,也是数学中一种基本的变换。
本章重点研究了相似图形的一些性质以及相似三角形的判定方法。
注意突出图形性质的探索过程,重视直观操作和逻辑推理的有机结合,通过多种手段,如观察度量、实验操作、图形变换、逻辑推理等来探索图形的性质。
例如通过测量长度和角度,发现相似多边形对应角相等,对应边的比相等的性质;通过度量,发现利用三个对应边的比相等、两组对应边的比及其夹角相等、两个角相等等相似三角形的判定方法等。
在学生通过观察、操作探究出图形的性质后,还要求学生能对发现的性质进行证明,使直观操作和逻辑推理有机的整合在一起,使推理论证成为学生观察、实验、探究得出结论的自然延续。
2.注意联系实际
相似是生活中常见的现象,日常生活中到处存在着相似的例子,相似图形的性质在实际中应用也很多,能直接应用相似三角形判定和性质的例子也很多。
例如通过生活中大量的实例引入相似图形、位似图形的概念,例习题中也有许多应用相似图形知识的实例。
在第2小节,还专门安排了“相似三角形应用举例”的内容,给出了一些利用相似三角形的性质和判定方法,来解决生活中不能直接测量物体长度的问题(测量金字塔高度问题、测量河宽问题、盲区问题)。
在教学中,要通过这些知识的教学,帮助学生从实际生活中发现数学问题、运用所学知识解决实际问题。
另外,还可以根据本地区的实际,选择一些实际问题,引导学生加以解决,提高他们应用知识解决问题的能力。
3.重视渗透数学思想方法
教学中不仅要教知识,更重要的是教方法,也充分注意数学思想方法的渗透。
本章主要涉及的数学思想方法有类比的方法,矛盾转化的方法等。
相似内容是全等内容的拓展与延伸,也充分注意相似与全等之间的一般与特殊的关系,在讨论相似的相关内容时,注意和全等的知识作类比。
例如类比研究全等图形的性质得到相似多边形对应角相等、对应边的比相等的性质;类比研究全等三角形的SSS、SAS方法,发现相似三角形的判定方法;通过把多边形分割为三角形,类比研究多边形内角和的方法,利用相似三角形的面积关系得到相似多边形面积比等于相似比的平方等等。
在证明相似三角形的判定定理时,通过作全等三角形,把要证明的问题转化为我们已经解决的问题,从而把问题从未知转化为已知,从复杂转化为简单,等等。
另外,在本章,通过理论联系实际,对学生进行唯物论认识论的教育;通过相似形与全等形的许多性质之间的内在联系,一般与特殊之间的关系等,图形之间运动变化的关系等等,还可以对学生进行辩证唯物主义观点的教育。
三、本章几个值得关注的问题
1.进一步培养推理论证能力
从培养学生的逻辑思维能力来说,“相似”这一章处于学生对于掌握的推理论证方法的进一步巩固和提高的阶段,要求学生能熟练地用综合证明命题,熟悉探索法的推理过程。
教学中要重视推理论证的教学,进一步提高学生的思维能力。
首先,对于相似三角形的相关判定定理,有些要求学生自己进行证明;对于一些相关的性质,例如相似多边形的周长与面积等,也是通过推理得出的。
另外,为了巩固并提高学生的推理论证能力,本章的定理证明中,除了采用了规范的证明方法外,还有一些采用了探索式的证明方法。
这种方法不是先有了定理再去证明它,而是根据题设和已有知识,经过推理,得出结论。
这些对激发学生的学习兴趣,活跃学生的思维,发展学生的思维能力有好处。
教学中要注意启发和引导,使学生在熟悉“规范证明”的基础上,推理论证能力有所提高和发展。
另外,这部分内容实际上也是到了初中阶段推理证明要求的最后一章,所涉及的问题不仅是相似的问题,也有很多是和全等的问题结合在一起,也有一些是圆中的相似的问题,题目也相对以前比较复杂,要综合应用学生以前学过的知识。
教学时应注意多帮助学生复习已有的知识,做到以新带旧、新旧结合。
要加强解题思路的分析,帮助学生树立已知与未知、简单与复杂、特殊与一般在一定条件下可以转化的思想,使学生学会把未知化为已知,把复杂问题化为简单问题,把一般问题化为特殊问题的思考方法。
通过这一章对于学生推理证明的训练,进一步提高学生逻辑思维能力和分析解决实际问题的能力。
2.重视知识间的联系
学生学习相似的知识,是在前面学习的全等的知识基础上的发展。
从全等到相似,是一个从特殊到一般的过程,也是学生认识上的一个飞跃。
在教学时,应注意充分利用学生在前面学到的有关知识以及研究问题的方法,注意加强相似和全等之间的区别和联系,加强类比和对比,把相似和全等的有关问题对照讲解。
例如在介绍相似多边形的性质时,注意它和全等图形性质的区别和联系:
他们的对应角都相等;全等图形对应边也相等,周长也相等,面积也相等;相似多边形对应边的比相等,周长的比等于相似比,面积的比等于相似比的平方。
研究相似三角形的判定的问题时,也可以和研究全等三角形的问题作类比:
判定两个三角形全等,不一定要六个条件一一验证,有简便方法(SSS、SAS、ASA、AAS),类似的,研究两个三角形相似时,也不是要对所有的对应角和对应边一一验证,也有简单方法,从而类比全等三角形的判定方法一一进行探究。
研究相似多边形的面积时,教科书也是和研究多边形的内角和问题进行了类比:
我们已经通过推理论证得到了相似三角形的面积比等于相似比的平方,类似于研究多边形内角和的方法,可以把多边形划分成若干个三角形,从而也能得到相似多边形面积的比等于相似比的平方。
在教学时,要充分注意这些新旧知识联系的内容,注意从学生学习的规律出发,加强新旧知识的联系,发挥知识的迁移作用,这样也有助于学生对于新知识的理解。
3.注意把握好教学要求
本章内容只是突出最基本、最重要的基础知识和最基本的技能,教学时要注意把握好教学要求。
例如,为了突出对于相似多边形以及相似三角形这个全章的重点内容,教材对于比例和成比例线段的相关内容,只是在小学的基础上,给出了成比例线段的基本概念,学生能够理解它的基本含义即可。
对于平行线分线段成比例定理,教材没有介绍,而是直接给出了它的应用“平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形和原三角形相似”(重点介绍了A型和X型两类重要图形)。
在此基础上,证明了相似三角形的三个判定定理。
对于推理论证的要求,要求学生对于一些相似图形的性质以及相似三角形的判定方法进行证明,为了巩固学生对于这些基础知识的理解,掌握好这些重点内容,安排了一些直接利用这些判定和性质的计算题和证明题。
这些题中,直接应用定理的较多,变式的题目很少,也比较简单,这样可使学生在有限的时间学好必须的基础知识。
教学时对于本章的证明问题也要注意控制难度,对于一般学生,控制在“综合应用”的题目难度内,对于学有余力的学生,可以要求他们完成“拓广探索”栏目的习题。
四:
学法指导与教学反思
27.1图形的相似
探究、勤于动手,建议学生搜集好图形和图片、获取新知识、交流与合作共同讨论归纳。
学生可自行分组探究展示几组图片,说出每组图片的共同特征,然后从特殊的正三角形、正四边形开始探究,说出对应角的关系;对应边的比的关系,再探究一般三角形、四边形的关系。
可以得出相似多边形的性质。
为了对知识的深化理解和巩固,及时训练一组练习题,并且把课本的例题融入训练题中,可以收到很好的效果。
教学反思:
相似图形生活中处处可见,也是学生所熟悉的。
学习本章内容是,充分类比了三角形全等的有关知识,让学生回顾三角形全等的有关性质和判定,并会用自己的语言加以描述,初步具有有条理的思考和表达的能力。
相似只看形状即可,所以,前面的学习是本章的基础。
在本章的教学中,要注意联系实际,相似是生活中常见的现象,日常生活中到处存在着相似的例子,在教学中应提供大量的实物图标,从实际的例子出发,结合实例来让学生理解相似的有关概念和相似,加深学生对所学知识的理解和记忆。
教学时注意突出图形性质的探索过程,重视试验操作和逻辑推理的有机结合,通过多种手段来探索图形的性质。
对于相似的形式的探索,可让学生通过测量长度和角度,自己发现其性质和判定方法。
在学生通过观察,操作探究出图形的性质后,还要求进行证明,使直观操作和逻辑推理有机的结合在一起。
27.2相似三角形
相似三角形的判定采用小组合作的学习方式,让学生遵循“观察——猜想——验证——归纳——运用——提高”的主线进行学习,充分调动学生的手口脑,引起兴趣,主动学习。
相似三角形的应用举例采取小组合作的学习方式有利于共同提高。
因此将大部分的时间交给学生,让他们充分动手寻找解决问题的办法,并且能上升为理论:
画图形,找相似,得比例。
通过问题情境的设置,培养积极的进取精神,增强数学学习的自信心.实现学生之间的交流合作,体现数学知识解决实际问题的价值.
教学反思:
建议选择题分组教学的方式,让学生对一类例题求解,然后引导学生归纳他们的共同特征,建构起他们的知识结构:
一条直线上有三个角相等,就能证明左右两个三角形相似,还能得到一个有用的等积式。
让学生体验与感悟演绎与归纳的数学思想。
例一通过等边三角形翻折问题,是引入教学,例二通过矩形中直角的翻折,再次引发学生的认知冲突,诱发他们思考两道题是同类型的,联系紧密,区别只是三个等角的度数不相同,他们可能会猜测:
这种相似关系与角的度数无关。
所以再次设计例三、例四,分别是三个相等的锐角、相等的钝角,再次验证刚才的猜想。
这时再让学生总结规律,探讨有用的小结论,让他们起名等活动,充分认识与理解建构出来的数学模型,最后通过例5,让学生体验化归思想,让他们在复杂图形的分析中,把条件转化,向已经熟练掌握的知识转移,从而使问题得以解决。
相似三角形的应用举例是在学生学习了相似三角形的基本知识的基础上学习的,是相似三角形知识的应用、延伸与拓展,是将相似三角形与实际生活相结合的应用性问题。
本节课要让学生了解、掌握在平行光线的照射下,不同物体的物高与影长成正比例,使学生会应用上述定理的基础上解决实际问题。
学生学了这节内容后觉得比较难。
因此课前做了一些设计,先要求学生对书本后面的数学活动测量旗杆的高度进行独立的预习,获得一些个人的认知,然后在课堂上进行小组合作交流,提高对测量某些不能直接度量的物体的高度的方法的认识,进而解决实际问题。
27.3位似
根据九年级学生的特点,本节课,建议把自主探究与合作交流作为学生学习的主要方式,让学生在动手操作中观察、猜想、探究,在合作交流中归纳、总结、提升。
教学反思:
本节课要求学生掌握位似图性的定义、画法和性质。
由于位似是特殊的相似,因而位似与相似的关系也是本节的重点内容。
在学习相似图形之后学生学生对位似的学习不会感到有很大的困难,因此课上采用学生自学、观察、思考、分析、交流、用尺规准确规范的作图等数学活动展开教学,学生不仅理解了位似的定义性质而且学会了画位似图形,学生掌握的很好。
五:
易错点例析
1、现给出下列四个命题:
①等边三角形既是轴对称图形,又是中心对称图形;②相似三角形的面积比等于它们的相似比;
③菱形的面积等于两条对角线的积;④三角形的三个内角中至少有一内角不小于60°.
其中不正确的命题的个数是( )
A、1个B、2个
C、3个D、4个
考点:
等边三角形的性质;三角形内角和定理;菱形的性质;相似三角形的性质。
分析:
对四个选项逐个进行判断即可得出结论.
解答:
解:
①根据等边三角形的性质知,等边三角形是轴对称图形,不是中心对称图形,错误;
②由相似三角形的性质知相似三角形的面积比等于它们的相似比的平方,错误;
③根据菱形的面积公式,错误;
④根据三角形内角和定理可知,三角形的三个内角中至少有一内角不小于60°,正确.
综合以上分析,不正确的命题包括①②③.
故选C.
点评:
本题主要考查了等边三角形、相似三角形的性质,菱形的面积公式等内容,范围较广.
2、如图,△DEF的边长分别为1,
,2,正六边形网格是由24个边长为2的正三角形组成,以这些正三角形的顶点为顶点画△ABC,使得△ABC∽△DEF.如果相似比
=k,那么k的不同的值共有( )
A、1个B、2个
C、3个D、4个
考点:
等边三角形的性质;勾股定理的逆定理;相似三角形的性质。
分析:
根据题意可得:
在正六边形网格找与△DEF相似的三角形;即找三边的比值为1:
:
2的直角三角形;分析图形可得:
共三种情况,相似比分别为:
2,2
,4;
解答:
解:
∵△DEF的边长分别为1,
,2
∴△DEF为直角三角形,∠F=30°,∠D=60°
根据等边三角形的三线合一,可作三边比为1:
:
2的三角形
∴相似比
=k,k可取2,2
,4.
故选C.
点评:
本题主要考查了相似三角形的判定.
3、如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8,另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x,那么x的值( )
A、只有1个B、可以有2个
C、有2个以上,但有限D、有无数个
考点:
勾股定理;相似三角形的判定与性质。
专题:
分类讨论。
分析:
两条边长分别是6和8的直角三角形有两种可能,即已知边均为直角边或者8为斜边,运用勾股定理分别求出第三边后,和另外三角形构成相似三角形,利用对应边成比例即可解答.
解答:
解:
根据题意,两条边长分别是6和8的直角三角形有两种可能,一种是6和8为直角边,那么根据勾股定理可知斜边为10;另一种可能是6是直角边,而8是斜边,那么根据勾股定理可知另一条直角边为
.
所以另一个与它相似的直角三角形也有两种可能,
第一种是
,解得x=5;
第二种是
,解得x=
.所以可以有2个.
故选B.
点评:
本题考查了勾股定理和三角形相似的有关知识.本题学生常常漏掉第二种情况,是一道易错题.
4、如图,△ABC中,点D、E、F分别是边长AB、BC、AC的中点,则△DEF与△ABC的面积之比为( )
A、1:
4B、1:
3
C、1:
2D、1:
考点:
三角形中位线定理;相似三角形的判定与性质。
分析:
根据三角形的中位线定理得两三角形三边对应成比例,那么两三角形相似,对应边之比为1:
2,即可得到面积之比.
解答:
解:
∵点D、E、F分别是边长AB、BC、AC的中点,
∴EF、DE、DF是三角形的中位线,
∴EF=
AB,DE=
AC,DF=
BC,
∴△DEF∽△ABC,
∴△DEF与△ABC的相似比为1:
2,
∴△DEF与△ABC的面积之比为1:
4,
故选A.
点评:
相似三角形的面积之比等于相似比的平方.
5、如图,在▱ABCD中,E是BC的中点,且∠AEC=∠DCE,则下列结论不正确的是( )
A、S△AFD=2S△EFBB、BF=
DF
C、四边形AECD是等腰梯形D、∠AEB=∠ADC
考点:
平行四边形的性质;相似三角形的判定与性质。
分析:
本题要综合分析,但主要依据都是平行四边形的性质.
解答:
解:
A、∵AD∥BC
∴△AFD∽△EFB
∴
=
=
=
故S△AFD=4S△EFB;
B、利用平行四边形的性质可知正确.
C、由∠AEC=∠DCE可知正确.
D、利用等腰三角形和平行的性质即可证明.
故选A.
点评:
解决本题的关键是利用相似求得各对应线段的比例关系.
6、如果△ABC∽△A′B′C′,BC=3,B′C′=1.8,则△A′B′C′与△ABC的相似比为( )
A、5:
3B、3:
2
C、2:
3D、3:
5
考点:
相似三角形的性质。
分析:
根据题意,易证△A′B′C′∽△ABC,又相似比等于对应边的比,列出比例式计算即可得出.
解答:
解:
∵B′C′:
BC=1.8:
3=3:
5,
∴△A′B′C′与△ABC的相似比为3:
5.故选D.
点评:
此题主要考查相似三角形的性质的运用.
7、如果△ABC∽△DEF,且相似比为
,那么△DEF和△ABC的面积比为( )
A、
B、
C、4D、2
考点:
相似三角形的性质。
分析:
根据相似三角形的面积比等于相似比的平方,即可得出两个相似三角形的面积比.
解答:
解:
∵△ABC∽△DEF,且相似比为
,
∴△DEF和△ABC的面积比为22=4.
故选C.
点评:
此题主要考查的是相似三角形的性质:
相似三角形的对应边的比等于相似比,面积比等于相似比的平方,要注意两个三角形的相似比与三角形的有先后顺序有关.
8、在△ABC中,∠C=90°,D是边AB上一点(不与点A,B重合),过点D作直线与另一边相交,使所得的三角形与原三角形相似,这样的直线有( )
A、1条B、2条
C、3条D、4条
考点:
相似三角形的判定。
专题:
分类讨论。
分析:
过点D作直线与另一边相交,使所得的三角形与原三角形已经有一个公共角,只要再作一个直角就可以.
解答:
解:
过点D作AB的垂线,或作AC的垂线,作BC的垂线共三条直线,故选C.
点评:
本题主要考查三角形相似的条件,有两个角相等的三角形相似.
9、考虑下面4个命题:
①有一个角是100°的两个等腰三角形相似;②斜边和周长对应相等的两个直角三角形全等;③对角线互相垂直且相等的四边形是正方形;④对角线相等的梯形是等腰梯形.其中正确命题的序号是( )
A、①②③④B、①③④
C、①②④D、②③④
考点:
相似三角形的判定;全等三角形的判定;正方形的判定;等腰梯形的判定。
专题:
综合题。
分析:
此题需用排除法对各个选项进行分析,从而确定最终答案.
解答:
解:
①正确,因为已知一个角为100°和等腰三角形,没有指出该角是顶角还是底角,根据三角形内角和公式得,该角为顶角,又因为是等腰三角形则两腰对应成比例,所以这两个等腰三角形相似;
②正确,因为两个直角三角形的斜边相等,则可以推出此两个三角形全等;
③不正确,还有可能是菱形;
④正确,可以根据等腰梯形的判定得到.
故选C.
点评:
考查了相似三角形的判定、全等三角形的判定、正方形的判定、等腰梯形的判定等知识点.
10、如图,AD∥BC,∠D=90°,DC=7,AD=2,BC=4.若在边DC上有点P使△PAD和△PBC相似,则这样的点P存在的个数有( )
A、1B、2
C、3D、4
考点:
相似三角形的判定。
专题:
分类讨论。
分析:
根据已知分两种情况△PAD∽△PBC或△PAD∽△CBP来进行分析,求得PD的长,从而确定P存在的个数.
解答:
解:
∵AD∥BC,∠D=90°
∴∠C=∠D=90°
∵DC=7,AD=2,BC=4
设PD=x,则PC=7﹣x;
①若PD:
PC=AD:
BC,则△PAD∽△PBC
∴
,解得:
PD=
②若PD:
BC=AD:
PC,则△P
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- 第二十七章 相似 第二 十七