线性代数.docx
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线性代数.docx
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线性代数
线性代数第1次作业
主观题(共12道小题)
15. 设 α 1 =( 6 −2 0 4 ) , α 2 =( −3 1 5 7 ) ,则 3 α 1 −2 α 2 =
参考答案:
3α1−2α2=(24−8−10−2)
16. 设 α=( −1 1 0 ) , A=( 2 0 1 0 4 2 1 1 0 ) , B=( 1 0 0 3 2 2 ) ,则 αAB=
参考答案:
αAB=(014)
17.
设 A为3阶矩阵,且满足 |A|=3 ,则 | A −1 | =____________, | 3 A ∗ |= _____________。
参考答案:
1/3,35
18. 向量组 α 1 =( 1 1 1 ) , α 2 =( 0 2 5 ) , α 3 =( 2 4 7 ) , α 4 =( 1 2 0 ) 是线性______的,它的一个极大线性无关组是_________________。
参考答案:
相关(因为向量个数大于向量维数)。
α1,α2,α4。
因为α3=2α1+α2,A=|α1 α2 α4|≠0。
19. 若 R(A)=r ,则 n元方程组 Ax=0 当 r= 时,此方程组只有零解。
参考答案:
r=n时,此方程组只有零解。
20. 设 A=( A 1 A 2 ⋱ A n ) 是分块对角矩阵,其中 A k =( k+1 k k k+1 ) , (k=1 , 2 , ⋯ , n) ,则 |A|=
参考答案:
(2n+1)!
!
21. 设矩阵 A=[ 1 2 3 0 4 5 0 0 2 ] , B=[ 1 0 0 5 −1 0 2 3 1 ] ,则行列式 | AB |= _______
参考答案:
|AB|=−8
22. 若矩阵 A=[ 2 1 0 1 a 0 0 0 a ] 为正定矩阵,则 a的取值范围是____________
参考答案:
a>1/2
23. 求一个正交变换P,化二次型 f( x 1 , x 2 , x 3 )=2 x 1 2 +3 x 2 2 +3 x 3 2 +4 x 2 x 3
为标准形。
参考答案:
24.
参考答案:
25.
参考答案:
26. 用正交变换化二次型 f( x 1 , x 2 , x 3 )=2 x 1 2 +3 x 2 2 +3 x 3 2 +4 x 2 x 3 为标准型,并求出所用的正交变换及f的标准型。
问:
这个二次型是否是正定的?
为什么?
参考答案:
线性代数第2次作业
主观题(共12道小题)
14. 设 A是 m×n 矩阵, B是 p×m 矩阵,则 A T B T 是×阶矩阵。
参考答案:
ATBT是n×p阶矩阵。
15. 由m个n维向量组成的向量组,当mn时,向量组一定线性相关。
参考答案:
m>n时向量组一定线性相关
16. 设 A=( 2 −3 1 1 a 1 5 0 3 ) ,且秩 R( A )=2 ,则 a= _______________。
参考答案:
a=6
(R(A)=2⇒|A|=0)
17. 已知 η 1 , η 2 , η 3 是四元方程组 Ax=b 的三个解,其中 A的秩 R( A )=3 , η 1 =( 1 2 3 4 ) , η 2 + η 3 =( 4 4 4 4 ) ,则方程组 Ax=b 的通解为______________。
参考答案:
(1234)T+k(20−2−4)T。
因为R(A)=3,原方程组的导出组的基础解系中只含有一个解向量,取为η2+η3−2η1,由原方程组的通解可表为导出组的通解与其一个特解之和即得。
18. 设方程组 { a x 1 + x 2 + x 3 =1 x 1 +a x 2 + x 3 =a x 1 + x 2 +a x 3 = a 2 则,当 a=时方程组无解,当 a=时方程组有无穷多个解,当 a≠ 时方程组有唯一解。
参考答案:
当a=−2时方程组无解,当a=1时方程组有无穷多个解,当a≠1,−2时方程组有唯一解。
19. 设矩阵 A与 B相似, B=( 1 2 3 0 4 5 0 0 6 ) ,则 A的行列式 |A|=
参考答案:
24
20. 设 A=[ 1 −1 2 2 0 4 3 2 t ] ,若3阶非零方阵 B满足 AB=0 ,则 t= _______
参考答案:
t=6
21.
参考答案:
22.
参考答案:
23.
参考答案:
24.
已知方阵 A=[ 1 b 0 −2 a 0 0 0 3 ] 的特征值为 λ 1 = λ 2 =3 , λ 3 =0 .
(1)求a,b的值;
(2)求可逆矩阵P及对角矩阵D,使得 P −1 AP=D .
参考答案:
25.
参考答案:
线性代数第3次作业
主观题(共13道小题)
15.
| 0 1 2 ⋱ n−1 n 0 | =____________________。
参考答案:
(−1)n+1n!
16. 行列式 | 1 2 3 1 2 4 1 2 5 | =。
参考答案:
0
17. 若向量组 α 1 =(1,2,−1,1) , α 2 =(2,0,t,0) , α 3 =(0,−4,5,−2) 的秩为2,则 t= 。
参考答案:
t=3
18. 设 A为 m×n 矩阵, B为 n×m 矩阵,且 m>n 。
则 | AB | =___________。
参考答案:
0
(R(AB)≤max{R(A),R(B)}≤n,且AB为m阶方阵,故不可逆)
19. 已知 A=( 1 2 2 2 −1 λ 3 1 −1 ) ,三阶方阵 B≠0 ,且满足 AB=0 。
则 λ=____________。
参考答案:
λ=−3
|A|=0,否则B=0
20. 向量组 α 1 =(1,2,−1,1) , α 2 =(2,0,k,0) , α 3 =(0,−4,5,−2) 的秩为2,则 k=
参考答案:
3
21. 设 |A|=| 1 a b a 2 c b c 3 |=0 , A+B=( 3 0 0 0 3 0 0 0 3 ) ,则矩阵 B有一个特征值 λ=
参考答案:
3
22. 齐次线性方程组 [ 1 2 4 −1 0 2 ][ x 1 x 2 x 3 ]=[ 0 0 0 ] 的一个基础解系为____
参考答案:
(2−31)T
23.
参考答案:
24. 设A是反对称矩阵,E+A是可逆矩阵。
证明 (E−A) (E+A) −1
是正交矩阵。
参考答案:
25. 已知3阶方阵A可逆且 A −1 =[ 1 0 1 2 2 0 3 3 3 ] ,求A的伴随矩阵的逆矩阵.
参考答案:
26.
参考答案:
27. 设 α 1 =( 1 2 2 1 ), α 2 =( 2 1 −2 −2 ), α 3 =( 1 −1 −4 −3 ), α 4 =( 0 3 6 4 ) .求向量组 { α 1 , α 2 , α 3 , α 4 } 的一个最大线性无关向量组。
参考答案:
线性代数第4次作业
主观题(共13道小题)
15.
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