注重数学的整体性提高系统思维水平人民教育出版社中学数学室 章建跃.docx

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注重数学的整体性提高系统思维水平人民教育出版社中学数学室章建跃

注重数学的整体性，提高系统思维水平

──人教版义务教育教科书数学九年级下册介绍

人民教育出版社中学数学室　章建跃

本册教科书包括反比例函数、相似、锐角三角形和投影与视图，是全套书的“收官”之作，具有综合性特点．“反比例函数”从具有反比例关系的实例出发，从函数的角度加以刻画，引导学生认识反比例函数；利用已有的函数研究经验展开反比例函数的图像与性质的研究；最后建立反比例函数模型解决实际问题．“相似”先由生活实例认识相似图形，再重点研究相似三角形的判定、性质及其实际应用，最后研究特殊的相似即位似的特征，本章强调从特殊（全等）到一般（相似）的方法，引导学生利用全等三角形的学习经验提出相似三角形的问题和方法，使“四基”、“四能”等得到落实．“锐角三角函数”从解决实际问题和数学发展需要提出“解直角三角形”的问题，引导学生从特殊到一般地学习锐角三角函数的概念；采取“从定性到定量”的思路，从直角三角形全等的判定得到解直角三角形的条件，并用锐角三角函数、勾股定理等知识解决问题，本章注重数学知识之间、数学与现实之间的联系．“投影与视图”从生活实例出发，研究中心投影和平行投影，并重点研究正投影的性质；进一步认识三视图以及简单几何体三视图的画法，本章注重利用基本几何体的三视图、立体图形和三视图的双向转化等，增强学生的空间观念．

本书供九年级下学期使用，全书约需44课时，具体分配如下：

第26章反比例函数           约8课时

第27章相似                 约14课时

第28章锐角三角函数         约12课时

第29章投影与视图           约10课时

一、本书的主要内容

本书的最大特点是内容的综合性，特别是要综合运用已学数学知识与方法研究数学新对象、分析和解决新问题，并开展应用数学知识解决实际问题的实践．

1．反比例函数

与已学函数知识一样，反比例函数的主要学习内容是概念、图象与性质、简单实际应用．

在一个变化过程中有两种相关联的量（用x，y表示），其中一种量随另一种量的变化而变化，而且这两种量中相对应的两个数的积是定值（用k表示），这两种量叫做成反比例的量，它们的关系叫做成反比例关系，用数学式子表示就是xy=k（定值）．如果用函数的观点看待这样的变化过程，用函数的方法描述反比例关系，那么就得到反比例函数的概念：

形如

（k为常数，k≠0）的函数叫做反比例函数（注意：

“函数是描述客观世界变化规律的数学模型”，这里的“变化规律”就是“变量y随变量x的变化而变化，且它们的积xy保持不变”）．

本章分两节．第一节是反比例函数的概念、图象和性质．本节先从生活现实和数学中具有反比例关系的问题出发，抽象出描述反比例变化规律的数学模型──反比例函数，使学生体会反比例函数的意义；再画出图象，并根据图象和函数解析式探索其性质．第二节安排了四个不同背景的实际问题，用反比例函数解决简单实际问题，进一步加深对反比例函数的认识．

本章之前，学生已学习了反比例关系，函数、自变量、函数值等概念，函数的三种表示形式，函数图像的有关概念，并研究了正比例函数、一次函数和二次函数等函数模型，因此具备了一定的函数研究经验，知道函数的主要研究内容、思路和方法．本章的学习，就是运用这些经验对一个新函数展开研究．因此，本章的重点是：

结合具体情境体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数的表达式；能画出反比例函数的图像，根据图像和表达式y=

（k≠0）探索并理解k＞0或k＜0时，图像的变化情况；能用反比例函数解决简单实际问题．由于反比例函数的自变量不能为0，由此带来图像变化情况的复杂性，这是本章学习的主要难点；另外，反比例关系和函数概念都是不易理解的知识，由此会导致学生对反比例函数概念的理解困难．

2．相似

义务教育阶段的几何内容，包括图形的认识、图形的测量、图形的运动或变化、图形的性质和证明以及图形的位置等．本书中，图形的相似是“图形的变化”的主要内容，研究的主题是图形形状之间的关系，而图形的位似还涉及图形的位置关系，因此也是“图形的认识”的深化；投影与视图则是在三维图形与二维图形的转化中，体现出“图形的变化”．

从“变换”的观点看，通过轴对称、旋转或平移变换，改变了图形的位置但不改变图形的形状和大小；“相似变换”是另一种图形变换，它改变了图形的位置和大小，图形的形状则保持不变（本质是改变两点间距离的大小，不改变角的大小，因此相似变换也叫“保角变换”）．

三角形的相似是“图形的相似”的核心内容．“相似三角形”与“全等三角形”是一般与特殊的关系（两个相似三角形的相似比k=1时，这两个三角形全等）．所以，教科书推广全等三角形的研究思路，安排相似三角形的内容，引导学生探索相似三角形的判定和性质及在实际中的应用．此外，位似图形作为一种具有特殊位置关系的相似图形，可以用来放大或缩小图形，教科书把它安排在后面，并在直角坐标系中进行研究，用坐标之间的关系表示位似，渗透用代数方法研究几何变换的思想．相似三角形是锐角三角函数的基础，对建筑设计、测量、制图等也有重要价值．

“相似”一章共有三节内容．第1节主要介绍相似图形、相似多边形的概念，并给出了相似多边形的性质；第2节主要研究相似三角形的判定和性质，以及相似三角形在测量中的应用；第3节研究了一种特殊的相似图形──位似图形及其应用，并用直角坐标系中的坐标关系表示．其结构是：

“图形的相似”一节，教科书通过生活实例，在学生感受相似图形的基础上，给出相似图形的概念，再特殊化给出了相似多边形概念，并从定义出发给出了相似多边形对应角相等、对应边成比例的性质．

与研究其他几何对象的过程一样，“相似三角形”也按照“定义──判定──性质──应用”的顺序展开．因为三角形是特殊的多边形，所以教科书根据相似多边形的概念，直接给出相似三角形的概念．这一概念不仅给出了判定两个三角形相似的方法，而且其逆命题就是相似三角形的性质．通过类比全等三角形的判定，教科书提出了寻找判定两个三角形相似的简单方法的任务．由于研究相似三角形的判定要以有关比例知识为基础，并涉及不可公度性，为了降低难度，《课程标准（2011年版）》把“平行线分线段成比例定理”作为基本事实．教科书先让学生通过度量确认这一基本事实，然后将它应用到三角形中，并进一步证明了“平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”（通常称为“预备定理”），再利用“预备定理”证明相似三角形的判定定理．这样做，降低了难度但保持了相似三角形的主干内容，体现了公理化思想．为了引导学生独立思考，发现和提出“相似三角形的性质”，教科书先通过“思考”栏目，给出相似三角形性质的探究方向，然后通过“探究”栏目引导学生探究并证明相似三角形性质．接着，教科书安排了相似三角形在实际中的典型应用题．

在“位似”一节，教科书借助日常生活实例给出了位似图形的概念；然后从定义出发，通过举例，介绍了利用位似将一个图形放大或缩小的方法；接着安排了“探究”，让学生在直角坐标系中探索并得出：

将一个多边形的顶点坐标（有一个顶点为原点，有一条边在横坐标轴上）分别扩大或缩小相同倍数时所对应的图形与原图形位似，并给出了直角坐标系中以原点为位似中心的两个位似图形的对应点坐标之间的关系（实际上是图形的位似变换公式）．

本章的重点是在了解比例的基本性质、线段的比、成比例的线段等基本概念的基础上，认识图形的相似，了解相似多边形的概念；用“基本事实”证明“预备定理”，在此基础上探索并证明相似三角形的判定定理；了解相似三角形的性质定理；了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小；会利用图形的相似解决一些简单的实际问题．其中，相似三角形的判定和性质是重中之重．相似三角形判定定理的证明是本章的主要难点．此外，综合应用已学平面几何知识发现和解决“相似”（特别是相似三角形）中的问题，也是本章的一个难点．

3．锐角三角函数

在几何学的研究中，三角形是最简单而基本的封闭图形，它是平面几何的研究主角，原因是空间的大部分基本性质都已经在三角形的几何性质中得到充分体现．而在三角形中，等腰三角形和直角三角形是最为基本的．下面我们对此作一简单分析，这些观点主要来自项武义[注]．

我们知道，定性平面几何研究的主题是“全等形”和“平行性”．本质上，前者是平面对于任一直线的反射对称性的具体反映，而后者则是三角形的内角和为180°所表达的“平直性”．等腰三角形所具有的轴对称性能具体地反映平面的反射对称性，所以它们是研究平面几何对称性的种种表现与推论的基本工具．这样，认识等腰三角形的性质是定性平面几何的首要任务．

在定性地讨论几何中的“等”与“不等”时可以完全不用平行性，但在定量的平面几何中，我们要对不等长的两条线段、不同大小的两个角区或不同大小的两个区域，赋予两者之间定量的比值去度量两者之间的差异．这时，平行性扮演着举足轻重的“角色”，其作用是大大简化了定量几何的基础理论和基本公式．由此得到的是简朴好用的矩形面积公式、勾股定理和相似三角形定理（三角形内角和不是180°的几何叫非欧几何，而非欧几何中与此相应的公式、定理不是没有就是复杂得多）．在定量平面几何的定理中，三角形的面积公式、相似三角形定理和勾股定理是最基本的，而三角学就是以这三个定理为基础，讨论三角形的各种几何量（三边长、三个内角的度数、面积、高、外径和内径等）之间的函数关系，锐角三角函数则是讨论直角三角形各种几何量之间的函数关系，它为讨论一般三角形奠定了基础．因此，研究直角三角形的种种性质对定量平面几何有奠基作用．

本章就是在研究勾股定理、相似三角形的基础上，进一步讨论直角三角形的边角之间的关系，主要内容是正弦、余弦和正切等锐角三角函数的概念，并综合运用这些知识解直角三角形．

具体而言，教科书以“比萨斜塔纠偏问题”引入，并提出问题：

“对于直角三角形，我们已经知道三边之间、两个锐角之间的关系，它的边角之间有什么关系呢？

”，然后研究锐角的正弦，并在此基础上给出锐角的余弦、正切．在研究锐角的正弦时，教科书安排了一个从特殊到一般的过程，先利用“直角三角形中，30°角所对的边是斜边的一半”，得到30°角所对的边与斜边的比值；再利用等腰直角三角形的性质和勾股定理，探究直角三角形中，45°角所对的边与斜边的比值；然后进入一般情况的讨论：

相似直角三角形中，一个锐角的对边与斜边的比，随着这个锐角的变化而变化，随着它的确定而唯一确定，把Rt△ABC中锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦．接着，自然而方便地得到：

相似三角形的边与边的比值，随锐角大小的变化而变化，随锐角大小的确定而唯一确定，由此给出锐角三角函数的定义．

“解直角三角形”一节，教科书通过“探究”栏目，引导学生梳理直角三角形中边角之间的关系（勾股定理、锐角互余、锐角三角函数），思考“知道五个元素中的几个，就可以求其余元素”，再给出解直角三角形的条件，并通过例题示范，最后安排实际应用题．

本章的重点是利用相似直角三角形，探索并认识锐角三角函数（sinA，cosA，tanA）；能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题．

利用相似直角三角形探索和认识锐角三角函数，从“两个直角三角形的对应边之比值相等”到“一个直角三角形的边长改变，但边与边的比值不变”，再联系函数概念，把直角三角形的“边与边的比值”与“锐角”联系起来，进而得到“比值随锐角的改变而改变，随锐角的确定而唯一确定”，涉及的知识多，需要看问题的角度和观点的灵活变化，并且要用完全陌生的符号sinA，cosA和tanA表示，对学生具有很大的挑战性．因此，锐角三角函数概念的建构过程是本章主要难点．同样的，解直角三角形需要在全面掌握直角三角形边角关系的基础上，根据问题的具体条件选择适当的方法求解，其综合性较强，解决实际问题要有模型思想，这些都会带来一定的学习困难．

4．投影与视图

日常生活中，中心投影、平行投影的事例随处可见，因此数学中与投影相关的概念都与现实生活紧密相关．平行投影是三视图的学习基础．投影与视图涉及立体图形与平面图形之间的转化，需要利用直观感知、动手操作等学习方式，是培养空间观念的好载体．因此，本章按“投影──三视图──课题学习（制作立体模型）”的顺序展开．

“投影”的内容按照从一般到特殊的线索展开，重点讨论了正投影问题．教科书先从学生身边的实例出发，引出投影的概念、分类（平行投影、中心投影）；接着，通过“思考”，引导学生比较和认识中心投影与平行投影的投影线的区别，以及平行投影中“斜投影”与“正投影”的区别，进而给出正投影的概念；再通过“探究”，引导学生借助生活经验，讨论正投影中基本而重要的线段、正方形的投影问题：

线段与投影面的位置关系（有且只有平行、倾斜和垂直三种），不同位置关系下线段的正投影的形状、线段与其正投影的大小关系；

正方形与投影面的位置关系（有且只有平行、倾斜和垂直三种），不同位置关系下正方形的正投影的形状、正方形与其正投影的大小关系；

在此基础上，归纳出正投影的基本性质．最后，以正方体的正投影为例，举例说明这些性质在画立体图形的正投影时的应用．

概括本节内容，其编写思路是：

从生活实例中抽象出投影的概念──投影的分类（以投影线的位置关系为分类标准）──特殊的投影（正投影的概念和性质）．考虑到与初中生认知水平相适应的问题，在正投影性质的讨论中，一是关注了简单但基本而重要的问题，即线段、正方形的正投影（其实就是线、面的正投影问题的代表）；二是根据线、面与投影面的不同位置关系讨论它们之间的形状、大小关系（要素之间的相互关系就是性质）．

“三视图”一节包括三视图的概念、画立体图形（实物）的三视图、由三视图想象立体图形（实物）以及利用三视图知识解决度量问题．这里的立体图形限制在直棱柱、圆柱、圆锥、球或它们的组合．本节是“投影”知识的应用，教科书先借助生活实例介绍视图的概念，这里“从某一方向看”相当于“某一方向的平行投影线”，因此看到的平面图形是物体在这个方向光线下的正投影．接着，教科书重点介绍了三视图，直接指出三视图的投影面是三个互相垂直的平面，介绍三视图的成像原理、三视图的位置和度量规定，然后通过5个例题，引导学生画直棱柱、圆柱、圆锥、球的三视图，判断简单物体的视图，根据视图描述简单几何体等．

教科书安排的“课题学习制作立体模型”，其目的是让学生“通过由三视图制作立体模型的实践活动，体验平面图形向立体图形转化的过程，体会用三视图表示立体图形的作用，进一步感受立体图形与平面图形之间的联系．”实际上，从三维目标看，制作立体模型的过程，不仅是巩固已学的相关知识，而且也是培养空间观念、感受数学与生活的联系、体会数学的应用价值的过程．

关于“视图”，学生在前面两个学段都已经接触过．第一学段要求“能根据具体事物、照片或直观图辨认从不同角度观察到的简单物体”，第二学段要求“能辨认从不同方向（前面、侧面、上面）看到的物体的形状图”，第三学段要求“会画直棱柱、圆柱、圆锥、球的主视图、左视图、俯视图，能判断简单物体的视图，会根据视图描述简单的几何体”．《课程标准（2011年版）》提出的要求具有层次性，体现了从整体到局部的研究过程，也与学生的认知特点相符合，是一个循序渐进、螺旋上升、不断精细化的过程．因此，本章的重点，一是投影的概念、正投影的性质及其研究方法，二是简单几何体三视图的画法，以及简单几何体（实物）的视图与几何体（实物）的相互转化，其核心是发展学生的空间观念．

二、编写时考虑的主要问题

1.注重数学的整体性

整体是事物的一种真实存在形式．数学也是一个整体，数学中的整体性既体现在代数、几何、三角等各部分内容之间的相互联系上，也体现在同一部分内容中知识的前后逻辑关系上．但学生的学习是循序渐进、逐步深入的，概念要一个个地学，知识要一点点地教．所以，如何处理好这种矛盾是编写教材时思考的核心问题．鉴于本书的内容特点，这个问题尤其需要重点考虑．

为了培养学生对数学内部联系性的认识，教科书加强了相关内容的沟通，并采取切实措施予以落实．例如，在章引言中通过类比与联系，构建全章的研究框架和整体思路，使学生感受将学的知识与已学知识的联系．“反比例函数”引言中“与研究……类似，我们将在……定义的基础上，研究……图像和性质，并……解决实际问题”，“相似”引言中“类似的，两个形状相同、大小不同的三角形，它们的边和角有什么关系？

对应线段和面积有什么关系？

如何判断……”，这些都是在同一部分内容中，采取以旧引新的方法引出学习内容，并在思想方法的一致性上给予明确提示．而在具体内容的展开中，则注意了两方面问题：

一是引导学生用已有知识解决问题，例如“反比例函数图像和性质”讨论的问题、过程和方法与正比例函数等是一致的；二是注意用新的眼光看已有知识，例如把全等看成相似的特例，从边与边的比的角度看“直角三角形中，30°的角所对的边是斜边的一半”等等．

2.强调知识的逻辑连贯性

数学教学要使学生学会“数学地认识问题和解决问题”，其含义是数学有其认识和解决问题的“基本套路”，我们要努力让学生学会这一“套路”．具体而言，对一个数学新对象的研究，一般是按“背景—定义—表示—分类—（代数）运算、（几何）性质—联系和应用”的线索展开．本书各章内容的编写也不例外．

例如，反比例函数一章，教科书先安排“思考”，让学生判断几个实际问题中的变量之间的函数关系，然后抽象出反比例函数的定义和表达式（表示）；再分k＞0和k＜0讨论函数的图像和性质；再应用反比例函数的性质解决问题，这些问题不仅有数学内部的，也有生活实际的，还有物理、化学等相关学科的．

再如，“投影和视图”中，教科书以生活中无处不在的“如影随形”的现象为背景，引入投影的概念，然后把投影分为平行投影和中心投影两类，又把平行投影进行再分类，接着研究正投影的性质（投影的形状、大小），再应用投影的性质解决三视图问题．这个过程也是按上述“基本套路”展开的．

3．加强数学学习理论的指导

在本套教材的总体指导思想中，提出使教材“利学利教”．这就要求我们以学生的数学认知规律为依据编写教材．例如，数学学习论指出，数学概念的学习一般要经历如下过程：

概念的引入──借助具体事例，从数学概念体系的发展过程或解决实际问题的需要引入概念；

概念属性的归纳──对典型丰富的具体例证进行属性的分析、比较、综合，归纳不同例证的共同特征；

概念的明确与表示──下定义，给出准确的数学语言描述（文字的、符号的）；

概念的辨析──以实例为载体分析概念关键词的意义（恰当使用反例）；

概念的巩固应用──用概念解决简单问题，形成用概念作判断的具体步骤；

概念的“精致”──通过概念的综合应用，建立与相关概念的联系，将概念纳入概念系统．

“锐角三角函数”的编写就体现了这一过程：

课题的引入从实际需要看（如比萨斜塔的倾斜问题）；从数学内部看（已经研究直角三角形边与边、角与角的关系，边与角有什么确定的关系）．

概念属性的归纳 例证1从最熟悉的开始，由“直角三角形中，30°角所对的边总是斜边的一半”，得到30°角所对的边与斜边的比值是

．

思考：

由这个结论能解决什么问题？

──直角三角形有一个锐角为30°，则已知一边可求其余边．

例证2等腰直角三角形中，锐角A的对边与斜边的比是多少？

由此能解决什么问题？

归纳：

任意给定锐角A，∠A的对边与斜边的比值是否为一个确定的值？

概念的明确与表示下定义，用符号表示．

定义的辨析

（1）Rt△ABC中，给定锐角A，当△ABC的大小变化时，∠A的对边与斜边的比值不变，即对于每一个锐角A都有唯一确定的比值与之对应，这个比值叫做∠A的正弦；

（2）符号sinA的理解──一个由A唯一确定的数（比值），例如sin30°=

；等．

概念的巩固应用已知直角三角形的边求正弦值等．

概念的精致解直角三角形．

4．加强数学思考方法的指导

数学有自己的思考方法，而且这种方法具有一般意义．学生在数学学习中培养起来的思维方式和逻辑思维能力，能在解决各种问题中发挥作用．所以，教科书注重以数学内容为载体，把思考方法的指导融入其中．例如，在“三角函数”中，先在章引言中引导学生思考，对三角形已研究过什么，还可以研究什么，这是让学生体会“如何提出有研究价值的问题”；具体研究中，注重“从定性到定量的思考方法”，这是数学的普遍方法，其实也是解决其他问题的常用方法；对于一个抽象问题，强调从特殊问题入手，而且从最熟悉的情景开始（含30°锐角的直角三角形），这种从特殊到一般、从具体到抽象的研究方法具有普遍意义；对一个熟悉的问题，从另一个角度看，对旧问题作新解释，往往能开辟一片新天地，这是数学发展的基本思路之一；使学生经历概念形成的完整过程中，体会数学思考的基本方法；等等．

这里还想谈谈教科书对如何研究数学性质的思考．什么叫“性质”？

一般地，性质是指事物所具有的本质，即事物内部稳定的联系．问题是，这里的“事物内部”指什么？

“稳定的联系”是怎么表现的？

到底怎样才能发现这种“联系”？

教科书应该在这些问题上给出指导．对于三角形而言，“内部”可以是三角形的组成要素（三个角、三条边），也可以是“相关要素”（外角、高、中线、角平分线等），还可以是与度量相关的要素（周长、面积、高线的长等）；而“稳定的联系”是指三角形要素、相关要素之间确定的关系（不随三角形的变化而变化）．例如，“三角形内角和定理”、“两边之和大于第三边”、“大角对大边”等，以及“外角等于不相邻两内角的和”、“三条高交于一点”、“等腰三角形三线合一”等性质都体现了三角形的要素、相关要素之间确定的关系．如果要研究两个几何事物在某种关系下具有什么性质，则可以探索由这种关系所决定的两个几何事物的对应要素之间确定的关系．例如，两个三角形有相似关系，相似比为k，探究两个三角形的要素和相关要素与相似比k有没有确定的关系，就是在探索相似三角形的性质．教科书正是从这样的思路出发，先在“思考”栏目中引导学生思考相似三角形性质指什么？

然后再展开研究．这样的安排，把“相似三角形的几何量与相似比之间是否形成确定的关系”作为思考的切入点，再通过作图、观察、类比、联想、猜想等，发现规律、得出猜想，然后通过推理、论证而得到相似三角形的性质．这个过程与人类发现和组织几何知识的原始过程有一定的相似性．这样编写教材，加强了研究方法的指导，不仅使学生获得了系统性知识，而且学会探究的方法，数学思维能力的培养也就自然地贯穿其中了．

三、教学建议

上面的介绍其实已包含教学建议的成分．如果教师能从中得到启发，以本书的数学内容为载体，在“理解数学，理解学生，理解教学”上下一番功夫，那么达成本书的教学目标就有了保证．前面几册教科书介绍中已反复提及的建议，例如把握教学要求、加强过程性、落实“四基”“四能”、注意使用信息技术等，同样适用于本册，这里不再重复．下面根据本册教科书的主要特点谈两点教学建议．

1．加强系统思维的培养

数学是一个系统，理解和掌握数学知识需要系统思维．系统思维就是把认识对象作为系统，从系统和要素、要素和要素、系统和环境的相互联系及相互作用中综合地考察认识对象的一种思维方法．系统思维能极大地简化人们对事物的认知，并提高研究的质量和效率．系统思维给我们带来整体观、全局观，具备系统思维是逻辑抽象能力强的集中表现．

中学数学中，数、式及其运算，方程、不等式与函数，平面几何，概率与统计等等，都是一个系统．每一个数学概念都可以看成一个小系统．运用系统思维方式研究数学对象，以三角形为例，可以按如下过程展开：

（1）定义“三角形”，明确它的构成要素；

（2）用符号表示三角形及其构成要素，并以要素为标准对三角形进行分类；

（3）研究基本性质，即研究要素之间的关系，得到“三角形两边之和大于第三边”，“三角形内角和等于180°”，“三角形内，大角对大边，等角对等边”等；

（4）研究“相关要素及其关系”，如“三角形的外角等于不相邻两内角之和”，“三角形三条中线（高、角平分线）